Lorsqu'on se donne une suite infinie de nombres

PAR CAPOT: Pere

admettant une limite A, chaque terme constitue en quelque sorte ura valeur approchée de A ; l'erreur que l’on commet en remplaçant la limite A par un terme de cette suite, a, par exemple, est la différence «,, entre A et an; cette erreur a elle-même pour limite zéro quand n augmente indéfiniment.

Si plusieurs nombres sont donnés ainsi par des suites infinies, si l’on a à faire, sur ces nombres, des opérations d’addition, de soustraction, de mul-

tiplication et de division, et si l’on remplace dans ces opérations les nom-

bres vrais (les limites) par des valeurs approchées (les termes des'suites),

on aura des valeurs approchées des résultats, avec des erreurs moindres

que des nombres qu’on a appris à déterminer au chapitre vi (p. 271). On reconnaît sans peine que ces erreurs peuvent être supposées aussi petites qu'on le veut en prenant des termes suffisamment éloignés dans les suites, et par conséquent assez rapprochés de leurs limites; cette remarque conduit aux théorèmes suivants :

Supposons que ax et b, aient respectivement pour limites A et B, quand n augmente indéfiniment, la somme ax + b, aura pour limite A + B; le produit anb, aura pour limite AB, la différence a, — b, aura pour limite

A — B; enfin, pourvu que B soit différent de O, la fraction aura pour

Por À limite ie : 466. Je me contenterai de démontrer la dernière proposition, qui demande

quelques précautions de plus que les autres.

Si B n’est pas nul, on finira par ne plus rencontrer dans la suite b,, b., b», … que des termes qui ne sont pas nuls; on ne considérera les

nt An Fa vérifiée.

Désignons en général par «;,, B, les erreurs que l’on commet en prenant respectivement 4, et b, pour À et B, en sorte que l’on ait À — a, + a», An

B = b, + By, l'erreur que l’on commettra en prenant 7. pour n

termes —- qu'à partir d'un rang tel que cette condition se trouve toujours

sera B

Désignons par A'et B' les valeurs absolues de À et de B. Quel que soit

le nombre positif e, on peut lui faire correspondre un nombre naturel p

tel que, sous la condition n > p, les valeurs absolues de An; Pn Soient moindres que & ; dès lors, si l’on désigne par B” un nombre positif plus petit que

B’, et si l'on choisit e< B' — B/, il est clair que le second membre de l’égalité précédente sera moindre en valeur absolue que

(A'LB')e

sous la condition n > p : le numérateur de cette fraction est en effet plus

grand que la valeur absolue de Bay, — AB, tandis que son dénominateur est

plus petit que la valeur absolue de B (B — Bn). Or, si l’on veut que la valeur de cette fraction soit moindre que le nombre positif n, arbitrairement donné, il suffit de prendre

Quel que soit le nombre positif n, on peut lui faire correspondre un.

: ; An Ace ta nombre naturel p tel que l'erreur commise en prenant = pour —- soit n À

moindre que p. C'est ce qu’il fallait démontrer.

Il est très important, étant donnée une suite infinie (c'est-à-dire comprenant un nombre infini de termes rangés dans un ordre déterminé), de

savoir reconnaître si cette suite a, ounon, une limite. On a à sa disposition, pour cela, quelques théorèmes dont je vais m'occuper.

467. Si les termes de la suite infinie Gi; gs ++. An; .. ne VOnt jamais en diminuant lorsque l’on s’avance dans la suite et s'ils sont tous inférieurs à un nombre fixe P, la suite a une limite qui ne peut dépasser P, et qui est au moins égale à n'importe quel terme de la suite.

Considérons, en effet, l’ensemble des nombres distincts qui entrent dans cette suite. Cet ensemble est borné, puisque tous les nombres qui le composent sont plus petits que P. Il a donc une borne supérieure A qui ne peut être plus grande que P, qui est supérieure ou égale à n'importe quel nombre de la suite. Si l'on se donne un nombre positif quelconque , il y a dans l'ensemble, ou dans la suite, au moins un nombre qui diffère de A d’une

quantité moindre que e. Soit 4, ce nombre, les termes de la suite qui sui-

vent a, sont supérieurs ou égaux à @,, inférieurs ou égaux à À : leur diffé-

rence avec À est donc inférieure ou égale à À — ap et certainement moindre -

que €. La suite a donc À pour limite. Observons que si le nombre A était

égal à un terme de la suite, à a, par exemple, tous les termes de la suite 4

qui suivent a, seraient nécessairement égaux à A.

468. Imaginons, par exemple, un symbole écrit comme un nombre décimal qui aurait un nombre infini de chiffres décimaux, et considérons la suite dont les termes successifs Qi; As, An, … Seraient obtenus en conser-

vant seulement 1, 2, .…., n, … chiffres décimaux ; ces nombres, à mesure qu’on s’avance dans la suite, ne vont jamais en diminuant ; chacun d'eux

est d’ailleurs inférieur à l’un quelconque des termes de la suite

1 1 À UT 0: T0 ? . An À Tor dass

ainsi qu'il résulte immédiatement de la règle pour reconnaitre quel est le

plus grand de deux nombres décimaux donnés.

La première suite a donc une limite A supérieure ou égale à n'importe lequel de ses termes, inférieure ou égale à n'importe quel terme de la seconde suite. À ne peut être égal à un terme a, de la première suite que si tous les termes suivants sont égaux à an, c'est-à-dire si tous les chiffres qui, dans le symbole décimal, suivent le nième sont des zéros. La seconde suite a manifestement la même limite; voyons si cette limite À peut être

égale à l’un des termes; lorsque, dans cette seconde suite, on s'avance vers la droite, les termes ne vont jamais en augmentant; il en résulte que si A

r x , » { Ê est égal à l’un d'eux, à an + on > Par exemple, tous les termes suivants

LA La * 1 LI sont aussi égaux à À et à a, +—— ; or, pour que l’on ait

1 1 An + 70% = An+1 + Tor?

il faut et il suffit que l’on ait

SereR 4 se CAE ÈUE En 107% Ke 107 +1 EE 10%+1?

mais la différence an+1 — an est égale au dernier chiffre de dr+1 divisé par 107+1; légalité précédente ne peut donc avoir lieu que si le dernier chiffre de a+, est un 9; le raisonnement se continue et l’on voit que À ne peut

être égal à dx + que si, dans le symbole décimal, tous les chiffres qui

suivent le nième chiffre décimal sont des 9. Si l'on exclut ce cas, on voit que l’on aura, quel que soit n,

An < À < An

Le 407 °

par suite, An et An + — seront les valeurs approchées de À par défaut et

par excès à ——— près; en sorte que le symbole décimal qu'on a imaginé est

10" la représentation décimale du nombre A, qui, par suite, ne peutêtre rationnel, sauf dans le cas où cette représentation décimale est une fraction

décimale périodique.

469. Au théorème du n° 466 (p. 457), il convient d’ajouter un théorème analogue et dont la démonstration est toute pareille : Une suite infinie LP ÉRNER ARS

admet une limite si, en s’avançant dans la suite, les termes ne vont jamais en augmentant, et s'ils restent supérieurs à un nombre fixe. Cette limite est au plus égale à l’un quelconque des termes de cette suite. C’est la borne inférieure de l’ensemble formé par tous les nombres distincts de la suite.