EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ET NÉGATIFS

La démonstration est toujours la même; on a

Éd pg° TE RE a AT A VENT TJ A pa’ Ness pa — 4.

— es a !

ROLE EE ASE ÿ/AP9 = pa = À Li At Am VA: se

448. La notion de différence s'applique encore quand les deux nombres à retrancher sont égaux : si l’on voulait, dans le cas de deux exposants

! " égaux Le ce appliquer la même règle, on serait amené à écrire gd q

vel re

et cette égalité qui n’a, non plus que son second membre, aucun sens en acquiert un et devient vraie si l’on convient de représenter par le symbole A° le nombre 1. Cette convention est aussi utile, et il convient d'observer, puisqu'on ne change pas un nombre en le multipliant ou en le divisant par 1, que, si on l’adopte, les égalités |

AUSCALE= AND ET ns

sont vrées quel que soit le nombre positif A et quels que soient les nombres rationnels a, b, positifs ou nuls, pourvu toutefois que dans la seconde égalité a soit au moins égal à 6.

449. On peut aller encore plus loin et s’arranger pour que la précédente égalité subsiste encore lors même que a est plus petit que b; le premier

membre est alors égal à ue , où l’exposant b—a est positif; le second

Ab—

membre Aa—b où l’exposant a — b = —- (b—a) est négatif n'a, jusqu'ici, aucun sens, on convient de lui donner la même signification qu’au premier et, d’une façon générale, si a désigne un nombre rationnel, positif, de poser

Aa

le second membre étant la définition du premier.

Remarquons d’abord que cette égalité subsiste, en vertu des conventions adoptées, lors même que a est nul ou négatif : quand a est nul, les deux membres sont égaux à 1 ; si a est négatif, désignons sa valeur absolue par b; le premier membre sera Aë, le second sera l'inverse de A—b, c’est-à-dire encore Aë, en vertu de la définition de À — b, |

450. Dans ces conditions, l'égalité Aa x Ab = At subsiste quels que soient les nombres rationnels a et b. Elle est démontrée quand a et b sont positifs, elle est évidente quand l’un des nombres a, b est nul, puisque A°

est égal à 1. Désignons dans tous les cas par a et 8 les valeurs absolues a et de b.

Si a et b sont négatifs tous deux, les deux facteurs du premier membre sont, par définition, les inverses de A°, AS et le second membre est l'inverse de A*+$; puisque As+$ est égal à A4 X A3, et que l'inverse d’un produit est

égal au produit des inverses de ses facteurs, légalité à SÉMTAEE est évi-,

dente.

Supposons maintenant que les deux nombres a, b soient de signes contraires, que a, par exemple, soit positif, et que b soit négatif, l'égalité à démontrer prend alors la forme

Ac B3

AT

qui a été démontrée quand « est plus grand que Ê, qui, dans le cas con-

traire, a été notre point de départ pour la définition des exposants négatifs. 451. Le nombre AP ayant été ainsi défini pour toute valeur rationnelle du nombre B, il est naturel de chercher à le définir pour une valeur irra-

tionnelle de B. Sans développer ce sujet, qui sortirait du cadre de cet

ouvrage, je me contenterai de dire que le nombre AB se définit alors, si A est plus grand que 1, comme étant plus grand que tous les nombres Aë obtenus en élevant À à une puissance rationnelle b plus petite que B; et. plus petit que tous les nombres A?’ obtenus en élevant À à une puissance rationnelle b’ plus grande que B. C’est l’inverse quand A est plus petit que 1. Les règles du calcul des exposants entiers s'étendent encore aux exposants irrationnels. |

$ 6. — Ensembles.

452. Considérons l’ensemble des nombres distincts qui satisfont à une condition déterminée ; ils peuvent être en nombre fini ou infini. L'ensemble des diviseurs entiers d'un nombre entier donné ne comprend qu’un nombre fini de termes; l’ensemble des multiples entiers d’un nombre donné en comprend une infinité; de même l’ensemble des nombres premiers, l’en- ” semble des valeurs distinctes approchées de 2, par défaut, à 0,1, à 0,01,à 0,001, … près, l'ensemble des nombres rationnels compris entre die nombres donnés.

En général, on dira qu’un ensemble de nombres ou, plus brièvement, un ensemble est défini, lorsque l'on peut décider d’un nombre quelconque positif, nul ou négatif, s’il appartient ou non à cet ensemble. Tel est le cas des ensembles qui viennent d’être énumérés : étant donné, par exemple, un

nombre quelconque, on a le moyen de reconnaître si ce nombre est premier

ou non : les nombres premiers forment un ensemble défini ; on a le moyer de reconnaitre si un nombre est ou n’est pas une valeur approchée de V2