CHAPITRE XII

$ 1. — Définition des nombres irrationnels.

382. Les fractions ont été introduites, dans le chapitre vi, afin d’expri-

mer la mesure d’une grandeur ou, si l’on veut, le rapport de deux gran-…

deurs. Mais, pour parler d'un tel rapport, il a été nécessaire de supposer que les deux grandeurs étaient commensurables entre elles : or la géométrie met bien vite en évidence l'existence de longueurs incommensurables entre

elles. Si la notion de nombre, telle qu'elle a été constituée jusqu'ici, au

moyen des nombres entiers et fractionnaires, est suffisante au point de vue pratique, elle ne permet pas, au point de vue logique, de réaliser entière-

ment cette mesure des grandeurs, pour laquelle on peut presque dire qu’elle

a été construite. Afin d'atteindre ce but, et de répondre à d’autres questions qui se posent nécessairement, il est indispensable d'introduire de nouveaux nombres.

Cette introduction ne va pas sans difficulté, quelque marche que l’on adopte ; tandis qu’on s’est élevé de la notion de nombre, entier à celle de fraction, en considérant simplement deux nombres entiers, rangés dans un certain ordre, au lieu d’un seul, il sera nécessaire, pour définir les nouveaux nombres, de considérer une infinité de nombres entiers ou fractionnaires, c’est-à-dire, en dernière analyse, une infinité de nombres entiers.

383. Il me sera commode, dans le présent chapitre, de ne pas me borner aux nombres absolus, mais de considérer tout de suite les nombres relatifs :

je confondrai, comme je l'ai expliqué plus haut, les nombres absolus et les

nombres positifs. Le lecteur devra donc avoir présentes à l'esprit la signi-

fication des mots « plus grand, plus petit » et les définitions des opérations fondamentales lorsqu'il s’agit de nombres relatifs.

On désigne sous le nom de nombre ralionnel le nombre 0 et chaque nombre, positif ou négatif, dont la valeur absolue est, soit un des nombres naturels 1, 2, 3, …., soit une fraction dont les termes sont des nombres naturels. Il était jusqu'ici inutile de dénommer ces nombres, puisqu'on n'en

considérait pas d'autres. Les nouveaux nombres qu’on introduira seront dits irrationnels (1).

Je commencerai par énoncer quelques propriétés à peu près évidentes relatives aux nombres rationnels.

384. Soit e un nombre rationnel positif quelconque. Il y a des nombres rationnels, positifs ou négatifs, Plus petits que € en valeur absolue (n° 162, p- 182).

Etant donné un nombre rationnel quelconque a, il existe des nombres rationnels plus petits et plus grands que a et dont la différence avec a est moindre que €, en valeur absolue : on les obtient en retranchant de a ou en ajoutant à a des nombres rationnels positifs moindres que €, en valeur absolue.

Il y a des nombres rationnels qui comprennent a et dont la différence est moindre que &.

Étant donnés deux nombres rationnels a, b, tel que a soit plus petit que b, il y a des nombres rationnels compris entre a et b; on les obtient en ajoutant à a des nombres rationnels positifs moindres que b — a.

385. Faisons ici une remarque qui n’a pas trouvé sa place ailleurs : si désigne un nombre positif rationnel quelconque, la notion de valeur approchée à a près, par défaut ou par excès, s’étend immédiatement aux nombres relatifs. Les valeurs approchées à « près, par défaut et par excès, du nombre rationnel a, qui peut maintenant être positif ou négatif, sont toujours définies par les inégalités

(1) na a L(n+1) «,

où n est un nombre entier positif, nul ou négatif. On peut encore présenter les choses ainsi : considérons la progression arithmétique indéfinie dans les deux sens

1 34; 20, — dj 0, «, 2x, 34,

formée par les multiples (négatifs et positifs) de « : si a coïncide avec un des termes de cette progression, ce terme est la valeur approchée de a, à a près, par défaut ; le terme suivant (à droite) est la valeur approchée de a

1. On dit assez habituellement incommensurables, au lieu de irrationnels. Il serait bon de réserver l’épithète « incommensurable » aux grandeurs.

Les mathématiciens de l'École de Pythagore et, peut-être, leur maître lui-même ont mis hors de doute l'existence de grandeurs incommensurables : tels sont le côté et la diagonale d’un carré. On trouve dans les Eléments d'Euclide une théorie du rapport des grandeurs incommensurables et * diverses spéculations sur les nombres irrationnels. Parmi les travaux des contemporains relatifs à l'introduction des nombres irrationnels, je citerai une note de M. Méray (Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limite à des variables données, Revue des Sociétés savantes, Sciences mathématiques, t. IV, p. 286, 1869), une brochure de M. Dedekind intitulée Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872), un mémoire de Heine, dans le Journal de Crelle (1872), intitulé Die Elemente der Functionenlehre. Heine, pour ce qui est du point de départ, s'est rencontré avec M. Méray ; ce dernier a repris la question dans ses Leçons nouvelles sur l'Analyse infinitésimale (Paris, Gauthier-Villars, édit., 1894) ; son exposition est irréprochable au point de vue logique. J'ai toutefois adopté ici l’idée fondamentale de M, Dedekind, qui me parai éclairer profondément la nature du nombre irrationnel.

