TH

Supposons maintenant qu’on veuille retrancher un nombre d'une somme de plusieurs autres, et que l’une des parties de la somme soit plus grande que le nombre à retrancher. Par exemple, on veut retrancher 4 de la somme 2 + 7 +9 +1 ; la partie 7 est plus grande que 4; elle peut être remplacée par la somme du nombre 4 et de la différence 3 —7— 4; en sorle que la somme proposée peut s'écrire

Du Si 0 4:

d’après ce qu on vient de dire, si l’on en retranche 4 le résultat sera 2+3+9+1,;c'est la somme proposée oùle nombre 7 est remplacé par 5, différence entre 7 et 4. Le raisonnement est général : |

Pour reltrancher un nombre d'une somme, il suffit de retrancher

ce nombre d’une des parties de la somme.

Getle proposition doit être rapprochée de celle-ci, dont, au fond, elle ne diffère pas : pour ajouter un nombre à une somme, on peut ajouter ce nombre à une des parties de cette somme (n°16, p. 43).

22. Définition des sommes algébriques. Ajouter ou retrancher une. somme ou une différence. — Les théorèmes dont nous allons nous.

occuper concernent des suites d’additions et de soustractions. Jusqu'à ce qu'on dise expressément le contraire (n° 96, p- 25), je supposerai essentiellement que les opérations se fassent toujours. dans l’ordre indiqué, en allant de gauche à droite. Ainsi l'écriture 9+7T—8—5+85—1 \

signifie le nombre obtenu en faisant les opérations suivantes : à 9 on ajoute 7; du résultat on retranche 8 ; du résultat on retranche 5: au. résultat on ajoute 3; du résultat on retranche 1 : le résultat final est 5; je suppose aussi que, dans une pareille suite d'opérations, on ne soit pas arrêté par quelque soustraction impossible.

Une expression telle que la précédente s’appelle une somme algébrique : le mot « somme », que le lecteur est prié d’accepter, ne se justifie que quand on introduit les nombres négatifs, dont il ne sera pas question ici, sauf dans les numéros imprimés en texte fin. Sauf dans ces numéros, je ne sous-entendrai jamais l’épithète algébrique. Quand :l sera question d'une «somme», sans épithète, il est entendu que cette somme ne comportera que des additions.

Je rappelle encore que les opérations indiquées sur des symboles qui figurent entre parenthèses doivent être regardées comme effec-tuées.

Remarquons en passant que, d'après ces conventions, les égaæ- Htés

(a+b)—b—=a, (a—b)+b—=a, ou a+b—b—a, a—b+b—a

n'expriment pas autre chose que la définition de la soustraction. Toutefois, pour avoir un sens, les égalités de droite supposenta> b. Remarquons encore que légalité

a+b—c—a—c+pb,

qui, pour avoir un sens, exige que 4 soit au moins égal à ec, exprime une proposition établie plus haut : le premier membre, en effet, représente le résultat obtenu en retranchant c de la somme a +b; le second représente le résultat obtenu en ajoutant la différence a — cet le nombre bd; or on a vu que, pour retrancher un nombre c d’une somme a + b, il suffisait de retrancher ce nombre d'une parüe a de cette somme, lorsque cette soustraction est possible. Si c est inférieur ou égal à b, on peut aussi écrire

puisque, pour retrancher c de la somme a + b, on peut retrancher c de la partie b, en supposant cette soustraction possible.

Les théorèmes L IE, HE, IV, qui suivent, concernent la façon d’ajouter à un nombre &, ou de retrancher d’un nombre &, la somme ou la différence de deux nombres b et c : le premier de ces théorèmes a déjà été énoncé plus haut (n° 12, p. 14).

I. On obtient le méme résultat soit en ajoutant d'un coup au nombre a la somme des deux nombres b et c, Soit en lui ajoutant succes-

sivement ces deux nombres. En d’autres termes, on a

Plus généralement d’ailleurs, pour ajouter au nombre a une somme quelconque, on peut lui ajouter successivement les parties de cette somme. | :

IL. On obtient le même résultat, soit en retranchant d’un coup du nombre a la somme des nombres b el c, soit en relranchant Successivement du nombre a les deux nombres b et c. En d'autres termes on a

Cela est clair sur la figure 8 où les nombres 4, b, c sontreprésentés

par des collections de points À, B, C :

Supprimer de la collection totale A les deux collections B, C réunies ensemble ou les supprimer successivement, c'est évidemment la même chose.

