NOMBRES NÉGATIFS

signe + ou du signe —. Dans la somme algébrique, les termes, au nouveau sens du mot, sont placés les uns à la suite des autres, ils ne sont plus séparés par les signes + ou —, qui font corps avec eux. Pour éviter toute confusion dans le présent numéro, le mot ferme employé dans ce nouveau sens, sera toujours imprimé en italiques ; les mots « terme additif, terme soustractif » continueront d’être employés avec la signification qu’on leur a donnée jusqu'ici. Je conviendrai d'appeler nombre relatif le symbole formé ainsi par un nombre, au sens ordinaire du mot, et le signe + ou le signe — placé en avant de ce nombre : + 5 et — 5 sont des nombres relatifs ; quand le signe est +, le nombre relatif est dit positif, quand le signe est —, le nombre relatif est dit négatif : + 5 est un nombre positif, — 5 est un DU bES négalif.

Le nombre, au sens ordinaire du Us. qui entre dans la composition d'un nombre relatif est la valeur absolue de ce nombre relatif. Ainsi + 5 et — 5 sont des nombres relatifs dont la valeur absolue est 5. Un nombre relatif n’est connu que si on connaît sa valeur absolue et son signe. Deux nombres relatifs qui, comme + à et — 5, ont même valeur absolue, mais des signes différents (ou contraires) sont se symétriques (!) ; chacun d’eux est le symétrique de l’autre. Deux nombres relatifs ne sont égaux que s'ils ont même valeur absolue et même signe, sauf dans le cas dont je n’ai pas parlé jusqu'ici, où la valeur absolue est 0 : les symboles + 0, — 0, 0 sont regardés comme ayant la même signification et désignent un nombre dont on continue de dire qu'il est nul. Deux nombres symétriques ne sont égaux que S'ils sont nuls. |

On confond les nombres positifs avec leur valeur absolue ; on regarde par

exemple + 5 et 5 comme ayant le même sens; cette convention est d’accord avec celle qui permet de sous-entendre le signe + placé en avant du premier terme d'une somme algébrique, lorsque ce premier terme est additif.

Dans une somme algébrique, ce que nous avons BRUT jusqu'ici les termes additifs et soustractifs devient, avec le nouveau langage, et à la condition de leur accoler les signes qui les précèdent, les fermes positifs et les termes négatifs de la somme algébrique.

32. Addition. — On a donné plus haut une règle pour réunir ensemble, sans changer la valeur d’une somme algébrique, deux termes de mêmes caractères ou de caractères différents. C’est cette même règle qui va servir de définition à l'addition de deux nombres relatifs.

La somme (?) de deux nombres relatifs est un nombre relatif dont la valeur absolue et le signe sont définis par la règle suivante :

Si les deux nombres relatifs sont de mêmes signes, la valeur absolue de leur somme est la somme de leurs valeurs absolues et son signe est le signe commun aux deux nombres.

4. On dit aussi égaux et de signes contraires. 2. Dans ce numéro, les mots somme, addition pris avec ce nouveau sens seront imprimés en italiques.

Ainsi la ue de nombres + 5 et + 2, ou 5 et 2 est M Tou7; la somme

des nombres — 5 et — 7% est — 12.

Si les deux nombres relatifs sont de signes contraires, la valeur absolue de leur somme est la différence entre la plus grande valeur absolue et la plus petite; le signe de cette somme est le signe de celui des deux nombres qui a la plus grande valeur absolue. en

Ainsi la somme des nombres + 7 et — 5 est + 2 ou 2; celle des nombres — 7 et +5 est — 2.

La somme de deux nombres symétriques est 0.

La somme d’un nombre relatif et de 0 est le nombre relatif lui-même ; la somme de 0 et de 0 est 0. |

Il résulte de ces définitions, où tous les cas possibles ons été examinés que la somme de deux nombres relatifs n’est nulle que si ces deux nombres sont symétriques (ou nuls).

Je répète que les règles pour ajouter deux nombres relatifs, règles qui

servent de définition pour la somme de deux pareils nombres, ont été choisies

de manière que, si dans une somme algébrique on remplace deux fermes par leur somme, la valeur de la somme algébrique ne soït pas altérée.

Par définition, la somme de: plusieurs nombres relatifs rangés dans un

ordre déterminé s’obtient en ujoutant le second au premier, le troisième au :

résultat, etc... Il apparaîtra clairement tout à l'heure que cette somme ne dépend pas de l’ordre dans lequel se succèdent les nombres à ajouter;

qu'il en soit ainsi dans le cas de deux nombres, c’est ce qui résulte immé-.

diatement des définitions, où l’ordre de ces deux nombres n'intervient pas; il y a encore un cas où la proposition est évidente, c’est celui où tous les nombres à ajouter sont de même signe : ce signe doit alors être celui de la somme et la valeur absolue de cette somme est la somme des valeurs absolues des nombres à ajouter, laquelle ne dépend pas de leur ordre (n° 12, D: 48):