L- pour les opérations s'appliquent dans tous les cas

428. Les propositions concernant les calculs approchés, tant pour la multiplication que pour la division, s'appliquent aussi, sans modification, lors méme que les nombres auxquels on a affaire sont irrationnels.

Exemples. Considérons le produit de (/3 par V2; on observera que, si l'on prend les valeurs approchées 1,13 (par défaut) et 1,41 (par défaut), les

: 3 5 | : d UE a erreurs correspondantes sont moindres que 1000 et que 1000 chacun des

nombres 74 2, V 3 étant moindre que 2, l'erreur commise sur le produit sera

2 x 8 16 à » 0 . ? 6) moindre que 1000 ou où ? 22 2 d'ailleurs 1,73 X 1,41 — 2,4393 et ce

nombre est approché avec une erreur moindre que 0,02; on en conclut que 2,4 est la valeur approchée du produit à 0,1 près, par défaut.

429. Supposons qu’on ait la représentation décimale d'un nombre irrationnel À : il sera aisé d’en déduire les représentations décimales des nombres 10A, 100, 10004.

On a par exemple fe V2—1,4142135623..;

le nombre ÿ2 est compris entre 1,4142435623 et 1,41421356%; donc V2 x 1000 est compris entre 1414,2135623 et 1414,2135624; sa valeur appro-

chée à près, par défaut, est donc 1414,213562 ; c’est-à-dire que si Von

considère le symbole 1414,2135623...,

obtenu en avançant de trois rangs la virgule vers la droite dans le symbole qui représente V 2, on en déduira, en conservant les six premiers chiffres

le raisonnement est général : il suffirait d’avoir pris un, deux, trois, .

RES 7 décimaux, la valeur approchée de 2 à—— près, par défaut. Il est clair que

chiffres décimaux de plus dans la représentation décimale de ÿ2 pour prou-

> — Â 1 1 | ver que les valeurs approchées de V2 x 1000, à Tor” T0 près, s’obtiennent de la même façon. Donc :

Lorsqu'on a la représentation décimale d’un nombreirrationnel positif A, pour en déduire les représentations décimales des nombres 104, 1004, : 4000 A, …, il suffira d'avancer la virgule vers la droite de un, deux, trois... rangs.

Inversement, il est clair que, si l’on a la représentation décimale d’un nombre irrationnel positif, on obtiendra la représentation décimale du quotient obtenu en divisant ce nombre irrationnel par 10, 400, 1000, .…, en . reculant la virgule vers la gauche de un, deux, trois, ..…. rangs.

Je laisse au lecteur le soin de voir comment ces règles doivent être modifiées quand on a affaire à un nombre irrationnel négatif et qu'on adopte les notations expliquées aux n°% 386 (p. 418) et 397 (p. 426).

430. Racine nième, — Jin désignant par n un nombre naturel, plus grand que 1, on appelle racine nième {exacte) d’un nombre positif A, et l’on représente

par le symbole VA, un nombre positif qui, élevé à la puissance n, reproduit A. Ce nombre, s’il existe, est unique, car la puissance nière d’un nombre plus grand dépasserait A, puisque la valeur d’un produit augmente quand .… ses facteurs augmentent : de même la puissance nième d’un nombrepositif plus petit serait moindre que A.. :

Disons, en passant, que, dans le symbole Ÿ À, en supposant que ce symbole ait un sens, n s'appelle l’indice de la racine : l'indice ne s’écrit habituelle: ment pas quand il est égal à 2: on écrit VA au lieu de YA.

Si À est rationnel sa racine nième peut être rationnelle, on dit alors que À est une puissance nième; si A est irrationnel, il est clair que sa racine nième ne peut étre un nombre rationnel, puisque la puissance nième de tout nombre rationnel est un nombre rationnel. Ne

431. Afin de définir la racine nième du nombre positif A, rangeons chaque nombre rationnel positif r tel que l’on ait r? << À dans une première caté-. gorie et chaque nombre positif r tel que l’on ait r? = À dans une seconde catégorie. Tous les nombres rationnels positifs appartiendront à l’une ou à. l’autre catégorie, sauf dans le cas où A se trouverait être la puissance nième d'un certain nombre rationnel positif R, lequel serait alors certainement plus grand que tous les nombres de la première catégorie et plus petit que tous les nombres de la seconde catégorie. On reconnaît immédiatement que, à dans ce cas, la décomposition de tous les nombres rationnels positifs en trois catégories dontl’une ne comprend que le seul nombre R définit pré

Se

nr -

Pa ND cree LUE