PNR OT ET ET D

ÈS en

les nombres C et D, compris entre a + b et a+ b', sont donc égaux (n° 395, p. 4%5).

402. Il reste à montrer qu'ii existe un nombre qui satisfait à la définition précédente. Considérons un nombre rationnel quelconque; nous le rangerons dans la première catégorie s’il est égal ou inférieur à la somme de deux nombres rationnels a, b respectivement plus petits que À et B, et dans la seconde catégorie s’il est égal ou supérieur à la somme de deux nombres rationnels a’, b’ respectivement plus grands que A et B.

Il est clair que chaque nombre compris dans la première catégorie est plus petit que chaque nombre compris dans la seconde catégorie. Il est clair aussi que, dans la première catégorie, il n’y a pas de nombre plus grand que tous les autres : si, en effet, on considère un nombre quelconque c de cette catégorie, il est inférieur ou égal à la somme a + b de deux nombres rationnels respectivement -plus petits que A et B; dans les deux cas, il existe certainement des nombres a,, b, respectivement plus grands que a, b et plus petits que A, B, et le nombre a, + b,, qu’on doit ranger dans la première catégorie, est plus grand que €. On voit de même que, dans la seconde catégorie, il n'existe pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres.

S'il existe un nombre rationnel G qui n’appartienne ni à la première ni à la seconde catégorie, c'est qu'il est plus grand que toute somme obtenue en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus petits que A et B, et qu'il est plus petit que toute somme obtenue en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus grands que A, B, c’est donc qu'il est la somme des deux nombres À, B telle qu'elle a été définie, et, par cela même, on sait qu'il est unique.

S'il n'y a pas de nombre rationnel qui échappe à la fois aux deux catégories, c’est que le mode de classification précédemment expliqué définit un nombre irrationnel plus grand que tout nombre de la première catégorie, c’est-à-dire plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques«, b respectivement plus petits que A, B, et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques a’, b’ respectivement plus grands que À, B. Ce nombre irrationnel C est la somme des deux nombres A, B, et l’on écrit dans tous les cas ;

GAL RB:

Exemple : le nombre irrationnel V2 se définit comme on a fait le nombre ÿ3 et l’on a d’ailleurs, en adoptant la facon d'écrire expliquée au n° 397 Ip: #27), L 1

la somme 2 + V3 des deux nombres 2, V3 est ainsi plus grande que 41 414 + 1,732 = 3,146 ; elle est plus petite que 1,415 + 1,735 — 3,148 ; elle est donc comprise entre 3,14 et 3,15 ; 3,14 est sa valeur approchée, à 0,04. près, par défaut.

403. IT convient de remarquer que tout nombre rationnel c< CG peut être : regardé comme la somme de deux nombres rationnels respectivement plus

petits que À et B ; il n’y a lieu à démonstration que dans le cas où c a été

rangé dans la première catégorie comme inférieur (non égal) à la somme

a + b de deux nombres rationnels plus petits respectivement que A et B; on à alors c<a+4-W et, par suite, c—a<b; le nombre € pourra être regardé comme la somme des deux nombres rationnels a < À et Cab < PB...

De même, tout nombre rationnel c'>C peut être regardé comme la somme de deux nombres rationnels respectivement plus grands que À, B : car si l’on a, par exemple,

c'>a'+b", LME 2. b'>B,

on aura c'—d'>b'>B; or c'est la somme de a' > A et de c' — a!.

Ainsi l’ensemble des nombres rationnels plus petits que À + B est composé de tous les nombres que l’on peut obtenir en faisant la somme de deux nombres rationnels respectivement plus petits que A, B, et seulement des

nombres que lon peut obtenir de cette façon; l'ensemble des nombres.

rationnels plus grands que À + B est composé de tous les nombres qué l’on

peut obtenir en faisant la somme de deux nombres rationnels respective- « ment plus grands que A, B, et seulement des nombres que l’on peut obtenir

de cette façon.

