Supposons que dans la seconde des deux suites

di, @, CET y) … a ban

les termes”soient positifs, aillent en diminuant quand n augmente et que 6, ait Q

es ; sie An — An +1 VOS pour limite pour n infini, si le nombre — tend vers une limite quand n R TT On A ;

e r . ln A . . ” augmente indéfiniment, Re tend vers la même limite. n

316. Si a, tend vers une limite quand # augmente indéfiniment, il en est de

. même du nombre A+ + 03 +... +an n

317. Soit x un nombre irrationnel positif donné et »m un nombre entier positif aussi donné: démontrer qu’il y a un système de nombres entiers positifs a, 6 dont le

PE Li d'a int 2

premier est inférieur ou égal à », et tels que la valeur absolue de la différence ax — 6 » 3 1 soit moindre que mn

Prenons en effet pour a l’un des nombres 1, 2, .…., m, faisons-lui correspondre #le nombre entier 6 qui est la partie entière de ax, et considérons la partie entière de m (ax — b), qui est évidemment inférieure à #2 : elle prendra m» valeurs positives ou nulles quand a prendra les valeurs 1, 2, ..…., m; si l’une de ces valeurs est nulle, le théorème est vérifié; si aucune n'est nulle, deux d’entre elles correspondant, par exemple, aux valeurs a’, 6’ et a”, b" de a, b seront égales, «et le nombre #» [(a/! — a/)x — (b"! — b!)] sera plus petit que un, en valeur absolue. Par exemple, pour x = % = 8,14159... et m — 10, en appliquant la règle précédente, on trouve qu'aucune valeur de la partie entière de m» (ax — b) n’est nulle; mais que ces parties entières sont égales pour a = 1, «” —8; pour a — 72, a! —9; @ = 3, a! = 10 : dans les trois cas on a @a” — a! — 7, b! — b'— 92; Tn — 22 est

en valeur absolue plus petit que TT De même pour æ = r?, m — 10, on trouve | » 69 que la partie entière de 10 (7x? — 69) est nulle ; cd est une valeur approchée de x?

) 1 avec une erreur moindre que CT

318. Soient x, y deux nombres irrationnels donnés et m, m/ deux nombres entiers positifs aussi donnés; démontrer qu'on peut trouver trois nombres entiers à, 6, c dont les deux premiers soient en valeur absolue moindres que m” et m' et tels que la

valeur absolue de ax + by — c soit moindre que nn ?

Démonstration analogue à la précédente : à chaque système de nombres entiers a, b respectivement pris parmi les nombres 1, 2, …, m et 1, 2, ..., m', on fait correspondre la partie entière e de (ax + by); on considère ensuite la partie entière de mm(az + by — c); parmi les mm/ nombres entiers ainsi obtenus, il ÿ en a un qui est nul, ou deux qui sont égaux, etc. Par exemple, pour æ =7?,y—=#,m—=m— 0, on trouve que la partie entière de 202127? + 4x — 131) est nulle, — La racine positive de l'équation 122? + 4x — 131 = 0 est x — 3,14157... .

319. Soient x, y deux nombres irrationnels positifs donnés et »# un nombre entier positif aussi donné; on peut trouver trois nombres entiers a, 6, £ dont le premier soit positif et inférieur à m? et tels que les valeurs absolues des nombres ax — b, ay €

: 1 1 soient moindres que —.

Ayant choisi le nombre entier a parmi les nombres 1, 2, 3, .…, #”°, on lui fait correspondre les nombres b, « qui sont les parties entières de ax, ay, puis on étudie les #2 systèmes de valeurs que peuvent prendre les parties entières de m(ax — b), m(ax — c).