MESURE DES GRANDEURS

$ I. — Correspondance entre les grandeurs et les nombres.

472. La définition bien connue « on appelle grandeur ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution » est sans doute très vague dans sa généralité. On va toutefois essayer d’en tirer parti pour relier la notion de grandeur et la notion de nombre. En même temps, la première notion se précisera, peu à peu, pour celles des grandeurs auxquelles la notion de nombre s'applique exactement. Sans doute, c’est la notion de grandeur, au moins dans des cas particuliers, qui a donné naissance à la notion de nombre, et dans cet ouvrage même on s’est efforcé de le montrer lorsque,

par exemple, on à introduit les fractions; mais on a vu aussi comment

cette notion de nombre pouvait être détachée de son origine concrète, se construire entièrement avec un seul élément, le nombre entier, et être amenée ainsi à un haut degré de simplicité et d’abstraction. Maintenant que la notion de nombre entier, fractionnaire ou irrationnel est élucidée, que les opérations sur ces nombres sont précisées, il vaut mieux se placer à un point de vue opposé, et, regardant le nombre abstrait comme un instrument donné et connu, chercher quel parti on peut en tirer pour l'étude des grandeurs : cet instrument, dont on a cherché à expliquer la construc-

tion en vue d’usages particuliers, se trouve en effet pouvoir servir dans!

des cas beaucoup plus étendus. À moins qu’on ne dise expressément le contraire, les nombres que l’on considérera seront des nombres absolus. Une grandeur est un objet ou une propriété susceptible d'états distincts, qui, toutefois, sous ces états distincts, se reconnaît comme étant de la même espèce. Ainsi conçue, la grandeur est quelque chose d’indéterminé. Pour simplifier le langage, j'emploierai une lettre majuscule entre parenthèses, (G) par exemple, pour désigner une grandeur d’une certaine espèce: ce symbole (G) ne représente rien de déterminé, il ne se rapporte qu'à l'espèce de la grandeur. Dans chacun de ses états ne la grandeur (G) est délerminée; on la représentera alors par une lettre majuscule, sans parenthèses. Il y a peut-être quelque inconvénient à employer le même mot « grandeur » pour désigner à la fois, par exemple, une longueur en

général et une longueur particulière; mais la notation précédente et

l'emploi de l’épithète « déterminee » permettront de supprimer toute ambiguïté.

473. Si, par exemple, (G) est une longueur rectiligne comptée à partir

d'un point O sur une droite OX limitée d’un côté à ce point et indéfinie

de l’autre, à chaque position du point M sur la droite OX correspond une longueur déterminée OM; quand le point M occupe sur la droite des positions distinctes, on a des longueurs distinctes. De même, imaginons, dans la durée, un moment déterminé, que nous appellerons origine des temps, et ne considérons que des événements postérieurs à cette origine

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—. des temps; à deux pareils événements non simultanés correspondront

…. deux temps distincts, écoulés entre l’origine des temps et chacun de ces événements.

Dans les exemples que je viens de citer, si l'on imagine deux états distincts de la grandeur considérée, on ne peut s'empêcher de concevoir la grandeur comme étant plus grande dans l’un que dans l’autre. Si le point M’ est, sur

4 la droite OX, plus à droite que le point M, la longueur OM est plus grande ï que la longueur OM. Si, des deux événements que l’on a imaginés, le second mu. est postérieur au premier, et si l’on désigne par T,T' les temps écoulés entre

l'origine des temps et chacun de ces événements, on dira que le temps T” —. est plus grand que le tempsT.