Il est clair que si les opérations peuvent se faire d’une façon, elles peuvent aussi se faire de l'autre; en d'autres termes si, comme on doit le supposer pour que le premier membre de l'égalité

2 ait un sens, a est supérieur ou égal à 8 be, aest supérieur ou égal à beta — b

est supérieur ou égal à c. Réciproquement, si a est supérieur ou égal à b, et si a — b est supérieur ou égal à c, a est supérieur ou égal à b + c.

Il est clair, enfin, que le même mode de raisonnement s’appliquerait au cas où la somme à retrancher contiendrait plus de deux. parties ; au lieu de retrancher cette somme d'un coup, on pourrait en retrancher successivement toutes les parties.

II. On obtient le méme résullat soit en ajoutant d'un coup au nombre a la différence entre les deux nombres b et c, Soil en ajoutant d’abord b au nombre a et en retranchant ensuile © du résullat:

. En d’autres termes, on a y

Fig.

Cela a été établi au numéro 21 (p. 18). Le lecteur n’aura d’ailleurs aucune peine à faire une figure qui metle la proposition en évidence. IV. On obtient le méme résultat soût en retranchant d'un coup du

nombre a la différence b — c, soil en ajoutant à a le nombre c et en retranchant ensuite le nombre b. En d’autres termes, on a

Cette proposition, qui suppose évidemment bX cet a b— c, est mise en évidence dans la figure 9; la collection D est obtenue en retranchant la collection C de Ia collection B; en retranchant cette collection D de A, on obtient la collection de points situés dans le rectangle de gauche; d’après la façon dont elle a été formée, elle contient a — (b — c) points : c’est la même collection qu’on obtient en réunissant les deux collections A et C, et en retranchant ensuite la collection B.

On peut encore raisonner comme il suit, d'une façon qui, au fond, diffère à peine de celle qui précède.

Posons b — c = d, d'où b—=c+d; il faut prouver que l’on a

Fig. 9.

or, pour retrancher de a+ c le nombre b ou c + d, on peut retrancher d’abord c ce qui donne a, puis d, ce qui donne bien a — d. 23. On n’alitère pas une différence en ajoutant un méme nombre aux deux termes, ou en retranchant un méme nombre des deux termes. Autrement dit, on a

La première égalité est évi-

dente sur la figure 10, où les

nombres a, b, c sont représen-

tés par des collections de

points À, B, C. La collection B

Fig. 40. est une partie de la collec-

tion À, et la collection res-

tante D représente la différence a — b; il est clair que si l’on réunit

les collections A et C, puis qu'on en supprime la réunion des deux collections B et C, il restera toujours la collection D.

52 LECONS D' ARTIMÉTIQUE.

On peut encore raisonner comme il suit, d'une façon plus abs-

traite : pour retrancher de & + c la somme b + c ou € + b, on peut retrancher d’abord €, ce qui donne a, puis b, ce qui donne a — 6.

Le premier raisonnement, celui qui a été fait sur la figure, sup- pose a plus grand que b; il prouve que, si a est plus grand que b, a + c est plus grand que 6 + c; c’est ce qu'on avait déjà vu au n° 16 (p. 15). Si a était égal à b, les deux membres de l'égalité à démontrer seraient nuls.

Le second raisonnement suppose a + c supérieur ou écal à b Le: il prouve que si a + cest plus grand que & + c, a est plas grand que b. C'est la dernière proposition du n° 16 (p. 15).

Quant à la seconde des égalités à démontrer, le lecteur peut en faire apparaître la vérité sur une figure analogue à la figure (9) ; mais on peut remarquer qu'elle résulte de la première : en effet, en vertu de celle-ci, la différence entre 4 — e et b — c ne change pas quand on ajoute c aux deux termes : elle devient alors & — b.

Ce raisonnement suppose que (a — €) — (b — c) a un sens, c'est-

à-dire que c est au plus égal à chacun des nombres à, b For

a — c est au moins égal à b — c.

On peut remarquer que la première des propositions qu'on vient d'établir contient comme cas particulier le théorème IV du n° 22

(p. 20); en effet, la différence a — (b —c) entre a et b — c ne doit pas changer quand on ajoute c à ses deux termes, elle devient alors (a +c)—boua+e— 0.

