Soit a une valeur approchée de V/A ; soient ensuite
a =; («+2 m= (a+) = (4 =); no =). M LE 4: "4 Pa ER NE a 14 + os 0
les nombres a, 4, …., 4n, .… fournissent des valeurs qui approchent rapidement de VA, toutes par excès.
Démontrer que l'on a
ay — VA (a — 2 An + VA F \di + VA
vers quelle limite tend a, quand » augmente indéfiniment?
Le procédé de calcul de la racine carrée d’un nombre qui résulte de la proposition précédente était connu des Anciens. | 308. Étant donnés deux nombres (positifs) a, b, on forme une suite de nombres @1, 01, @, b3.…., &,, bh, … tels que l'on ait Rte
re
a +b a b EUR :
4 — ar b, EE V&b, da — : u 0 SE Vaæbi , ….. : ;
chaque terme de la suite a, b, &, bi. 2, 0x, .… est ainsi, à partir du troisième,
alternativement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les deux
termes qui le précèdent ; en supposant a < b, les termes de la suite d, Qi, As, .… VON
‘€n'croissant, les termes de la suite b, b, Ü:, …, On, .… vont en décroissant; démontrer que l’on a :
by — du ne (8 CPR a), 1%
que a, et db, tendent vers une limite commune quand x augmente indéfiniment. Ex est-il de même quand on a a > b? |
An —
En
NOMBES IRRATIONNELS; LIMITES. 467
1 0 En supposant a = 0, b — Sr: calculer la limite avec trois décimales exactes.
309. a étant un nombre naturel autre que 1, on considère une suite indéfinie de nombres entiers, positifs ou nuls,
Xps ps Kay vo) Dyps see
tous plus petits que a, et l'on considère le nombre
démontrer que à, , lorsque n augmente indéfiniment, tend vers une limite : cette limite est un nombre irrationnel si, à partir d’un certain rang, les termes de Ja suite
os Xts Las +, My nee
ne se reproduisent pas périodiquement.
310. On considère une suite indéfinie de nombres entiers, tous plus grands que 1,
dy, A, Ag se As ve.
et une suite de nombres entiers, positifs ou nuls, correspondant aux précédents
&1; Ya, 3 .. X,, …
tel que l'on ait, quel que soit n, «, << 4,; soit, en désignant «y un nombre entier quelconque œ1 3 3 Œn
di dido Aydala : 12 3....ln
Démontrer que &, tend vers une limite quand # augmente indéfiniment.
