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dans le cas où —r serait égal à A; ce qui suppose A rationnel. Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde, puisque l'inégalité a'=> a entraine — a'<— a. Dans la première catégorie, il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres, puisque, parmi les nombres plus grands que A, il n’y en a pas qui soit plus petit que tous les autres ; de même, dans la seconde catégorie, il ai a pas de nombre plus petit que Re les autres. P
Si À est rationnel, l’ensemble des nombres rationnels est décomposé en
trois catégories ; l’ensemble des nombres rationnels plus petits que —AÀ,
l'ensemble des nombres rationnels plus grands que — A, le nombre — A lui-même ; le mode de décomposition considéré ne définit pas autre chose que le nombre — À symétrique du nombre A.
Si À est irrationnel, le mode de décomposition des nombres rationnels en deux catégories, décrit plus haut, définit un nouveau nombre irrationnel dont on dit encore qu'il est le symétrique de A et qu'on représente par — À.
Dans tous les cas, le symétrique de — A est À, comme il résulte évidemment de la définition ; les deux nombres A et — A sont symétriques l'un
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de l’autre. La catégorie des nombres rationnels plus petits que l’un n’est
autre chose que la catégorie des nombres rationnels plus grands que l’autre, tous changés de signe ; de même la catégorie des nombres rationnels plus grands que l’un n’est autre chose que la catégorie des nombres rationnels plus petits que l’autre, tous changés de signe.
Si À est positif, 0 figure parmi les nombres rationnels ce petits que A, son symétrique, qui est encore 0, figure parmi les nombres rationnels plus grands que — À ; le symétrique — A de À est négatif; de même si A est
négatif, son YA lue — À est positif. Si A était nul, son symétrique
serait aussi 0 ; c’est le seul cas où un nombre est égal à son symétrique.
Celui des deux nombres symétriques À et — A qui est positif est, par déf- à
nition, la valeur absolue de ces deux nombres.
409. Le symétrique de la somme de deux nombres A, B est la somme des
symétriques — A, — B de ces deux nombres.
La somme S des nombres A, B est en effet définie comme plus grande k que la somme a + b de dewx nombres rationnels quelconques, a, b respectivement plus petits que À et que B, et comme plus petite que la somme
a' + b' de deux nombres rationnels respectivement plus grands que A et
que B. Le symétrique — S de S sera donc défini comme étant plus grand
que les nombres — (a'+- b') et plus petit que les nombres — (4 + b), c'està-dire comme plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques — a' et — b' respectivement plus petits que — À et — B et comme plus petit que ‘la somme de deux nombres rationnels quelconques — a et — b respectivement plus grands que — A et — B. C’est dire que —S est la somme des nombres — À et — B.
410. La somme de deux nombres symétriques A et — À est égale à 0. Considérons en effet un nombre rationnel a << A et un nombre rationnel
plus petit que — À, c’est-à-dire le symétrique — a’ d’un nombre rationnel a'> A; la somme a — a’ des deux nombres a et — a' est négative, puisque a’ est plus grand que a; de même, la somme d’un nombre rationnel «=> A et d’un nombre rationnel plus grand que — A, c’est-à-dire du symétrique — a d'un nombre rationnel a < A, est positive. C’est ce qu’il fallait démontrer.
411. Conformément aux notations adoptées au n° 34 (p. 33), + A a exactement la même signification que A. Pour représenter la somme de plusieurs nombres figurés par des lettres, affectées ou non de signes, on commence par mettre le signe + devant les lettres qui manqueraient de signe et on écrit ensuite ces lettres avec leurs signes, les unes à la suite des autres. Si la première lettre comporte le signe +, on peut effacer ce signe.
412. Soustraction. — La différence entre deux nombres A et B, se définit
comme au n°35 (p. 34) : elle est le nombre qu'il faut ajouter à B pour reproduire À ; on démontre comme au n° 35, qu’elle est la somme À —B du nombre À et du symétrique — B de B.
Elle est plus grande que la somme a — b' d’un nombre rationnel plus petit que a et d’un nombre rationnel — b', plus petit que — B; elle est de même plus petite que la somme a'— b d’un nombre rationnel a’ plus grand que À et d’un nombre rationnel — b plus grand que — B. Si l'on a AB, on peut supposer a > b’; le nombre À — B est positif ; si l’on a A <B, on peut supposer a'<{b ; le nombre À —B est négatif.
413. Les propositions concernant les sommes algébriques s'étendent immédiatement aux nombres irrationnels, ainsi que les modes de démonstration que l’on a signalées au paragraphe final du premier chapitre.
414. Les propositions élémentaires qui concernent la combinaison des inégalités par addition ou soustraction se déduisent aisément des deux suivantes.
