PET AO AT RE DD OU PAPAS

sont les valeurs approchées de A, par excès, à 1, à 0,1, à 0,01, ..… près; on

verrait comme au n° 217 (p.246), que ces nombres ne croissent jamais et, comme précédemment, qu'ils finissent toujours par décroître. à Si deux nombres irrationnels sont égaux, il est clair que les deux suites

qui fournissent leurs valeurs approchées à 4, à 0,1, à 0,01,5:..; près; pari

défaut, sont identiques. Mais si A et B sont des nombres irrationnels ou non qui ne sont pas égaux, les deux suites ne peuvent être identiques. SUpposons en effet B> A ; il y aura des nombres rationnels compris entre À et B; entre deux de ces nombres, il y a certainement des nombres décimaux ; il y à donc des nombres décimaux compris entre A et B ; soit « un tel nombre et supposons que son dernier chiffre décimal exprime des unités

dumieme ordre décimal; la valeur approchée de A par défaut à près sera

MNT

sûrement moindre que «, la valeur approchée de B, par défaut, au même ordre, sera au moins égale à à; ainsi les deux valeurs approchées ne peuvent être égales. Si donc on désigne par @,, a, &, … et par b,, b,, b,, .… les valeurs approchées par défaut de À et de B, à 1, à 0,1, à 0,01, … près, et si l'on a B> A, on aura nécessairement, pour une valeur de n assez grande, by > 4; on aura de même b, + 1 > An + 1, puisque an + 1 et by + à se déduisent respectivement de a, et de &, par l’adjonction d’un chiffre décimal: on aura de même by, } 22 dn 42, etc. On sait aussi que l'inégalité b, > a, entraîne les inégalités b4 - 1 © a 1, br 2 an 2, etc., puisque les nombres bn —1, än —1 se déduisent respectivement de b,, &: par la suppression d'un chiffre décimal.

Réciproquement, si l’on a. pour une certaine valeur de l'indice n, b, > a», on peut affirmer que le nombre B est plus grand que le nombre A, puisque, si À était égal ou supérieur à B, on aurait, quel que fût l'indice n, An > Vn-

Ainsi, la connaissance de la suite des valeurs approchées par défaut à 1, à 0,1, à 0,01, . près d’un nombre rationnel ou irrationnel caractérise entièrement ce nombre. Si l’on connaît ces suites pour deux nombres, on pourra, théoriquement du moins, reconnaitre quel en est le plus grand, quel en est le plus petit. La restriction qui vient d’être indiquée se rapporte à ce qu'on ne sait pas Jusqu'à quel rang il faut aller dans ces suites pour reconnaître le plus grand des deux nombres. Observons encore, à cette occasion, qu'une suite d’un nombre infini de termes, &, 4, &, .…, ne peut être effectivement connue; on ne peut aller jusqu'au bout de cette suite. Tout ce que l’on peut connaitre, c’est la loi d’après laquelle sè suivent les termes qui la composent.

D'ordinaire, on ne sépare pas en quelque sorte les divers termes de la suite 4), &, @, .… des valeurs approchées par défaut d’un nombre À à 1, à 0,1, à 0,04, … près. On écrit un symbole comme un nombre décimal, auquel on imagineraïit une infinité de chiffres décimaux, et de telle sorte que, en conservant seulement la partie entière et les n premières décimales de ce symbole, on obtienne précisément le nombre décimal a, ; on ne peut écrire qu’un certain nombre de chiffres décimaux au symbole ; on supplée, en faisant suivre ces chiffres décimaux de quelques points, à l’infinité de ceux qui manquent. Par exemple, on a défini plus haut ce qu’il faut entendre par V3: les valeurs approchées de V3 à 1, à 0,1, à 0,014, .., près par défaut ne sont autre chose que ce qu’on a appelé précédemment les racines carrées de 3àa1,à 0,1, à 0,01, près par défaut; en écrivant

AVE V3 4, 73205, on entend dire seulement que les nombres

sont les valeurs approchées de V3 par défaut à 1, à 0,1, à 0,01, à 0,001, à 0,0001, .. près.

398. Ce symbole ainsi formé, je l’appellerai la représentation décimale du

nombre considéré ; le connaître, ce n’est pas autre chose que connaître la ? > P

loi suivant laquelle se succèdent les chiffres qui. le composent. Un pareil symbole, par exemple, est connu pour ce qu’on a appelé une fraction décimale périodique. Observons tout de suite, à ce propos, que la représentation décimale d’un nombre irrationnel ne peut être une fraction décimale périodique, puisque celle-ci est la représentation décimale de sa fraction génératrice, laquelle est un nombre rationnel, nécessairement plus petit ou plus grand que le nombre irrationnel que l’on considère.

La connaissance des représentations décimales des nombres irrationnels permettra, comme on le verra bientôt, de calculer sur ces nombres avec telle approximation qu’on voudra ; nous verrons en effet comment toute la théorie des calculs approchés, développée dans le chapitre vu, peut être transportée aux nombres irrationnels ; mais il:est nécessaire d'expliquer tout d’abord ce que sont les opérations sur ces nombres.

$ 3. — Opérations.

399. Pour ce qui concerne les définitions des opérations, j’adopterai les :

notations suivantes : une grande lettre, A, par exemple, servira à désigner un nombre qui pourra être rationnel ou irrationnel ; une petite lettre désignera toujours un nombre rationnel: je représenterai les nombres rationnels plus petits que À par a, a,, a,, .…, au contraire les nombres rationnels plus grands que À par a', a',, a, ….

400. Addition. — La somme de deux nombres rationnels ou irralionnels À et B est un nombre plus grand que tout nombre formé en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus petits que À et B, et plus petit que tout nombre formé en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus grands que À et B.

401. Démontrons d’abord que, si un tel nombre existe, il n’en existe qu'un. :

Supposons en effet que deux nombres C, D rationrrels ou irrationnels soient tels que l’on ait

a+b<G<a +b, &EESD Eat),

quels que soient les nombres rationnels a, b respectivement plus petits que |

A, B et les nombres rationnels a’, b' respectivement plus grands que A, B. Quelque petit que soit le nombre rationnel à, on peut supposer que la différence a + d'— (a + b) = (a — a) + (b" — b) entre les deux nombres qui comprennent C et D soit plus petite que a; il suffit pour cela de prendre des nombres a et a', d’une part, b et b', de l’autre, tels que l’on ait

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