#: À É à Supposons d'abord que l'on s'occupe d’une grandeur (G) telle que, si on —. la considère dans deux états distincts À, A, elle soit nécessairement plus . grande dans un état que dans l’autre (et plus petite dans ce second état > que dans le premier); nous écrirons, par exemple, À => A’ ou A’ < A, et cette . supposition exclut la supposition contraire À < A’. Nous admettons en

Ÿ outre que la notion de plus grand implique la proposition suivante : si l'on considère trois états A, A’, A’ de la grandeur (G) et si l’on à À > A’, A! A! on a À >A/, en sorte qu'on peut écrire A > A! > A’; on dit 1 que A’ est compris entre A et A/', que A’ est intermédiaire à À, A. & 474. Ceci posé, plusieurs cas peuvent se présenter : il peut arriver que, si # l'on considère deux états À, A’ de la grandeur (G), il n'y ait qu'un nombre limité (entier) d'états intermédiaires à A, A’; il existe alors des états de la *. grandeur (G) entre lesquels il n'y a pas d'états intermédiaires : c'est le cas . des grandeurs discrètes, par exemple du nombre d'objets contenus dans une collection. J'écarterai ce cas relativement simple, auquel la notion de nombre entier s'applique particulièrement, et je supposerai que la granu deur (G) dont on s'occupe jouit de la propriété suivante, : si l’on considère 7 deux états A, A’ quelconques, mais distincts, il y a au moins un état ee médiaire A/ : il y en à alors une infinité, puisqu'il y à certainement un étal A! intermédiaire à A/, A, etc.

5 475. Considérons maintenant deux états A, A’ de la grandeur (G) et fi supposons qu’on ait À <Z A/; nous ne nous oCCupeTrons, dans ce numéro, ; que des états A, A’ et des états intermédiaires. Imaginons qu’on fasse 4 correspondre aux états A, A’ deux nombres entiers, 10 et 20 par exemple, … en ayant soin de faire correspondre le plus petit entier 10 à la plus petit

… des grandeurs À, A’.

Aux différents nombres compris entre 10 et 20, nous allons faire correspondre des états intermédiaires à A, A’ en observant toujours la condition suivante que j’appellerai la condition fondamentale : si aux nombres disüncts b, c, on fait correspondre les états distincts B, C, on aura B < C ou

BC, suivant que l’on a b£c ou b > c. À des nombres égaux on fera

toujours correspondre le même état de grandeur. : Aux nombres entiers compris entre 10 et 20 faisons correspondre,

d'après une loi, déterminée, mais d’ailleurs arbitraire, des états intermédiaires à A et A’, en observant toutefois la condition précédente.

On à ainsi établi une certaine échelle de graduation de A à A’. Considérons maintenant les fractions comprises entre 40 et 20 et dont le dénomi-. nateur est 2; pour celles de ces fractions qui sont égales à des nombres entiers, nous les ferons correspondre aux mêmes états qui correspondent à ces nombres entiers ; pour les autres, nous ferons correspondre chacune d'elles, qui se trouve comprise entre deux entiers consécutifs, à un état intermédiaire aux deux états qui correspondent à ces entiers consécutifs;

nous aurons ainsi rapproché les échelons de la graduation en multipliant

les états de la grandeur qui sont numérotés. Considérons de même les” fractions comprises entre 10 et 20 dont le dénominateur est 3, en laissant de côté celles de ces fractions qui se trouveraient être égales à quelque fraction de dénominateur 2, que l’on ferait correspondre aux états déjà numérolés au moyen de fractions égales, et faisons correspondre à chacune

de celles qui subsistent des états intermédiaires à ceux que l'on a déjà

numérotés, en tenant toujours compte de la condition fondamentale.

Nous faisons de même, successivement, pour les fractions comprises entre 10 et 20 dont le dénominateur est 4, >, 6, .…, en resserrant toujours les échelons de la graduation. Cette opération pourra être continuée aussi Join qu'on le voudra. Dans la pratique, si l’on n’a pas été obligé de laisser des lacunes et si, en resserrant par places le numérotage, on n’en a effectivement pas laissé, il arrivera, quand on aura poussé la graduation assez loin, que deux états numérotés consécutifs seront à peine distincts? et qu'il n’y aura pas d’erreur appréciable à substituer l’un à l’autre, non plus qu'un état intermédiaire. La grandeur (G) sera en quelque sorte numériquement connue entre A et A’, pourvu qu'on sache bien comment la correspondance entre les nombres et les états de grandeur a été établie ; quand on parlera d’un nombre compris entre 10 et 20, on saura quelle grandeur lui correspond. Suivant le degré de précision que l’on veut atteindre, la graduation peut être poussée plus ou moins loin.