Il est à peine utile de dire que les égalités

EU ee 6) ee dr Oe ae,

— (b—c)—=a+c— pb, ee c)j—=a—b,.

qui résument le numéro 22 (p. 18) et le présent subsistent dans les cas sur lesquels je n’ai pas cru devoir appeler l'attention, où quelqu’un des nombres a, b, c serait nul, où b serait égal à c, en sorte

que b — c serait nul, où a serait égal à b, en sorte que les deux

membres des deux dernières égalités seraient nuls, etc.

24. Étant donnée une suite de nombres rangés par ordre de gran-

deuwr croissante, la différence entre le dernier et le premier de ces nombres est égale à la somme des différences entre chacun de ces nombres el celui qui le précède. |

- mt f k

SOMMES ALGEBRIQUES. 23

Si l’on considère, par exemple, la suité de nombres croissants 4, 3, 5, 9, 10, je dis que la différence 40 —— 1 entre les termes extrêmes est égale à la somme des- différences 10 — 9, 9 — 5, 53 3-1, où, pour chacune, le terme soustractif est égal au terme additif de la suivante. En effet, pour ajouter 9 —5 à 10—9, on peut d’abord ajouter 9, ce qui donne 10 ; puis retrancher 5 du résultat ce qui donne 40 — 5; en ajoutant ensuite 5 — 8, on obtient 10 — 3; en ajoutant 3 — 1 on obtient 10 — 1. La démonstration se continuerait évidemment, quel que fût le nombre de termes dans la suite. On observera que le nombre de différences est moindre d’une unité que le nombre de termes. |

La proposition précédente apparaît clairement sur le mode de représentation des nombres indiquée au n° 8 (p. 10).

Le nombre de petites barres comprises entre les numéros 1 et 10 est égal à la somme des nombres de barres comprises respectivement entre les numéros 1 et3, 3 et 5,5 et 9, 9 et 10 (fig. 11).

0 # 2 ÿ #& Ÿ Ca HA ë 9 10

Fig. 11

On dit d’un nombre qu'il est compris entre deux autres quand il est plus grand que le plus petit et plus petit que le plus grand. En l’intercalant entre le plus petit et le plus grand, on obtient une suite de trois nombres rangés par ordre de grandeur croissante. Par exemple 8 est compris entre 5 et 9. La différence entre 9 et 5 étant, d’après le théorème précédent, égale à la somme des différences 9__8 et 8—5, chacune de ces différences est plus petite que 9 — 5. Donc : |

Si un nombre est compris entre deux auires, la différence entre ce nombre et l'un ou l’autre de ceux qui le comprennent est plus petite que la différence enire ces deux derniers.

95. Termes additifs et soustractifs. Propriété fondamentale d’une somme algébrique. — Dans une somme algébrique quelconque, telle que

mu nes DA 0

les termes de la somme algébrique sont les nombres 7, 5, 3, PA 6, 9 sur lesquels on doit faire les additions et les soustraclons, dans l’ordre indiqué. Je désignerai sous le nom de termes addilifs tous ceux qui sont précédés du signe + et aussi le premier, pour le moment. Je désignerai sous le nom de soustractifs, les termes pré-

cédés du signe — : dans l'exemple cité, les termes additifs sont 1, 3, 8, 9, les termes soustractifs sont 5, 2,6. On suppose, pour le moment, que, en faisant les opérations, on n’est pas arrêté par quelque soustraction impossible. 4

Il pourrait y avoir dans la somme algébrique des termes nuls ; on ne change évidemment pas la valeur de la somme algébrique en les supprimant, qu'on les regarde comme additifs ou comme soustractifs. :

Une somme ordinaire sera regardée comme un cas particulier d’une somme algébrique, le cas où il n’y aurait pas de termes soustractifs.

On va établir la proposition suivante :

Une somme algébrique est égale à la différence entre la somme des termes additifs et la somme des termes soustractifs (!). |

Il résultera de là que la valeur d’une somme algébrique ne dépend pas de l’ordre dans lequel se font les additions et les soustractions pourvu que les termes additifs et les termes soustractifs restent toujours les mêmes, puisque, alors, la somme des termes additifs et la somme des termes soustractifs reste toujours la même. Il faut, toutefois, que, dans l’ordre qu’on adopte, on ne soit jamais arrêté par une soustraction impossible. Cette restriction sera levée dans le numéro suivant.

