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semble des nombres rationnels compris entre 2 et 3 est borné en haut et en bas.

bre M qui jouit des propriétés suivantes : 1° il est supérieur ou égal à tout nombre de l’ensemble ; 2 il n'y a pas de nombre plus petit que M qui soit supérieur ou égal à tout’nombre de l’ensemble ; en d’autres termes, si on

considère un nombre quelconque M plus petit que M, on peut affirmer qu'il :

y a un nombre de l’ensemble qui est plus grand que M’. En d’autres termes encore, quelque petit que soit le nombre e, il y a dans l'ensemble au moins un nombre dont la différence avec M est moindre que &.

* D'après sa définition, le nombre M, s’il existe, est unique : il s’appelle la

borne supérieure de l'ensemble.

L'existence de la borne supérieure est évidente dans quelques cas. S'il y a parmi les nombres de l'ensemble un nombre M qui soit plus grand que tous les autres nombres de l’ensemble, ce nombre est lui-même la borne supérieure. C’est ce qui arrive nécessairement lorsque l’ensemble ne comprend qu’un nombre fini d'éléments.

Supposons que tous les éléments de l’ensemble soient inférieurs à P et que.

parmi ces éléments il n’y en ait aucun qui soit supérieur aux autres. Rangeons les nombres rationnels en deux catégories : dans la première,

nous placerons chaque nombre rationnel m qui se trouve être inférieur ou

égal à un nombre de l’ensemble ; rangeons dans la seconde catégorie chaque

nombre rationnel "m' qui est plus grand que tout nombre appartenant à

l'ensemble : il y a des nombres dans cette catégorie; tels sont les nombres

454. Bornes. — Quand un ensemble est borné en haut, il existe un nom-

rationnels plus grands que P. Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde.

Si À est un nombre quelconque de l’ensemble, il y a, par hypothése, dans le même ensemble, un nombre B > A; tout nombre rationnel compris entre À et B appartient à la première catégorie; ainsi il y a dans la première catégorie des nombres rationnels supérieurs à A. Il ne peut y avoir dans la première catégorie un nombre plus grand que tous les autres ; car si » est un nombre de cette catégorie, il y a été rangé comme inférieur ou égal à un nombre A de l’ensemble; or, puisqu'il y a dans l’ensemble des nombres B plus grands que À, tout nombre rationnel compris entre m et B appartient aussi à la première catégorie.

Dans la seconde catégorie, de deux choses l’une, ou il y a un nombre M plus petit que tous les autres, ou iln’y en a pas. Dans ce secondeas, la séparation des nombres rationnels en deux catégories définit un nombre irrationnel, que je désignerai encore par M. du

Dans les deux cas, M est plus grand que tout nombre de l’ensemble.

En effet, si À est un nombre de cet ensemble, il y a dans la premiere catégorie un nombre (rationnel) » plus grand que À ; ce nombre m est plus petit que M ; on a donc M > A. |

Si M’ est un nombre quelconque plus petit que M, il y a des nombres de l’ensemble compris entre M'et M; en effet, si m est un nombre rationnel quelconque compris entre M' et M, m qui est plus petit que M ne peut appartenir à la seconde catégorie, il appartient donc à la première, et il y a des nombres de l’ensemble supérieurs ou égaux à m; un tel nombre est plus petit que M, il est donc compris entre M' et M. On observera que, entre Met M, il y à une infinité de nombres de l’ensemble; si, en effet, on a démontré qu'il y en a p, soit A le plus grand de ces p nombres : A est plus petit que M ; il y a donc entre A et M quelque nombre de l’ensemble : entre M'et M il y a donc p + 1 nombres de l’ensemble, etc.

Dans le cas où il y a, parmi les éléments de l’ensemble, un nombre M qui est plus grand que tous les autres, dans le cas où, en d’autres termes, la borne supérieure de l’ensemble appartient à cet ensemble, on peut encore affirmer, quel que soit le nombre M'< M, qu’il y a dans l’ensemble un nombre plus grand que M'; tel est le nombre M lui-même: mais on ne peut plus affirmer qu’il y a des nombres de l’ensemble compris entre M' et M, et, a fortiori, qu'il y en ait une infinité.

455. Si l’on sait que tous les nombres d’un ensemble sont inférieurs ou ” |

égaux à P, il est clair que la borne supérieure M de cet ensemble ne pourra

être supérieure à P, puisqu'il ne peut pas y avoir de nombre plus petit

que M qui soit supérieur ou égal à tout nombre de l’ensemble.

Si, dans un ensemble dont la borne supérieure est M, on supprime certains nombres, M est toujours supérieur ou égal à ceux qui restent ; par suite, la borne supérieure de l’ensemble formé par les nombres que l’on n'a pas supprimés est au plus égal à M.

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