Le thermomètre offre au lecteur un exemple de ce que nous venons de dire, qui lui est bien familier (1). à ;

476. Théoriquement, on peut imaginer que l'opération soit poursuivi indéfiniment; alors, on pourra dire qu'à chaque nombre rationnel compris

1. Observons toutefois que, dans la pratique, la graduation est habituellement construite au moyen de nombres en progression arithmétique.

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entre 10 et 20 correspond un état déterminé de la grandeur (G), la condition fondamentale étant toujours vérifiée. Mais il importe de donner maintenant, en restant au point de vue théorique auquel je me place, une forme précise à cette condition que j'ai énoncée sous forme vague : ilny a pas de lacunes dans le numérotage, ce numérotage pénètre partout. Gette condition consiste en ce que la graduation soit telle qu’il y ait des états numérotés, au moyen de nombres rationnels, entre deux états distincts quelconques B, G, intermédiaires à A, A'; la grandeur (G) est supposée telle que cette condition puisse être vérifiée.

S'il en est ainsi, à chaque état B de la grandeur (G) compris entre A, A’ correspond un nombre compris entre 10 et 20. En effet, ou bien l’état Ba été numéroté au moyen d'un nombre rationnel, ou bien il n’en est pas ainsi. Dans ce dernier cas, considérons un nombre rationnel quelconque compris entre 10 et 20 : à ce nombre correspond, d’après le numérotage précédemment décrit, une grandeur déterminée de l'espèce (G) qui est certainement distincte de B ; suivant que cette grandeur est plus petite ou plus grande que B, nous rangerons le nombre rationnel dans une première ou uhe seconde catégorie : tous les nombres rationnels compris entre 10 et 20 sont ainsi rangés en deux catégories: chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde catégorie; si b, est un nombre (rationnel) de la première catégorie, il lui correspond un état B, de la grandeur (A) tel que l’on ait B, <B et puisque, nar hypothèse, il y a au moins un état B,, intermédiaire à B et à B,, auquel correspond un nombre rationnel b,, on voit qu’il y a dans la première catégorie un nombre b, plus grand que b,; on voit de même que dans la seconde catégorie il ne peut y avoir de nombre plus petit que tous les autres nombres de la même catégorie. On a donc défini ainsi un nombre irrationnel b que l’on fera correspondre à l’état B..

Ce nombre est plus grand que tous les nombres qui correspondent à des grandeurs de l'espèce (G) numérotées au moyen de nombres rationnels et plus petites que B ; il est plus petit que tous lesnombres qui correspondent à des grandeurs de l'espèce (G) numérotées au moyen de nombres rationnels et plus grandes que B:

Pourtoutes ces grandeurs, la condition fondamentale est vérifiée.

Enfin si B’ est une grandeur de l'espèce (G) à laquelle corresponde le nombre irrationnel b’ et si l'on a, par exemple, B < B', il y aura, par hypothèse, entre les états B et B’ un état intermédiaire B”’ numéroté au moyen d'un nombre rationnel b/’ et les suppositions B < B', B" < B; entraînent les inégalités b < b"”, b” < b' et par suite b < b'; la condition fondamentale est encore vérifiée.

477. Inversement, je supposerai qu'à chaque nombre irrationnel b compris entre 10 et 20 corresponde une grandeur B comprise entre À, À’. Pour bien nous rendre compte de la nature de cette nouvelle supposition, reportons-nous au premier exemple signalé, celui d’une longueur portée sur une droite OX, à partir du point O: soient M, M' les extrémités de

cette longueur pour les deux états À, À’ qui correspondent aux nombres

410 et 20; soit b un nombre irrationnel compris entre 10 et 20 ; désignons

par b’ un nombre rationnel quelconque compris entre 10 et b, par 6’! un nombre rationnel quelconque compris entre b et 20; soient 8’ et R/' les

extrémités des longueurs qui correspondent aux nombres b’et ass

ginons par exemple que tous les points $/ qui répondent à des nombres rationnels b’ plus petits que b soient marqués en bleu, que tous les points B'’qui répondent à des nombres rationnels b”’ plus grands que d soient marqués en rouge: sur la droite OX, tous les points bleus sont à gauche