404. La somme d’un nombre quelconque A et de 0 est À. En d'autres termes, on a A+O0O—0+A—A.

En effet, la somme d’un nombre rationnel a < A et d’un nombre rationnel moindre que 0, c’est-à-dire d’un nombre négatif, est moindre que a et, par conséquent, que À ; la somme d’un nombre rationnel 4 > A et d’un nombre rationnel plus grand que 0 est plus grande que a'et, par conséquent, que A. Le nombre A, étant toujours plus grand que la première somme et plus petit que la seconde est, en vertu de la définition générale, la somme des nombres A et O.

405. Si on considère maintenant des nombres rationnels ou irrationnels À, B, C, D, E, .…, en nombre fini, rangés dans un ordre déterminé, »our

définir leur somme À +B + C + D +E+ ..…., on définira la sommeA+B

des deux premiers, puis le nombre obtenu en ajoutant G à cette somme, nombre que l’on écrit A + B + C, puis le nombre obtenu en ajoutant D à À + B + C, nombre que l’on écrit À + B + C + D, etc.

406. Considérons trois nombres A, B, C; d’après ce qu’on vient de dire,

les nombres rationnels plus petits que A+ B+C sont les mêmes que les

nombres que l’on peut obtenir en ajoutant un nombre rationnel ç plus petit que C à un nombre rationnel plus petit que A+B; mais tout nombre rationnel plus petit que À + B peut s’obtenir en ajoutant deux nombres rationnels a, b respectivement plus petits que À, B; donc les nombres

rationnels plus petits que À + B + C sont les mêmes que les nombres que lon peut obtenir en ajoutant trois nombres rationnels a, b, c respectivement plus petits que A, B, C. De même les nombres rationnels plus grands que À + B + C sont les mêmes que ceux que l’on obtient en ajoutant trois nombres rationnels respectivement plus grands que A, B, C. On passe du cas de trois nombres au cas de quatre nombres, comme on a passé du cas de deux nombres aux cas de trois nombres, et il est clair que les nombres rationnels plus petits que la somme A+B+CLD + E +..., des nombres A, B, C, D, E, .… sont les mêmes que les nombres que l’on obtient en ajoutant des nombres rationnels a, b, c, d, €, .… respectivement plus petits que À, B, C, D, E, …., et que les nombres rationnels plus grands que la somme A +B+C+D+H+E +... sont les mêmes que les nombres que l’on obtient en ajoutant des nombres rationnels a', d',c', d',e', .… respectivement plus grands que A, B, C, D, E, ….

Gomme dans une somme de nombres rationnels l’ordre des termes n'influe pas sur le résultat, on voit que l’ordre des nombres À,1B;.G D; 4h tervient pas dans la détermination des nombres rationnels plus petits ou plus grands que leur somme. Ainsi :

Dans une somme de nombres quelconques, on peut intervertir l'ordre des termes.

Gette proposition subsiste évidemment lorsque quelques-uns des nombres à ajouter sont nuls, puisqu'il n’y a pas à tenir compte de ces nombres nuls, pour le résultat.

On voit de même que dans une somme de termes quelconques, on peut remplacer tels termes que l’on veut par leur somme effectuée : au surplus,

cette proposition est une conséquence de la précédente.

Les propriétés fondamentales de l'addition sont étendues aux nombres irrationnels.

407. En ajoutant à un nombre À un nombre B plus grand que 0, on obtient un nombre À + B plus grand que A.

Pour le démontrer, il suffit (n° 393, p. 424) de prouver l'existence d’un nombre rationnel a’ tel que l’on ait A < q'< A + B.

Soient b, a, a’ des nombres rationnels vérifiant les inégalités OL, LA RTE, a'— a <b,

la somme des nombres a'— a<B et a < A est plus petite que A+B:; or cette somme a'est plus grande que A.

On pourrait démontrer de la même façon qu'en ajoutant à À un nombre

négatif, on obtient un nombre plus petit que A.

408. Nombres symétriques. — Soit À un nombre quelconque. Rangeons chaque nombre rationnel r dans une première ou dans une seconde catégorie suivant que le symétrique — r de r est plus grand ou plus petit que A; le nombre rationnel r sera rangé dans une catégorie ou dans l’autre sauf

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