décimaux entre a et b : telle sera la valeur approchée de a par excès à Li

386. Ceci s'applique au cas où « est de la forme —. ; je conserverai la déno-

mination de nombre décimal, dans le cas où il s’agit d’un nombre négatif

dont la valeur absolue est un nombre décimal. IL est assez commode, quand il s'agit d'un nombre décimal négatif, de l'écrire de façon que la mantisse soit positive, la partie entière étant négative, ce qui s’indique en plaçant le

signe — au-dessus du chiffre des unités ; ainsi pour réprésenter le nombre. négatif — 32,4761 (dont la valeur absolue est 32,4761), en observant que

l’on a — 32,4761 = — 33 +1 — 0,4761 = — 39 + 0,5239,

on écrira 32,5239, étant entendu que ce symbole désigne la somme des deux | nombres — 32 et 0,5239. Au reste, c'est une façon d'écrire à laquelle le lec-

teur est sans doute déjà accoutumé par l'usage des tables de logarithmes. En écrivant de cette façon, les deux suites

fournissent les valeurs approchées du nombre considéré à 1; 0,1; 0,01;

0,001 ; 0,0001 près, par défaut pour la première, par excès pour la seconde:

‘en effet les inégalités | 32,5239 2 a < 32,5240

-entraînent évidemment

32,523 Sa < 32,524, etc, ; Si l’on considère, comme dans le n° 384 (p. #17) des nombres rationnels a, b

tels que a soit plus petit que b, on voitqu'ilexiste certainement des nombres

40P 2 1° \ 1 2 y» 4° près, si l’on suppose ton moindre que le nombre positif & — a. 387. Un nombré rationnel quelconque A permet de partager l'ensemble des nombres rationnels en trois catégories : 4° l’ensemble des nombres

rationnels plus petits que A ; 2 l’ensemble des nombres rationnels plus grands que A; 3° le nombre rationnel A lui-même.

Si, par exemple, À est égal à 0, la première catégorie est formée des

nombres rationnels négatifs, la seconde des nombres rationnels positifs. Dans tous les cas, un nombre rationnel quelconque appartient à l’une ou l’autre de ces trois catégories. | Il convient de faire les remarques suivantes : I. Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaqua nombre de la seconde catégorie.

à « près, par excès. Si a tombe entre deux termes consécutifs de cette suite ” le plus petit terme (le terme de gauche) est la valeur approchée de-a à « près par défaut, le plus grand terme (terme de droite) est la valeur approchée de a à « près par excès. ;

IL. Dans la première catégorie, il n’y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de la même catégorie, puisque, entre un nombre rationnel a < A et À, il y a des nombres rationnels. De même, dans la seconde catégorie, il n’y a pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres, pour la même raison.

Si l’on se donne un nombre rationnel positif e, aussi petit qu’on voudra, il y à des nombres appartenant, l’un à la première catégorie, l’autre à la

seconde, et dont la différence est moindre que e (n° 384, p. 481). | 388. Certains problèmes conduisent à une séparation des nombres rationnels en deux catégories, qui jouissent de propriétés très analogues.

On sait, par exemple, qu’il est impossible de trouver un nombre rationnel dont le carré soit égal à 3. Le carré de tout nombre rationnel est plus petit que 3 ou plus grand que 3. Rangeons dans une première catégorie les nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur à 3, et complétons cette première catégorie en y plaçant aussi 0 et les nombres négatifs. Rangeons dans une seconde catégorie tous les nombres rationnels positifs dont le carré est supérieur à 3. Chaque nombre rationnel appartient à l’une ou à l’autre de ces deux catégories.

L. I y a des nombres dans l’une et l’autre catégorie et chaque nombre de . la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde : la seconde catégorie, en effet, ne contient que des nombres positifs dont le carré est plus grand que 3 ; un tel nombre est plus grand que n'importe quel nombre négatif, que 0, et que n'importe quel nombre positif dont le carré

st plus petit que 3.