1° L’inégalité À > B, entraine — A < — B.
Pour établir cette dernière inégalité il suffit d'établir que la différence — B + A entre le second nombre et le premier est positive ; c'est ce qui résulte de l'hypothèse A > B. Réciproquement l'inégalité — À << —B entraine A > B : cette réciproque ne diffère pas de la proposition directe.
20 L’inégalité À > B entraine A+C>B +C.
Pour établir cette dernière inégalité, il suffit d'établir que la différence (A + C) —(B + CG) = A —B est positive; c’est ce qui résulte de l'hypothèse. Réciproquement l'inégalité A+C>B<+C, entraîne A >B, comme on Ie voit en ajoutant — C aux deux termes de la première inégalité.
415. De même, les règles relatives aux calculs approchés, pour ce qui concerne l'addition et la soustraction, s'étendent immédiatement aux nombres irrationnels, puisque ces règles sont fondées sur les propositions qui concernent les sommes algébriques et les inégalités.
416. Multiplication. — Pour définir le produit de deux nombres quel: conques À et B, je supposerai d’abord que ces deux nombres soient positifs; on procédera alors à peu près comme pour l'addition ; toutefois, tant qu'il
nes’agira que de définir le produit de deux nombres positifs A, B,en parlan
de nombres rationnels a, b respectivement plus petits que À, B je supposerai essentiellement que ces nombres a, b sont positifs. Le partage des nombres rationnels qui va définir le produit ne porte que sur les nombres rationnels … positifs ; la première catégorie devra être complétée en y introduisant 0 et | les nombres rationnels négatifs.
Le produit de deux nombres positifs À, B est un nombre plus grand que tous. | les nombres que l’on obtient en multipliant deux nombres rationnels positifs respectivement plus petits que À, B et plus petit que tous les nombres que l’on obtient en multipliant deux nombres rationnels respectivement plus grands que À, B.
417. Tout d’abord, s’il y a un nombre CG satisfaisant à cette définition, il est unique. On devra avoir, en effet, quels que soient les nombres rationnels positifs a, b respectivement plus petits que A, B et les nombres rationnels a', b' respectivement plus grands que A, B, les inégalités
GC ANUS or si l’on suppose a'— a = a, b'— b —$, on aura a'b'— ab = (a + à) (b + 6) — ab = af + ba + «8,
et il est aisé de voir que, en prenant convenablement les nombres a, b, a’, b', la quantité af + ba + af peut être supposée plus petite que tel nombre rationnel que l’on voudra; si l’on désigne, en effet, par p un nombre rationnel plus grand que A et que B, et si l’on suppose « et $ inférieurs à un nombre rationnel e plus petit que 1, on aura :
aB + ba + a8 pe + pe + € ou (2p +1) e.
Si l’on veut donc que le nombre positif a'b’ — ab soit inférieur au nombre rationnel *, il suffira de supposer À 3 2p + 1°
et de choisir les nombres a’, b', a, b tels que l’on ait d'—a<e, b'— b<e.
Si donc on considère un second nombre D tel que l’on ait, quels que soient les nombres rationnels positifs a, b respectivement plus petits que A, Bet les nombres rationnels a', b' respectivement plus grands que A, B,
ab<D£ab!,
on aura nécessairement D = C.
418. Cela posé, si un nombre rationnel positif est égal ou inférieur au produit de deux nombres rationnels a, b respectivement plus petits que A,B, on le rangera dans une première catégorie ; s’il est égal ou supérieur au produit de deux nombres rationnels a’, b' respectivement plus grands que A, B, on le rangera dans une seconde catégorie.
Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde catégorie.
Dans la première catégorie, il n’y a pas de nombre rationnel plus grand que tous les autres, car si un nombre rationnel c a été rangé dans cette catégorie comme étant le produit de deux nombres rationnels a, b respectivement plus petits que A, B, il suffira de faire le produit de deux nombres rationnels 4,, b, tels que l’on ait |
AL G<A, b<b,<B
pour avoir un nombre à,b, de la première catégorie plus grand que ab —c. Dans la seconde catégorie il n’y a pas de nombre plus petit que tous les autres.
S'il existe un nombre rationnel positif G qui n'appartient ni à une catégorie ni à l’autre, ce nombre est plus grand que tous les nombres tels que ab, il est plus petit que tous les nombres tels que ab’, il est le produit des deux nombres donnés A, B; par suite, il est unique.
