AB

il y aura une infinité de nombres rationnels compris entre A et B; soient p, q deux de ces nombres, tels que l’on ait, par exemple,

| A <p<gq<B.

Les nombres À, B étant compris entre a, a’, on aurait GAS DE et, en vertu des inégalités précédentes, a<A<p<g<B< a.

Les nombres rationnels p, q étant compris entre 4, a, la différence entre ces derniers nombres ne peut être plus petite que q — p.

396. Ces notions, relatives à l'égalité et à l'inégalité, vont permettre de développer une notion importante, celle de valeur approchée.

Soit « un nombre rationnel positif, d’ailleurs quelconque ; la notion de valeur approchée à « près, par défaut ou par excès, s'étend sans peine aux nombres irrationnels ; on conservera les définitions du n° 385 (p. 417). Considérons la progression arithmétique, indéfinie dans les deux sens, des multiples de «

dy Ai A V7, DR HE et soit À un nombre irrationnel quelconque. Les termes de la suite étant rationnels, sont plus petits ou plus grands que A.

Il y en a de plus petits et de plus grands : soient en effet a et a’ deux nombres rationnels tels que l’on ait a < À < a. Il y a certainement, dans la suite, un terme plus-petit que a et un terme plus grand que a’; le premier est plus petit que A, le second est plus grand. Du premier au second, il n'y à qu'un nombre fini de termes de la suite : soit na le plus grand de ceux qui sont plus petits que À; n est un entier qui peut être négatif, nul ou positif; quoi qu'il en soit, na et tous les termes qui précèdent na sont plus petits que A, (n—+1)x et tous les termes qui suivent sont plus grands que A: nxet(n<+1)4 sont les valeurs approchées de A à x près par excès el par défaut ; elles peuvent être définies, comme aux ne 233 (p. 259), 385 (p. &1T), par la condition que n soit entier et par les inégalités ; na LA <L(n +1);

seulement, lorsque À est irrationnel, l'égalité est impossible.

La considération de ces valeurs approchées montre que, si on se donne un nombre positif rationnel e, on peut toujours trouver déux nombres -

rationnels, l’un plus petit que A, l’autre plus grand, et qui aient entre eux une différence moindre que e. Les valeurs approchées de À à a près, par défaut et par excès, répondront à la question si « est plus petit ques. 397. La considération de la suite des valeurs approchées par défaut d'un. nombre À à 1, à 0,1, à 0,01, … près offre un intérêt particulier. Fa) Désignons la suite de ces valeurs par do, di, d, … je les suppose écrites

dans la notation décimale, et, au cas où A serait négatif, de façon que la “ ‘4 mantisse soit positive, ainsi qu'on l'a expliqué au n° 386 (p. #18). Des cir- constances toutes pareilles à celles que l’on a signalées au n° 241 (p. 241). à

et rappelées au n° 386 (p. 418) se présentent ici. La connaissance d’un terme de la suite implique la connaissance des termes qui le précèdent, lesquels se déduiront du terme que l’on connaît par la suppression d’un ou plusieurs chiffres décimaux ; le raisonnement est le même qu'au n° 386.

Chacun des nombres @,, 4, &, 4,, .… se déduisant du précédent par lad-

jonction d’un chiffre décimal, qui, à la vérité, peut être un zéro, les termes de cette suite ne vont jamais en décroissant ; mais il y a plus, ils finissent toujours par croître ; en d’autres termes, dans la suite do; 4; >, +, Chaque terme est suivi d’un terme plus grand que lui; en effet, si l’on considère, par exemple, le terme @,, il y a certainement un nombre rationnel « plus

grand que a, et plus petit que À ; il y a d’ailleurs (n° 386, p.418) des nombres À

décimaux compris entre a, et «; il y a donc des nombres décimaux plus

grands que a, et plus petits que A ; si est un tel nombre et si son dernier chiffre représente des unités du nième ordre décimal, la valeur approchée a»

de À à Ton Près, par défaut, est au moins B; elle est donc plus grande ‘

que a;; Les nombres

ay +1 2 Riou go i fe