Il. Dans la première catégorie, il n’y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette catégorie; il suffit évidemment de démontrer qu'il n’y a pas, dans la première catégorie, de nombre positif plus grand que tous les nombres positifs de cette catégorie. Si a est un nombre positif rationnel tel que a? soit inférieur à 3, il existe des nombres rationnels positifs dont le carré est aussi inférieur à 3 et diffère de 3 d’une quantité moindre que 3 —a?; un tel nombre a! est certainement plus grand que a ; car l'inégalité 3 — a? < 3 — 4? entraine l'inégalité a? > a?, et, par . suite, a! >> a. On voit de même que, dans la seconde catégorie, il n’existe pas de nombre plus petit que tous les autres, parce qu’il y a des nombres rationnels positifs dont le carré est plus grand que 3 et diffère de 3 d’aussi * peu qu'on le veut. À

Enfin, si on se donne un nombre rationnel positif e, aussi petit qu’on le veut, il existe des nombres appartenant, l’un à la seconde catégorie, l’autre à la première, et qui ont entre eux une différence moindre que e. Il suffit,

pour trouver de tels nombres, de fixer un ordre d’approximation —. tel que

l'on ait < e et de thercher les valeurs approchées dé la racine carrée

de 3, par excès et par défaut, à près.

420 LEÇONS D’ARITHMÉTIQUE. Eu ï :

On retrouve donc, pour les deux catégories de nombres rationnels considérées, les mêmes propriétés qui ont été énumérées dans le n° 387 : la seule différence est qu'il n’y a ici que deux catégories, au lieu de trois. Les deux talégories formées l’une des nombres négatifs, de 0 et des nombres rationnels positifs dont le carré est plus petit que 3, l’autre des nombres ration üels positifs dont le carré est plus grand que 3, embrassent tous les nombres rationnels. °

389. Définition des nombres irrationnels. — On dira qu'on a défini un nombre irrationnel toutes les fois qu'on aura défini un moyen de partager " tous les nombres rationnels en deux catégories jouissant des propriétés suis vantes : | - ;

[Il y a des nombres dans chaque catégorie ; chaque nombre de la pre mière catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde. &

IT. Dans la première catégorie, il n’y a pas de nombre plus grand que" tous les autres nombres de la même catégorie; dans la seconde catégorie, a il n’y a pas de nombre plus petit que tous les autres. [FRS

C'est la loi même de cette séparation qui définit le nombre irrationnel: en représentant par un symbole, une lettre A, par exemple, un tel nombre, … | ce symbole, cette lettre ne signifient rien autre chose jusqu’à présent que la loi de cette séparation. ES

390. Par définition, le nombre irrationnel ainsi défini est dit plus grand que tous les nombres (rationnels) de la première catégorie, qui sont dits plus petits que lui, et plus petit que tous les nombres (rationnels) de la seconde catégorie, qui sont dits plus grands que lui. On dit encore que le nombre irrationnel est compris entre un nombre quelconque de la première 1e catégorie et un nombre quelconque de la seconde.

Ainsi, si l’on a défini un nombre irrationnel A et si a, a! désignent des nombres rationnels appartenant, l’un à la première catégorie, l’autre àla seconde, on écrira

HLASTASGNITSAS TA 20

Ces inégalités n’ont pas d'autre sens que celui-ci : 4 appartient à la pre. mière catégorie, 4 appartient à la seconde. D'après la condition II, elles. entrainent a < a’, et l’on peut par conséquent les écrire

a << Aa a",

Il y a, dans la première catégorie, des nombres (rationnels) plus grands que a, cela revient à dire qu’il y a des nombres rationnels plus grands que a et plus petits que A ; on dit qu'ils sont compris entre a et À : de même il y a des nombres rationnels plus grands que À et plus petits que a!; on dit qu'ils sont compris entre A et a'.

I est clair que si a, est un nombre rationnel plus petit que à, il appartiendra comme a à la première catégorie ; il ne péut en effet appartenir à la seconde, puisque tout nombre de cette seconde catégorie est plus grand que 4, d'après la condition I; en d’autres termes, si a, a, sont des nombres

rationnels et si l'on a a, < a, a < À, on a aussi a, < A. De même, si 4’, a’, sont des nombres rationnels, si a’ appartient à la seconde catégorie et si a, est plus grand que a’, a’, appartiendra aussi à la seconde catégorie; en d'autres termes, si l’on a a’, > a’, a" > A, on a aussi a’, > À. Il sera donc permis de condenser ces inégalités et d'écrire

RO NE GC a:

Par exemple, la séparation de tous les nombres ‘'rationnels en deux caté. gories comprenant, la première tous les nombres rationnels positifs dont le carré est plus petit que 3, la seconde tous les nombres rationnels positifs dont le carré est plus grand que 3, définit un nombre irrationnel que l’on appelle racine carrée de 3 et que l’on représente par le symbole ÿ3; les inégalités

PDT TE Us

ne veulent pas dire autre chose que ceci : les nombres rationnels positifs 1

et 4,7 appartiennent à la première catégorie, c’est-à-dire que leur carré est plus petit que 3 ; 2 appartient à la seconde catégorie, c’est-à-dire que son carré est plus grand que 3.

Il existe des nombres rationnels compris entre 1,7 et V3: tel est, par exemple, le nombre 1,71, dont le carré est moindre que 3. Il existe des nombres rationnels compris entre V3 et 2; tel est 4,8 dont le carré est supérieur à 3, et l’on peut écrire