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Les mots plus petit, plus grand ou les signes <, >, quand ils se rapportent à un nombre rationnel d’une part, à un nombre irrationnel de l’autre, remplacent les mots première catégorie, seconde catégorie ; ils ont l'avantage d’éveiller dans l’esprit des analogies, mais il ne faut pas leur chercher un autre sens que celui qu'on vient de dire.

Le nombre irrationnel A est dit positif ou négatif suivant qu’il doit être regardé comme plus grand que 0, ou comme plus petit que 0, c’est-à-dire suivant que le nombre rationnel O0 appartient à la première ou à la seconde catégorie.

La notion de nombre irrationnel ainsi présentée est très différente de la notion de nombre entier, ou de celle’ de fraction : il ne sera donc permis de parler des opérations à faire sur ces nombres qu'après avoir repris toutes les définitions relatives à ces opérations. Ces définitions ne pourront portef que sur la loi de séparation en catégories qui définit chaque nombre irrationnel.

Avant de les aborder, je ferai quelques observations.

391. Notion de coupure. — Si l'on partage l’ensemble des nombres rationnels en deux catégories qui vérifient la condition I du n° 389 (p. 420) c’est-àdire telles que tous les nombres de la première catégorie soient plus petits que tous les nombres de la seconde catégorie, on effectue ce que l’on appelle

une coupure dans l’ensemble des nombres rationnels ; il arrivera alors de deux choses l’une : ‘4

Ou bien les conditions IT seront vérifiées, ou bien elles ne le seront pas. Dans le premier cas, la coupure définit un nombre irrationnel; dans le second cas, il est impossible qu’il y ait à la fois dans la première catégorie un nombre a plus grand que tous les autres de la même catégorie, et dans la seconde catégorie un nombre a’ plus petit que tous les autres de la méme catégorie; en effet, à cause de la condition Ï, on aurait a < a’, et les nom-… bres rationnels compris entre a et a’ ne pourraient appartenir à la prémière catégorie puisqu'ils sont plus grands que le plus grand nombre a de celte” catégorie ; ils ne pourraient non plus appartenir à la seconde catégorie, puisqu'ils sont plus petits que le plus petit nombre de cette catégorie ; le mode de séparation adopté n'aurait pas permis de séparer tous les nombres rationnels en deux catégories. On ne peut donc supposer que ceci : ou bien, dans la première catégorie, il y a un nombre (rationnel) plus grand que tous les autres, et alors, dans la seconde catégorie, il n’y en a pas qui soit plus petit que tous les autres de la même catégorie ; ou bien il y a un nombre (rationnel) de la seconde catégorie qui est plus petit que tous les autres, et dans la première catégorie il n’y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres ; par exemple, la première catégorie comprend le nom- 4 bre 3 et les nombres rationnels plus petits ; la seconde, les nombres ration. nels plus grands que 3. Si l’on isole, dans le premier cas, le nombre rationnel plus grand que tous les autres de la première catégorie, et, dans le second cas, le nombre rationnel plus petit que tous les autres nombres de 4 la seconde catégorie, et si de ce nombre unique A on forme une troisième catégorie, on voit que l’on sera précisément dans les circonstances examinées M au n° 387 (p. #18) et qui se rapportent au partage des nombres rationnels… à en trois catégories, contenant, la première, les nombres rationnels plus petits que À; la seconde, les nombres rationnels plus grands que À ; la troisième, le seul nombre À. On dira alors quela coupure considérée définit le nombre A: \

Ainsi une coupure pratiquée dans l’ensemble des nombres rationnels, définit toujours un nombre A, irrationnel ou rationnel, suivant les cas que ! . l'on a distingués.

Il est à peine utile de dire que, si, au lieu de partager l’ensemble des nombres rationnels en deux catégories, la coupure partage seulement l’en-. semble des nombres rationnels compris entre deux nombres rationnels «&, 8. en deux catégories telles que chaque nombre de la première soit inférieure à chaque nombre de la seconde, on complétera la première catégorie en y. rangeant tous les nombres.plus petits que « et la seconde en y rangeant tous les nombres plus grands que $, en sorte qu’on aura encore défini un nombre rationnel ou irrationnel. ee

: Arrivons maintenant aux définitions concernant les nombres irrationnels : ‘ on va construire ces définitions de manière qu'elles s'appliquent aussi aux nombres rationnels, mais elles seront beaucoup plus compliquées que schesl qui ont été données antérieurement. PR |

392. Égalité. — Deux nombres A, B, rationnels ou irrationnels, sont dils égaux si les nombres rationnels plus petits que A sont les mêmes que les nombres rationnels plus petits que B, et si les nombres rationnels plus grands que À sont les mêmes que les nombres rationnels plus grands que B. On écrit alors À — B.

