nombres
un nombre entier non divisible par p; considérons lés
incongrus (mod. p)
Cu Doi a
qui sont tous premiers à p; représentons l'un quelconque de ces. nombres par aD et considérons leurs restes minima (mod. p); aucun n’est nul. Désignons par y A .…, % Ceux de ces restes minima qui sont positifs, par
DB; — fs, …, — $, ceux qui sont négatifs. On aura À + & —
Puisque tous les nombres D, 2 D, …, ED sont incongrus (mod. p),
tous les nombres &, &, …, on, d'une part, fi, B, ..…., 8,, de l'autre, sont distincts. Deux nombres pris, l’un dans la première suite, l’autre dans la seconde, ne peuvent non plus être égaux; pour qu'il en fût ainsi, en effet, il
j — À * ne.
faudrait que la somme de deux des nombres D, DD £ —D fût divi-
sible par le nombre premier p; or une pareille somme s'obtient en multipliant D, qui n’est pas divisible par p, par un nombre moindre que p. Les nombres &,, œ, …, an, 81, B+, 8, pris dans leur ensemble ne sont donc autre
ner
chose que les nombres 1, 2, .…., , puisque chacun d’eux doit être égal à quelqu'un de ces nombres, qu'ils sont tous distincts et qu'ils sont au
UE net | " Ÿ nombre de À Ê Or les nombres D, 2D, …, Pp étant respective-
5) 2 ment congrus (mod. p) aux nombres %, %, .…, 94, — B,,—:6:,t.4%177 Rue pris dans un ordre convenable, on à p=—i EN NE 1.2.8..— D == (— A} Ada. MA 1 Ba. Ru (mod. p) ,
on a d’ailleurs
— À 1. 2 = 04%...01R1P0... fu
et, puisque p est premier avec l’un ou l’autre de ces produits, il résulte de …
pe
la congruence précédente que l’on a /
Der (mod. p).
Ainsi D sera reste quadratique de p, où non-reste, suivant que pu sera
pair ou impair. Telle est la transformation annoncée, dont on verra bientôt
toute l'importance. | | 523. Elle invite, en tous cas, à faire une étude approfondie de la parité des nombres tels que w. Cette étude sera facilitée par les notations suivantes. En désignant par p un nombre positif impair (qui n’est pas nécessairement premier) et par D un nombre entier quelconque premier à p, je désignerai par le symbole
l'unité affectée du signe + ou du signe — suivant que le nombre de restes minima négatifs (mod. p) fournis par les termes de la suite
D, 2D, 30,1: ee:
est pair ou impair.
Je viens de démontrer que, lorsque p est un nombre premier, le
symbole (5) est positif ou négatif suivant que D est, ou non, reste qua-
dratique de p et que, ainsi, l’on avait alors
(> = DT | (mod. p);
dans ce cas, CG est ce qu'on appelle le symbole de Legendre: dans le cas
où p n'est pas premier, () défini comme on vient de le faire, est le
Symbole de Legendre généralisé (1). Observons que le signe de ce symbole, qui seul importe, est le signe du produit de tous les restes minima (mod. p) des
termes de la suite D, 2D, 3D, …, ED. Je vais en établir quelques autres propriétés.
1°Si l’on a l= D (mod. »),
cetle proposition est évidente sur la définition.
on à
1. La généralisation du Symbole de Legendre, sous ure foime équivalente, est duo à Jacobi; la forme précédente a été indiquée par MM. Schering et Kronecker.
2 On a 2
E-cr
En effet, en supposant D — — 1, la suite des termes dont il faut prengre les restes minima (mod. p) se réduit à
DD ne de DiA:
ces nombres sont les restes minima eux-mêmes; or, ils sont tous négatifs p ——
1 a et au nombre de . Cette proposition, dans le cas où p est premier,
ne nous apprend rien de nouveau.
3° On a
CEE
Soit en effet r le reste minimum de p (mod. 8); si l’on pose p = 8n +r, r sera l’un des nombres + 1, + 3. La suite des termes dont il faut prendre les restes minima est ici
Der O near 2er ON EE
elle se compose de termes pairs, tous inférieurs à p; les termes qui fourniront des restes minima négatifs (mod. p) sont donc les termes plus
r Goge À LE
grands que Ë — 4n +=, c'est-à-dire, sir est positif, tous les termes qui
suivent 4n, et, si rest négatif, tous les termes à partir deén; puisqu'il ÿ a, en p—1 8n+r—l
tout, —— — Er MANES termes et que les termes 2, #4, 6, .., &n sont au
nombre de 2n, il y a, dans le premier cas, 2n +
mr — À
termes qui fournissent des restes minima négatifs; et dans le second cas, il y en a
