ENSEMBLES
456. On démontrera comme tout à l'heure que, pour tout ensemble borné en bas, il y a un nombre m jouissant des propriétés suivantes : 1° m est égal ou inférieur à tout nombre de l’ensemble ; 2 il n’y a pas de nombr{ plus grand que m qui soit égal ou inférieur à tout nombre de l’ensemble. En d’autres termes, si m'est un nombre quelconque supérieur à m, il y a ai moins un nombre de l’ensemble qui est plus petit que m'. Ce nombre m, nécessairement unique, s'appelle borne inférieure de l’ensemble. |
Pour le définir, dans le cas où il n’y aurait pas dans l’ensemble considéré de nombre plus petit que tous les autres, on séparera encore les nombres rationnels en deux catégories, la seconde catégorie comprenant chaque nombre rationnel qui se trouve être supérieur ou égal à quelque nombre de l'ensemble ; dans cette catégorie il n’y a pas de nombre plus petit que tous les autres ; si parmi les nombres rationnels qui n’y rentrent pas il y en a un plus grand que tous les autres, ce sera le nombre m cherché. Si parmi les nombres qui ne rentrent pas dans la seconde catégorie il n’y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres, ces nombres rationnels, à eux tous, forment la première catégorie et la séparation de tous les nombres rationnels en deux catégories définit alors un nombre irrationnel qui est la borne inférieure de l’ensemble considéré.
Si tous les nombres de l’ensemble sont supérieurs ou égaux à un nombre p, sa borne inférieure sera aussi supérieure ou égale à p.
Si l’on, supprime quelque nombre d'un ensemble dont la borne inférieure est m, la borne inférieure de l’ensemble des nombres restants sera égale ou supérieure à 7.
457. Si l'on considère un ensemble dont les bornes supérieure et inférieure sont M et m, tout nombre de l’ensemble sera égal à l’un des nombres M, m ou compris entre ces nombres : la différence entre deux nombres quel
conques de l’ensemble est donc égale ou inférieure à M — m.
D'ailleurs, puisqu'on peut trouver dans l’ensemble des nombres qui diffèrent de M et de m aussi peu qu'on le veut, on pourra former des différences entre deux nombres pris dans l’ensemble qui diffèrent aussi peu qu'on le voudra de M — m: donc M — m est la borne supérieure de l’ensemble
des nombres distincts que l’on peut former en retranchant un nombre de
l'ensemble d’un autre nombre de l’ensemble. C’est ce qu’on appelle lécart
de l’ensemble.
458. Considérons deux ensembles (A), (B) ; supposons qu'on sache que chaque nombre de (A) est inférieur ou égal à tous les nombres de (B). On pourra affirmer que l’ensemble (A) est borné en haut et que l’ensemble (B) est borné en bas ; désignons respectivement par A et par B les bornes supérieure et inférieure des ensembles (A) et (B).
Soit maintenant (C) l’ensemble des nombres distincts, tous positifs ou nuls, que l’on obtient en retranchant un nombre de (A) d’un nombre de (B) : le premier est égal ou inférieur à A, le second est égal ou inférieur à B, la différence est égale ou supérieure à B— A; d’autre part, il y a dans (C) des
nombres aussi voisins qu'on voudra de B— À, puisqu'il y a dans (B) et dans (A) des nombres aussi voisins respectivement de B et de A qu’on le veut : la différence B— A est donc la borne inférieure de (C). Cette différence est positive ou nulle, puisque tous les éléments de (C) sont positifs ou nuls.
Si l'on sait en outre, qu’il y a dans les ensembles (A) et (B), des nombr es
qui diffèrent aussi peu qu’on le veut, il y aura dans (CG) des termes aussi
voisins de 0 qu'on le voudra; la borne inférieure de (C) sera nulle : les.
bornes supérieure et inférieure de A et de B seront égales. Tel est le cas des deux ensembles que l’on obtient en pratiquant une coupure dans l’ensemble des nombres rationnels ; la borne inférieure de l’un est égale à la borne supérieure de l’autre; ces ous bornes sont is au nombre que définit la coupure.
459. Éléments d'accumulation. — Si l’on considère un ensemble quelconque, on dit que À est un élément d'accumulation de cet ensemble, pour dire, en gros, qu'il y a des éléments de l’ensemble, autres que A, aussi voi-
sins de A qu'on le veut et, d’une façon précise que, quelque petit que soit.
le nombre positif e, il y a un élément de l’ensemble, autre que A, compris entre À — € et À + e. Si cette dernière condition est vérifiée, on peut affirmer qu'il y a entre À — € et À + e une infinité d'éléments de l’en-
semble : car s’il y en a seulement p, choisissons le nombre positif e! moin-.
dre en valeur absolue que toutes les différences entre ces p éléments et le nombre À ; il y a, par hypothèse, un élément de l’ensemble compris entre A—e'et À +e'; cet élément est distinct des p éléments qu’on vient de considérer, il est compris entre À — € et À + e; entre ces deux derniers nombres, il y a donc p + 1 éléments de l’ensemble, etc.