En d’autres termes, pour constater l'égalité des nombres A, B, il faudra constater :

4° que tout nombre rationnel plus petit que A est plus petit. que B et, réciproquement, que tout nombre rationnel plus petit que B est aussi plus petit que À;

2° que tout nombre rationnel plus grand que À est aussi plus grand que B et, réciproquement, que tout nombre rationnel plus Se que B est plus grand que A.

Deux nombres rationnels A, B que l’on sait être égaux d’après les définitions de l’égalité relatives aux nombres entiers et fractionnaires satisfont évidemment aux conditions précédentes ; ils sont égaux au sens de la nouvelle définition.

Deux nombre; rationnels À, B que l'on sait être inégaux dnres les définitions de l’égalité relatives aux nombres entiers et fractionnaires ne peuvent satisfaire aux conditions précédentes, car si l’on a, par exemple, À < B, il y a des nombres rationnels compris entre A et B, c’est-à-dire plus grands que À, plus petits que B.

Si l’un des nombres A, B, le nombre À par exemple, est rationnel etsile nombre B est irrationnel, il est impossible que les conditions précédentes soient vérifiées : en effet, le nombre rationnel A appartient à l’une ou à l’autre des deux catégories relatives au nombre B; s'il appartient, par exemple, à la première catégorie, s'il est plus petit que B, il y a des nombres rationnels compris entre À et B, c’est-à-dire plus grands que A et plus petits que B.

Si les deux nombres À, B sont irrationnels, dire qu’ils sont égaux, d’après les conditions précédentes, c’est dire que les deux modes de séparation des nombres rationnels en deux catégories qui les définissent, sont les mêmes. |

Le lecteur établira sans peine les deux propositions qui suivent; je n’insiste pas sur les démonstrations, d'autant que je n'aurai pas à faire usage de ces propositions.

Des deux conditions relatives à l’égalité de deux nombres A, B, l’une implique l’autre; en d’autres termes, si l’on sait, par exemple, que les nombres rationnels plus petits que A sont les mêmes que les nombres rationnels plus petits que B, on peut affirmer que les nombres rationnels plus grands que A sont aussi les mêmes que les nombres rationnels plus grands que B, en sorte que l'on a A = B.

Pour constater l'égalité des nombres À, B, il suffit de prouver que tout

nombre rationnel plus petit que A est aussi plus petit que B, et que tout

nombre rationnel plus grand que À est aussi plus grand que B.

Il résulte immédiatement de la définition que si deux nombres A, B sont égaux à un troisième C, ils sont égaux entre eux.

393. Inégalité. — Si les deux nombres rationnels ou non A et B ne sont pas égaux au sens de la définition précédente, c’est qu'il y a un nombre

rationnel plus petit que l’un et qui n’est pas plus petit que l’autre ou un.

nombre rationnel plus grand que l’un et qui n’est pas plus grand que

l’autre. Dans le premier cas, il y a, par exemple, un nombre rationnel a plus petit que À et égal ou supérieur à B : on peut toujours supposer que a soit

supérieur à B; s’il lui était égal, on remplacerait en effet a par un des nombres ent compris entre a et A. Dans le second cas, on voit de

même qu'il doit exister un nombre rationnel plus grand que l’un des deux "

nombres A, B et plus petit que l’autre. Dans les deux cas, il y a un nombre rationnel plus petit que l’un des deux nombres À, B et plus grand que l’autre.

S'il existe un nombre rationnel a plus petit que A et plus grand que B;

il est clair que A n'est pas égal à B; il est clair aussi, d’après les conditions |

(I, n° 389, p. 420), que tout nombre rationnel b plus petit que B sera plus petit que a et, par suite (n° 390, p. 420), plus petit que A : il ne peut donc exister de nombre rationnel plus petit que B et plus grand que A.

Dans ces conditions, on dit que A est plus grand que B, que B est plus

petit que A, et l’on écrit À > B, B< A. Il résulte de ce qu'on vient de dire que la supposition À > B cl les suppositions À — B, A < B. Inversement ces façons de parler ou d'écrire, au moins lorsque les deux nombres À, B sont irrationnels, ne signifient pas autre chose que ceci: il existe un nombre rationnel a plus petit que A et plus grand que B. Au reste, ilest clair, par ce qui précède, que cette définition de l'inégalité reste vraie quand l’un des nombres À, B est rationnel, ou que tous les deux le s ont. S'il existe un nombre rationnel a plus petit que A et plus grand que B,

il en existe une infinité, à savoir les nombres rationnels plus petits que a et

plus grands que B, ou plus grands que a et plus petits que A.