Si aucun nombre rationnel n'échappe à la fois aux deux catégories, le précédent mode de classification des nombres rationnels définit un nombre irrationnel C ; ce nombre est le produit cherché, pour la même raison que tout à l'heure, et l’on écrit dans tous les cas
Ve Dino HO ES AP:
419. Il est aisé de voir que tout nombre rationnel positif plus petit que G peut étre obtenu en faisant le produit de deux nombres rationnels a, b respectivement plus petits que À, B. En effet, il n’y a lieu à démonstration que dans le cas où le nombre c aurait été rangé dans la première catégorie comme inférieur (et non égal) au produit de deux nombres positifs a, b,
mais de l'inégalité c< ab on tire alors
et c est Le produit des deux nombres a < A et + < b <B; c’est ce qu'il fal-
lait démontrer. De même les nombres rationnels plus grands que C sont les mêmes que les nombres que l’on obtient en faisant le produit de nombres rationnels respectivement plus grands que À, B.
420: Le produit de trois nombres positifs quelconques À, B, C rangés dans un certain ordre se définira comme le nombre obtenu en faisant le produit des deux premiers, puis le produit du résultat et du troisième nombre. Il s'écrira À XB x C ou ABC. Les nombres rationnels plus petits que ABC s'obtiennent en faisant le produit d'un nombre rationnel positif plus petit que C et d’un nombre rationnel positif plus petit que AB; mais ce dernier nombre est certainement le produit de deux nombres rationnels positifs respectivement plus petits que A, B; donc les nombres rationnels positifs
plus petits que ABC sont les mêmes que les nombres obtenus en faisant le … produit de trois nombres rationnels positifs a, b, c respectivement pluspetits que À, B, CG. De même, les nombres rationnels plus grands que ABC sont, les mêmes que les nombres obtenus en faisant le produit de trois nombres rationnels a’, b’, c' respectivement plus grands que A, B, C.
Si l’on se donne autant de nombres positifs que l’on voudra, À, B, C, D, 4
E, …, leur produit ABCDE... se définira comme obtenu en faisant le pro-
duit des deux premiers A, B, ce qui donne AB, puis le produit de AB et du. à
troisième C, ce qui donne ABC, puis le produit de ABC et du quatrième D, ce qui donne ABCD, etc.
En continuant de proche en proche le raisonnement que l’on vient de faire, on voit que les nombres rationnels positifs plus petits que le produit : ABCDE... sont les mêmes que les nombres que l’on obtient en faisant le produit de nombres rationnels positifs a, b, c, d, e, ..… respectivement plus petits que À, B, C, D, E, …, et que les nombres rationnels plus grands que ce même produit ABCDE... sont les mêmes que ceux que l’on obtient en faisant le produit de nombres rationnels a', b', c', d', e', … respectivement plus grands que À, B, C, D, E, .….. Comme le produit de nombres rationnels ne dépend pas de l'ordre des facteurs, on voit que la détermination des nombres rationnels plus petits ou plus grands que le produit d'autant de nombres positifs que l’on voudra ne dépend pas de l’ordre de ces nombres: Donc, dans un produit de facteurs positifs quelconques, on peut intervertir l'ordre des facteurs. Les conséquences de ce théorème (n° 49, p. 44) subsistent aussi. à
424. Le produit du nombre positif À par 1 est À; en effet, soient à, b, a', b' des nombres rationnels positifs qui vérifient les inégalités
a<A<a, D'ACL< 0;
on aura ab<a< A, ab'>a >A, donc ab < À <a'b'.
422. Si À, B, C sont trois nombres positifs quelconques, on a (B + C) À = BA + CA.
Supposons, en effet, en conservant toujours le même mode de notation, GLACE. DER LV) CUS
on aura, d'après les définitions, puisque les nombres a, b, c, a', b!, c' sont rationnels et positifs, | bB+c<B+C<b'+ 0, ba << BA < b'a', Car CAE CA",
puis, toujours en vertu des définitions,
(b+c)a<(B+C)A<(b"+c)a, ba + ca << BA + CA < b'a' + c'a ;
d’ailleurs les nombres a, b, c, a’, b', c' étant rationnels, on a ba+ca—=(b+c)a, b'a' +c'a —(b' +c) a';
donc; pour prouver l'égalité des nombres (B + C)A et BA + CA, il suffit de prouver que l’on peut choisir les nombres a, b, c, a', b', c' de façon que la différence
(b'Hc')a — (b+c)a
soit plus petite que tel nombre rationnel que l’on voudra. Le raisonnement est le même qu’au n° 417 (p. #34), puisque l'on peut supposer la différence entre les deux nombres a' et a, d’une part, entre les deux nombres b' + c’ et b + c, de l’autre, aussi petite que l’on voudra.
423. Je n'ai défini jusqu'ici que le produit de deux nombres positifs; le produit de deux nombres relatifs quelconques se définit, ainsi qu'on a fait . au n° 66 (p. 64), comme un nombre relatif dont la valeur absolue est le produit des valeurs absolues des facteurs et qui est positif ou négatif suivant ” que les facteurs sont de mêmes signes ou de signes contraires. On complète la définition en ajoutant que le produit de deux facteurs est nul quand l’un des facteurs est nul ; il n’est nul que dans ce cas.