RD SPEED M OP EAU, EEE ED US O | M g' B? M’ X

des points rouges; les points bleus ne se mêlent jamais aux points rouges : d’un autre côté, entre les points bleus et les points rouges, ül ne peut y avoir un espace libre, puisque, entre deux points quelconques de la droite OX, il y a, par hypothèse, des points auxquels répondent des nombres rationnels, c’est-à-dire des points bleus ou rouges; la région de la ligne OX où sont les points bleus ne peut donc être séparée de la région où sont les points rouges par aucun espace libre ;, j'admettrai que les deux régions sont séparées par un point, extrémité d'une longueur qui correspond au nombre b. |

478. Si la grandeur (G) est telle que, entre les états A et A, une graduation pareille à celle que l'on vient de décrire puisse être réalisée par la pensée, je dirai que cette grandeur est continue de’ À à A’; à chaque nombre rationnel ou irrationnel compris entre 10 et 20 correspond un état de cette grandeur intermédiaire à A et A’; réciproquement à chaque état intermédiaire à A et A’ correspond un nombre rationnel ou 1rraüonnel compris entre 40 et 20 : enfin la condition fondamentale est toujours vérifiée.

Il est à peine utile de dire que la supposition faite au début, à savoir que les nombres qui correspondaient aux états A, A’ étaient entiers, n’a riend’essentiel.

419. Ceci posé, si l’on considère une grandeur (G) qui soit continue

entre deux quelconques de ses états, diverses circonstances peuvent se

présenter. Ou bien il y a des états de cette grandeur au delà et en decà,

desquels elle ne peut pas varier, ou bien il n’en est rien. Les angles, en géométrie, fournissent un exemple bien connu du premier cas.

Supposons que la grandeur (G) soit ainsi nécessairement comprise entre deux états limites À et A’, en dehors desquels elle ne puisse être conçue, et supposons qu'on ait À < A’; il sera naturel de faire correspondre Île nombre 0 à l’état À et un nombre arbitraire à l’état À’, par exemple un nombre entier (!); on procédera ensuite au numérotage des états. intermédiaires, comme on l’a expliqué,

1. Ce serait le nombre 2, dans l’exemple cité, si l'on évaluait les angles en angles droits, le . nombre 180 si on les évaluait en degrés.

480. Supposons maintenant que la grandeur (G) soit telle qu'il existe un certain état À, de cette grandeur, au-dessous duquel elle ne puisse pas descendre, mais que si l’on considère tel autre état À que l’on veut, distinct de À,, il existe certainement un état A’ tel que l'on ait A’ >> A; on procédera comme il suit : on fera correspondre l’état A, au nombre 0, puis, choisissant des états A,, As, A3, … tels que l’on ait A, < A, < A,, .…, on les fera correspondre aux nombres entiers 1, 2, 3,...; on imaginera que celte opération de numérotage au moyen des nombres entiers soit poursuivie indéfiniment et de facon que, si l’on considère un état quelconque A de la grandeur (G), il y ait certainement un état À, correspondant à un nombre entier n et tel que l’on ait A, > A (1). Puis on graduera la grandeur entre À, et A,, entre A, et A,, entre À, et A., …, comme on l'a expliqué dans le numéro #75.

Alors à chaque état possible de la grandeur correspondra un nombre, à chaque nombre correspondra un état de la grandeur : à des nombres plus grands correspondent des grandeurs plus grandes, à deux nombres égaux correspond la même grandeur.

481. Enfin, la grandeur (G) peut n'être limitée ni dans un sens ni dans l’autre ; tel est le temps, telle serait la température si on n’admettait pas

l'existence du zéro absolu des physiciens : on choisira un état arbitraire A,

que l’on fera correspondre au nombre 0 et, pour les grandeurs plus grandes que À, on procédera comme on vient de l'expliquer; mais on ajoutera à chaque nombre qui correspond à une grandeur plus grande que A, les mots au-dessus de zéro. Pour les grandeurs (G) inférieures à A, on pourra de même faire correspondre chacune d'elles à un nombre que l'on fera suivre des mots au-dessous de zéro, mais de facon que si A’, A’ sont deux états tels que l’on ait A’ < AM < A, on ait a > a/!,et non a! <a, en désignant par a’, a” les nombres qui correspondent à A’, A’. On renverserait en quelque sorte la condition fondamentale.