Le lecteur aura une intuition assez nette de la vérité de cette aflirmation, en imaginant un banquier qui reçoit et qui paie, et en regardant comme additifs le nombre de francs qu’il avait d'abord en caisse et les nombres de francs qu'il reçoit, comme soustractifs ceux quil paie. Le lecteur sè rend compte ainsi que le résultat final s'obtient bien en ajoutant ce qu'il y avait en caisse et les recettes (les termes additifs), puis en retranchant ce qu'on a payé (la somme des termes soustractüfs), et que ce résultat ne dépend pas de l’ordre dans lequel se font les recettes et les payements. Au surplus, je vais établir la proposition sur l'exemple précédemment donné, en m'appuyant uniquement sur les théorèmes antérieurement démontrés. : |

Pour avoir la valeur de

1. Sil n'y avait pas de termes soustraciifs, il faudrait entendre que la somme algébrique n'est autre chose que la somme des termes additifs. S'il n’y avait qu'un terme additif, c'est lui qu'on devrait regarder comme la somme des termes additifs. De même s’il n'y avait qu'un terme sous- Wractf. Il sera évidemment inutile de répéter des explications de ce genre.

SOMMES ALGEBRIQUES. 25

on doit d’abord de 7 retrancher 5, puis ajouter 3 ; on obtient le même

résultat en ajoutant 3 à 7 et en retranchant 5, ce qui donne 7+-3—5 ; on doit ajouter 8; il revient au même d'ajouter 8 au nombre 7 + 3 et de retrancher ensuite 5, ce qui donne 7 + 3 + 8 — 5, on doit ensuite retrancher 2 ; au lieu de retrancher d'abord 5, puis 2 de la somme ? + 5 + 8 on peut en retrancher tout d'un coup la somme b+ 2; ce qui donne 7 + 3 + 8 — (5 +2); on doit ensuite retrancher 6 ; au lieu de retrancher du nombre 7 + 3 + 8 d’abord 5 +9, puis 6, on peut retrancher tout d'un coup la somme 5 + 9 + 6; on obtient ainsi 7 + 3 + 8 — (5 + 2 +6); on doit ensuite ajouter 9 : au lieu de retrancher du nombre 7 +3 + 8 le nombre 549 +6et d'ajouter 9, on peut ajouter d'abord 9, puis retrancher 5 +9 +6, ce qui donne finalement

Does nn 0 0er

La démonstralion, qui consiste à reculer (vers la droite) les termes soustractfs, à les réunir et à retrancher leur somme de la somme des termes addilifs s'applique dans tous les cas.

26. Nouvelle définition d’une somme algébrique. — Jusqu'ici, on a supposé esscnliellement que, dans une somme algébrique, on n'élait jamais arrêlé par une soustraction impossible ; mais la proposition qu'on vient d'élablir conduit naturellement à écarter cette restriction, à prendre pour nouvelle définition de la valeur d'une somme algébrique la différence entre la somme des termes additifs et la somme des termes soustraclifs, pourvu que la première somme soit au moins égale à la seconde. Dès lors une expression telle que

je ee

par exemple, aura un sens, bien que les opérations ne puissent être effectuées dans l'ordre où elles sont indiquées : ce sera la différence entre les nombres 1 + 6 + 9 et 5 + 7. Il sera alors permis de dire que, dans une somme algébrique, on peut intervertir l’ordre des

termes comme on le veut, pourvu que les termes additifs restent

additifs, que les termes soustractifs restent soustractifs ; le caractère soustrachf d'un terme est toujours marqué par le signe — qui précède ce terme, le caractère additif d'un terme est marqué par le signe —- qui le précède, sauf pour le premier qui, de notre point de

vue primitif, était regardé comme additif; mais, dans la nouvelle

définilion de la valeur d’une somme algébrique, il n°y a plus aucune raison pour privilégier le premier terme ; rien n'empêche de consi-

dérer des sommes algébriques où le premier terme soit soustractif ; par exemple — 2 + 8 — 1 + 4 signifiera toujours la différence entre 3 + 4 ou 7 et? +1 ou 8. Une différence 7 — 5, par exemple, peut, de ce point de vue, être regardée comme une somme algébrique, comportant le terme additif 7 et le terme soustracüf 5; on peut aussi bien l'écrire — 5 + 7. | )

