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OPÉRATIONS. khi

cisément ce nombre. Écartons ce cas. Les nombres rationnels positifs sont alors décomposés en deux catégories : chaque nombre dela première est plus petit que chaque nombre de la seconde.

Il ne serait pas difficile de démontrer, comme on l’a fait pour V3, qu'il n'y a pas dans la première catégorie de nombre plus grand que tous Îles autres, ni dans la seconde catégorie de nombre plus petit que tous les autres, mais cela n’est pas indispensable pour prouver que le nombre B défini par la coupure que l’on vient de décrire est tel que l’on ait Br —;A; Il suffit de prouver pour cela que le produit de n nombres rationnels positifs plus petits que B est toujours plus petit que À et que le produit de n nombres rationnels plus grand que B est toujours plus grand que A. Or le premier point, par exemple, résulte de ce que tout nombre rationnel positif plus petit que B appartient certainement à la première catégorie et de ce que le produit de n nombres de cette catégorie, étant au plus égal à la puissance nième du plus grand d’entre eux, est donc inférieur à A.

Tout nombre positif rationnel ou irrationnel a donc une racine ni°re.

432. Si À est un nombre positif, et si l’on désigne par a n’importe quel

nombre positif, la valeur approchée de V À à « près sera le produit de « par un nombre entier k tel que l’on aït

Nj=— ka VA<(EH L)e.

Or, on conclut de ces inégalités

(ka)r ZA € [(k+1)a}";

ka sera donc le plus petit multiple de « dent la nième puissance soit inférieure ou égale à A; c’est ce qu'on a appelé, lorsque A est rationnel, la racine nième de À à « près, par défaut, et cette expression a donc le même

n — sens que celle-ci : la valeur approchée du nombre V A à « près, par défaut. On voit ainsi se justifier entièrement l’expression (n° 297, p. 332) valeur approchée de la racine nième d’un nombre À avec une erreur moindre que e : ce

qu’on a appelé ainsi, c’est bien une valeur approchée du nombre VA avec une erreur moindre que e. Les règles qu’on a données alors pour le calcul approché de la racine d’un nombre connu avec une certaine approximation, s'appliquent manifestement au calcul numérique des racines et des nombres irrationnels. Il serait d’ailleurs maintenant très aisé de retrouver ces règles ou d’autres équivalentes.

433. Pour nous borner par exemple à la racine carrée, on pourra se servir de l'égalité [(3), n° 51, p. 50]