Dés lors, la définition d’un produit de plusieurs facteurs, l'extension aux nombres irrationnels, positifs ou négatifs, des propriétés d’un produit, de la règle pour effectuer le produit d’une somme algébrique par une somme algébrique se poursuivent comme au $ 8 du chapitre 1°* (p. 61).
. 424. Quand on multiplie deux nombres différents par un même nombre. autre que 0, les produits sont différents. Au plus grand des deux nombres correspond le plus grand produit, si le facteur par lequel on multiplie est positif ; c'est l'inverse si ce facteur est négatif.
425. Nombres inverses. — À chaque nombre différent de 0 on peut faire … correspondre un autre nombre tel que le produit de ces deux nombres soit
égal à 1.
Considérons d’abord un nombre positif À ; le raisonnement va être tout à fait pareil à celui qui nous a conduit à la définition du symétrique d’un nombre quelconque. Rangeons chaque nombre rationnel positif r dans une:
z. Pic ë Le 1 premiére ou seconde catégorie suivant que l'inverse es de r est plus grand
ou plus petit que A. Le nombre rationnel r sera rangé dans l’une ou l’autre des deux catégories, sauf dans le cas où son inverse serait précisément égal à À, ce qui ne peut arriver que si À est rationnel. Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde caté-
Q s n . r A | | 1 de 2 e 0 gorie, car l'inégalité a’ > a entraîne TRE . Dans la première catégorie, ik
n'ya pas de nombre plus grand que tous les autres, puisque, parmi les nombres plus grands que A, il n'y en a pas qui soit plus petit que tous les autres, de même, dans la seconde catégorie, il n’y a pas de nombre plus petit que tous les autres.
Si À est rationnel, l’ensemble des nombres rationnels positifs est décomposé en trois catégories : l’ensemble des nombres rationnels plus petits
que - , l'ensemble des nombres rationnels plus grands que > le nombre
lui-même. Le mode de décomposition ne définit pas autre chose que le
des nombre ce inverse de À.
Si À est irrationnel, le mode de décomposition des nombres rationnels positifs en deux catégories, décrit plus haut, définit un nombre irrationnel
dont on dit qu’il est l’inverse de A et qu’on représente encore par -. : Dans tous les cas, l’inverse de a est À, comme il résulte évidemment de
+ 1 $ la définition; les deux nombres A et sont inverses l’un de l’autre: la
catégorie des nombres positifs plus grands que l’un est formée par les inverses des nombres positifs plus petits que l’autre, etc.
Le produit de deux nombres A et Rest égal à 1; en effet 1 est plus grand que le produit des deux nombres a et L, et plus petit que le produit des
deux nombres q/ et L , en Supposant 0<a<A<a!.
Supposant maintenant que A soit négatif, on formera un nombre négatif dont la valeur absolue soit l'inverse de la valeur absolue de A et l'on désignera encore ce nombre par — on reconnait immédiatement que le pro- ;
>. “fe
426. Division. — La division est une opération par laquelle deux nombres À et B étant donnés, dont le second n’est pas nul, on cherche un troisième C tel que l’on ait À — BC: A est le dividende, B le diviseur et le nombre - cherché C est le quotient exact de la division, ou le rapport de A à B. Supposons qu'il existe un nombre C tel que l’on ait À — BC, on devra
duit des nombres À et — est égal à 1.
e r 4 $e La e 0 d avoir, en désignant par 5 l'inverse du nombre B, défini comme on vient de
le faire,
: RQ d;
Si
en remplaçant dans le second nombre les deux facteurs B et p Par leur
produit qui est { et en se rappelant que le produit de G par 1 est égal à C, on voit qu'on doit avoir
ot | DEA 1e Réciproquement, le nombre A x = répond à la question : on a en effet | | BE (a <p)=(s x) x A=— A.
Le problème admet donc une solution et une seule; on la réprésente par AE.
la notation FE:
427. Lorsqu'on s’est occupé des fractions généralisées (Ch. vr, $ 4, p. 208), on a donné des démonstrations de leurs propriétés qui reposaient uniquement sur ce que le numérateur (ou dividende) de la fraction était égal au produit de la valeur de la fraction par son dénominateur (ou diviseur) : ces démonstrations s'étendent donc d’elles-mêmes au cas où les termes de la fraction généralisée sont des nombres irrationnels. Ainsi on peut multiplier par un
même nombre les deux termes d’une fraction & dont le numérateur et le
dénominateur sont des nombres rationnels ou irrationnels, etc... Les règles