Ce procédé de numérotage pour les grandeurs moindres que A, est tout à fait pareil au procédé de numérotage relatif aux grandeurs supérieures à À,; il ne semble pas utile d’y insister, non plus que sur l'avantage qu'il y a à remplacer les mots « au-dessus ou au-dessous de zéro » par les mots « positif » et « négatif ». |

482. J'ai supposé jusqu'ici que de deux états distincts de Ja grandeur considérée, l’un était nécessairement plus grand que l’autre. Bien qu'étant distincts par quelques circonstances, deux états peuvent être regardés comme les mêmes. Quand on a parlé de longueurs, on a supposé qu'il s'agissait de longueurs comptées sur une même droite à partir d'un même point. Deux longueurs rectilignes qui ne sont pas portées sur la même droite et qui, en ce sens, sont susceptibles d'être distinguées l’une de l’autre, peuvent cependant être égales: elles sont égales quand on peut faire

1. Si l’on n'imposait pas cette condition, on pourrait épuiser l’infinité des nombres entiers en s’approchant d'un état limite au delà duquel la graduation ne pénétrerait pas.

coïncider l’une avec l’autre. Les diverses sciences donnent, pour les diverses grandeurs dont elles s'occupent, des définitions de l'égalité. On enseigne, par exemple, en Physique, ce que c’est que deux corps qui sont à des températures égales, ce que c'est qu’un corps qui est à une température plus grande qu'un autre corps. La définition de l'égalité et de l'inégalité doit toujours satisfaire aux conditions suivantes, où À, B, C, ... désignent. des états déterminés quelconques de la grandeur considérée. On a A — A. La supposition A— B entraine la supposition B— A: les. Suppositions À —C, B—C entrainent la supposition À = B; les suppositions A=B, ou À > B, et BC entraînent la supposition À > C. Lorsqu'une telle définition de l'égalité (ou de l'équivalence) est possible, il est nécessaire d'admettre que la graduation de la grandeur considérée, sous les diverses formes qu’elle peut revêtir, est faite de manière qu’à des grandeurs égales correspondent toujours des nombres ‘égaux, qu'à des nombres égaux correspondent, sinon la même grandeur, au moins des grandeurs égales (ou équivalentes). Les conditions imposées à la définition de l'égalité (ou de l’équivalence) ont été choisies pour que cela soit possible.

$ 2. — Des grandeurs directement mesurables.

483. Pour certaines grandeurs, outre la notion d'égalité, on a la notion d'addition. S'il en est ainsi et si l’on peut définir un mode de graduation de la grandeur tel qu'à la somme de deux grandeurs de l'espèce considérée corresponde la somme des deux nombres qui correspondent à ces deux grandeurs, il est clair que ce mode de graduation sera particulièrement avantageux. |

On se borne souvent à l'étude des grandeurs de cette dernière espèce, parmi lesquelles il faut placer les longueurs rectilignes, les temps, les poids (ou plutôt les masses mesurées par la balance) : il convenait toutefois d'expliquer comment la notion de nombre s'applique à d’autres grandeurs. Au fond, en dehors des indications du thermomètre, on ne sait guère ce qu'est une température : l'addition de deux températures, en dehors de l'opération d’arithmétique qui consiste à ajouter des nombres de degrés, n'a pas de sens, et toutefois l'introduction du nombre que l’on fait correspondre d’une facon déterminée à la température est indispensable en Physique. L’intensité de la lumière d’une source lumineuse fournirait un exemple analogue. |

484. Quoi qu'il en soit, je vais désormais m'occuper de grandeurs dont la notion recouvre exactement, en quelque sorte, la notion de nombre, et qui, ainsi, doivent jouir nécessairement des propriétés fondamentales des nombres.

Parmi les propriétés de ces grandeurs figurent d’abord celles qui ont été | spécifiées au n° 482, et qui se rapportent à la signification des mots égal, plus grand, plus petit, puis celles qu'on va énoncer. Dans ces énoncés, le