On est ainsi conduit aux définitions suivantes :

.. Une somme algébrique est une suite de nombres séparés soit par le signe +, soit par le signe — : le premier de ces nombres peut. d'ailleurs n'être précédé d'aucun signe ou être précédé du signe —.

dans le premier cas, on le regardera comme étant précédé du

signe +, qui est sous-entendu. Les termes additifs de cette somme

algébrique sont les térmes précédés du signe +, y compris le pre-

mier, si celui-ci n’est précédé d'aucun signe ; les termes soustractifs

sont les termes précédés du signe —. La valeur de la somme algé-

brique est la différence entre la somme des termes additifs et la

somme des termes soustractifs; on suppose essentiellement que

la première somme est au moins égale à la seconde. Cette valeur ne dépend pas de l'ordre des termes, pourvu que, en changeant cet

ordre, on conserve à chaque terme son caractère additif ou sous-

tractuf.

On peut d’ailleurs toujours écrire une somme algébrique, dans laquelle la somme des termes additifs est au moins égale à la somme des termes soustractifs, de façon que les opérations indiquées par les signes + et — soient possibles dans l'ordre même où elles sont indiquées : il suffira, par exemple, d'écrire d’abord les termes addiüfs, puis les termes soustractis.

27. Ajouter ou retrancher une somme algébrique. — Pour ajouter un nombre C à une somme algébrique où l’en retrancher, 1! suffit d'introduire ce nombre C parmi les termes de la somme algébrique, en lui donnant le caractère additif si on veut l'ajouter, le caractère :

soustractif si on veut le retrancher.

Cette proposition est évidente si on suppose, comme à la fin du : précédent numéro, la somme algébrique écrite de façon que les opérations puissent se faire dans l’ordre où elles sont indiquées; pour indiquer qu'on veut ensuite ajouter le nombre C à cette somme, ou l'en retrancher, il suffit d'écrire C à la suite du: dernier terme en le faisant précéder du signe + ou du signe —.

Pour ajouter à une somme algébrique la somme de plusieurs nombres, ou pour en retrancher cette somme, il suffit d'introduire ces nombres dans la somme algébrique donnée, avec le caractère

additif dans le premier cas et le caractère soustractif dans le second.

En effet, au lieu d'ajouter tout d’un coup ou de retrancher la dite somme, on peut en ajouter successivement les parties ou les retrancher.

Pour ajouter une différence à une somme algébrique, il suffit d'introduire dans cette somme algébrique le terme additif et le terme soustractif de la différence en leur conservant leurs carac- {tères.

En effet, pour ajouter la différence C — D à la somme algébrique, on peut d’abord (n° 22, p. 20) ajouter G (ou introduire le terme additif C), puis retrancher D (ou introduire le terme soustractif D). * Pour retrancher une différence d'une somme algébrique, il suffit d'introduire dans cette somme algébrique le terme additif et le terme soustractif de la différence en changeant leurs caractères.

En effet (n° 22, p. 20) pour retrancher la différence C — D, on peut ajouter D, puis retrancher C.

Puisqu’une somme algébrique est la différence entre la somme de ses termes additifs et la somme de ses termes soustractifs, les deux propositions qui suivent sont maintenant évidentes.

Pour ajouter une somme algébrique à une somme algébrique, il suffit d'introduire dans celle-ci tous les termes de la première, en leur conservant leur caractère additif ou soustractif.

Pour retrancher une somme algébrique d’une somme algébrique, il suffit d'introduire dans celle-ci tous les termes de la somme algébrique qu’on veut retrancher, en changeant le caractère de chacun d'eux.

28. Considérons une somme algébrique dont les termes soient eux-mêmes des sommes algébriques, mises entre parenthèses, en sorte qu’elles doivent être regardées comme effectuées, par exemple,

Pour obtenir cette somme algébrique, on peut procéder comme il suit :

On effectuera d’abord la somme des termes additifs, qui sont ici 8 et — 3-1 6; cette somme est, d’après ce qu'on vient de dire,

8L4—3+6; on effectuera ensuite la somme des termes soustractifs, qui sont ici 71 -5+1et3 — 2; cette somme est 9 7—5+1+3—9;

on la retranchera de la somme des termes additifs, ce qui donnera S+4—8+6—7T+5—1—83+92

La règle suivante est justifiée :

Lorsque les termes d'une somme algébrique sont eux-mémes des sommes algébriques, mises entre parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses, en conservant leurs caractères respectifs aux termes d'une somme algébrique partielle si elle constitue un terme additif, en changeant au contraire ces caractères si elle constitue un terme sousiractif.