D’après cela, on peut dire encore que À est un élément d’accumulation P
de l'ensemble (E) si, quelque petit que soit le nombre positif e, il y a une infinité d'éléments de l’ensemble compris entre À — e et À He.
Si au contraire, le nombre A n’est pas un élé ment d’accumulation de.
l’ensemble (E), il y a un nombre positif e tel qu'il n’y aït qu'un nombre fini d'éléments de l’ensemble entre À — & et À + e, puisque, s'il y en avait une infinité quelque petit que fût €, À serait un dément d’accumulation :
d'où il est aisé de conclure qu’on peut prendre € assez petit pour qu'il n y
ait entre À — € et À —+ € aucun élément de l’ensemble sauf le nombre A
s'il appartient à l'ensemble.
Un élément d’accumulation d’un ensemble peut faire partie, ou ne pas
faire partie, de cet ensemble.
La borne, supérieure ou inférieure, d’un ensemble est certaincment un élément d’accumulation de l’ensemble si elle n’en fait pas partie, Elle peut d'ailleurs être un élément d’accumulation d’un ensemble dont elle fait partie : 2 est un élément d'accumulation de l’ensemble des nombres 1ationnels
plus petits que 2 et de l’ensemble des nombres rationnels inférieurs ou égaux é
La notion d’élément d’accumulation donne lieu à l'important thécrème
que voici.
ge
460. Soit (E) un‘ensemble comportant une infinité d'éléments, tous compris entre les deux nombres P et Q > P. Il y a au moins un élément d'aceumulation À de l’ensemble qui satisfait aux conditions P Z A Z Q.
Rangeons en effet dans une première catégorie tout nombre rationnel a tel qu’il n’y ait pas d’élément de l’ensemble qui soit inférieur à 4, ou qu'il n’y en ait qu’un nombre fini : il y a certainement de tels nombres a, par exemple les nombres rationnels inférieurs à Q ; rangeons dans la seconde catégorie les nombres rationnels a’ tels qu’il y ait une infinité d'éléments de l’ensem-
ble qui soient inférieurs à a’; il y a de tels nombres a, par exemple, les
nombres rationnels supérieurs à P : la coupure aïnsi obtenue définit un nombre rationnel ou irrationnel A ; il y a des nombres a et a appartenant l'un à la première catégorie, l’autre à la seconde, comprenant entre eux le nombre À et dont la différence a' — a est moindre que tel nombre positif e que l’on veut. Il n’y a qu’un nombre fini d'éléments de (E) qui soient moindres que a, il y en a une infinité qui sont moindres que a’; il y en a donc une infinité entre a et a’ : À est un élément d’accumulation de l'ensemble.
Il est clair qu’un point d'accumulation d'un ensemble borné en bas et en haut ne peut être ni plus petit que la borne inférieure, ni plus grand que la borne supérieure ; il est égal à l’un ou à l’autre de ces bornes ou compris entre elles.
Cette proposition est due à Bolzano, géomètre du commencement du siècle dernier; elle joue un rôle essentiel dans la théorie des ensembles, théorie tue l’on doit à M. G. Cantor.
$ 7. — Limites.
464. Rappelons et complétons la définition du n° 219 (p. 248). Soit &;; >, ES Un: .…
une suite infinie donnée de nombres rationnels ou irrationnels : en disant que cette suite est infinie, nous entendons seulement que chacun de ses termes est suivi d’un autre ; en disant qu'elle est donnée, nous entendons qu'on se donne un moyen de calculer un terme quelconque connaissant son rang : si ce terme était irrationnel, cela voudrait dire qu’on se donne la loi de séparation des nombres rationnels en deux catégories qui le définit.
On dit que cette suite a le nombre À pour limite, ou mieux que ün à À pour limite quand n grandit indéfiniment (ou pour n infini) afin de dire, en gros, Que an est une valeur aussi approchée de À qu'on le veut, pourvu que n soit suffisamment grand, et, d’une façon précise, que, quelque petit que soit le nombre positif , on peut lui faire correspondre un nombre naturel p tel que tous les termes de la suite qui suivent le pième aient avec À une
différence moindre que &; tous ces termes sont alors compris entre À — € tt A He.
462. Considérons, par exemple, un nombre irrationnel A et la suite a,, 3... An... de ses valeurs approchées normales avec: LS nie chiffres décimaux.
La différence À — a, est inférieure à FE à quel que soit le nombre posi-
tif , on peut évidemment trouver un nombre entier p, tel que l’on ait
T< e, et il est clair que l’on aura À — An, < €, pourvu que l'on.
suppose n supérieur (ou égal) à p. A est donc la limite de la suite précédente.
On voit aussi bien que le nombre irrationnel A est la limite de la suite
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formée par les valeurs approchées à 0,1, à 0,01, à 0,001, près, par excès.