29. On peut, sans en changer la valeur, introduire ou supprimer dans une somme algébrique deux termes égaux, dont l’un soit addiüf, l'autre soustractif. F

Cela revient, en effet, à augmenter ou à diminuer d'un même nombre la somme des termes additifs et la somme des termes sousractifs, ce qui ne change pas la différence des deux sommes (n° 255): 21):

On peut, sans changer la valeur d’une somme algébrique, réunir deux ou plusieurs termes de même caractère en un seul terme qui. soit la somme de ceux qu'on veut réunir et qui ait le même caractère qu'eux.

En effet, en opérant ainsi, on ne modifie ni la somme des termes additifs, ni la somme des termes soustractifs, ni leur différence.

Par exemple, on a

BTS D +6 qu eo S—1+3+92+5—4—8 14495) —

Le fait que, dans ces exemples, les termes que l’on réunit se suivent n’a aucune importance, puisqu’une somme algébrique ne dépend pas de l’ordre de ses termes.

Dans une somme algébrique, on peut sans changer la valeur de cette somme, réunir deux termes de caractères différents, en remplaçant ces deux termes par un terme unique, qui soit la différence entre le plus grand et le plus petit des termes qu'on veut réunir et qui ait le même caractère que le plus grand de ces deux termes.

Supposons, par exemple, que dans une somme algébrique, figurent le terme soustractif 8 et le terme additif 5; on peut remplacer le terme soustractif 8 par les deux termes soustractifs 5 et 8 — 5 ou 8, dont il est la somme ; puis supprimer dans la nouvelle somme algébrique les deux termes égaux à 5 dont l’un est soustractif et l’autre

addilif; finalement, il restera dans la somme algébrique le terme 3 — 8 — 5 avec le caractère soustractif.

On a par exemple

184543 —2—7— (8 —5) +3 — GRR EUR QT gs) (5 Me

Puisqu’on peut ainsi, dans une somme algébrique, réunir deux termes quelconques, de mêmes caractères ou de caractères différents, on peut en particulier réunir ensemble le premier et le second terme, puis le résultat au troisième, etc..., et parvenir ainsi à la valeur de la somme algébrique, lors même que, en se plaçant au point de vue primilif, on rencontrerait des souslractions impossibles.

Ainsi, opérant comme on l’a expliqué, on aura successivement

30. On a appris, dans le précédent numéro, à réunir deux termes quelconques d’une somme algébrique, et même autant de termes que l'on veut lorsqu'ils ont le même caractère.

Si l’on veut réunir plus de deux termes et que ces termes aient des caractères différents, on pourra réunir d'abord, parmi ces termes, ceux qui ont le caractère additif, puis ceux qui ont le caractère soustractif, c’est-à-dire remplacer les premiers par leur somme à laquelle on attribue le caractère additif et aussi les seconds par leur somme à laquelle on attribue le caractère soustractf; on remplacera ensuite ces deux sommes, si elles sont inégales, par leur différence en lui attribuant le caractère de la plus grande somine.

Si, par exemple, on veut dans les deux sommes algébriques

FE a PEN OE P R AD TA

réunir les quatre derniers termes, les opérations prescrites consistent à remplacer les deux termes 7 et 6 par leur somme ‘(1 + Ü) avec le caractère additif dans le premier cas, soustracuf dans le second, les deux termes 3 et 2 par leur somme (3 + 2) avec le caractère soustractif dans le premier cas, additif dans le second : la somme (7 + 6) l'emporte sur (3 + 2) ; on aura donc à remplacer les quatre termes par la différence (7 +6) — (3 + 2), en donnant à cette différence le caractère additif dans le premier cas, le caractère soustractif dans le second. Dans le premier cas, les quatre

termes à réunir constituaient une somme algébrique dont la valeur est précisément le nombre à caractère addiüf par lequel on les remplace ; ainsi on peut écrire