NS GE AN
Le pi
: il y aura donc un nombre pair de termes négatifs si l'on à
: ir : 2 = + 1, un nombre impair si l'on ar= +3; dans le premier cas É sera — 1, dans le second cas — 1: or on a évidemment 2?
p? = 7? (mod. 16), d’où (n° E!2) Di rt
RDC (mod. 2);
: à p? — 1 RQ L k 2— 1 si r est égal à Æ 1, est donc pair; si r est égal à + 3, 8 est impair; on à donc bien, comme on l'avait annoncé
9 po C}= NN P, “
Lorsque p est un nombre premier, cetie égalité nous apprend que 2 est reste quadratique de tous les nombres premiers congrus à + 1 (mod. 8), et non-reste de tous les nombres premiers congrus à Æ 3 (mod. 8).
& Si D, D’ sont des entiers quelconques premiers au nombre impair p,
on & DD'\ = ).
&. G p Nous aurons besoin ici de cette remarque d'ailleurs évidente : les restes minima (mod. p) de deux nombres égaux et de signes contraires sont euxmêmes.égaux et de signes contraires. Ceci posé, désignons toujours par æ&,, æœ, …, — $,,—R,,. ae
les ce minima, pris dans leur ensemble, des nombres D, 2D, JD,
— | » et l’on a
ensemble, ne sont autre chose que les nombres 1, 2, 5
Be
! 4 D'ailleurs les signes des trois symboles CG) ( ) (+) sont les mêmes que ceux des trois produits P, P’, P/’ formés avec les restes minima
que fournissent respectivement les DE aD, aD', aDD' quand on y
remplace a par 1,2, . : pour évaluer le dernier produit. p' on
peut commencer par remplacer, dans aDD’, aD par son reste minimum (mod. p); P’ est donc égal au produit des restes minima des termes de la suite
œD', &D', …., D’, — B,D', — BD’, …., — B,D’,
ou, d’après la remarque du début, au produit des restes minima des termes
de la suite & D’, œD', …, æ& D’, B,D', B,D/, …, 8,D’
multiplié par (— 1)“; mais comme les nombres My, Mas es M, y, Bo, …, Bu
# Lana À ne sont autres dans leur ensemble que les nombres 4:52; Lee 5? les restes minima de la précédente suite ne sont autres que les restes minima de la suite.
— À D'opr, "2 D.
on a donc
Pr — Lex 1)P'
; ; Notre EL RE ren he 25e
et par suite, en écrivant que les deux membres de cette égalité ont le
même signe, ) = Gr) P P/ \?
En particulier, on a, à cause de 2°,
5° p, q étant des nombres positifs impairs, premiers entre eux, on a
Dr
c'est dans cette égalité, lorsque p et g sont premiers, que consiste la loi de réciprocité d'Euler et de Legendre.
La valeur du symbole (1) dépend du nombre de restes minima (mod. p) négatifs fournis par la suite
— À PARA CENTRE P 5 q.
Soit & l’un quelconque des nombres 1, 2, …, En e. Le reste minimum
(mod. p) fourni par le terme ag est négatif ou positif, suivant qu'il existe, ou non, un nombre entier $ tel que l’on ait
Te CR ne:
ce nombre entier, s’il existe, est évidemment unique. Cette double inégalité peut être remplacée par l'inégalité unique
Are Ga 8) 0 (: s)(S Las} e 0
qui est une conséquence des premières et qui les entraine (1). Cette dernière inégalité peut elle-même être remplacée par la suivante, obtenue en divisant chaque facteur par q,
e-DG+ 4-1 <e Rappelons encore une fois que, si l’on regarde a, p, g comme donnés, il
1. C'est là un résultat bien connu du lecteur, s’ilest familier avec la discussion du trinome du second degré.
ne peut y avoir qu'une seule valeur entière attribuée au nombre b qui
rende négatif le produit | nn a: b\/fa 1 2): SU É Dés ga “4
c'est la valeur entière $ approchée de . à moins de 3 Si cette valeur est # re 1 LINGE approchée par excès. On observera qu’elle est au plus égale à 1 3 en g+i
immédiatement supérieur
Jon 1 et le plus grand des nombres fractionnaires ee savoir 2,
en LE can UE p+g.
2 2p NET
effet, la différence entre le nombre entier
cette différence est plus grande que + par RS la valeur entière
approchée de avec une erreur moindre que = I k
5 ne peut atteindre
Si donc dans l'expression ( ge <) É rs 5 PE Q\D NAT A
on donne à b les valeurs 1, 2, …, 1, tous les résultats seront
positifs, sauf peut-être un; et il y en aura certainement un de négatif si
le reste minimum (mod. p) deagest négatif: le signe de ce reste mini-
mum serà donc le même que le signe du produit de tous les résultats
ES | | obtenus en remplaçant b par 1,2, …, 1 3 > remarquons que le second
facteur du produit précédent peut s’écrire
q ne me 1 NO Coorea nn 5 et observons que, quand on donne à b les valeurs 1, 2, …, +, l'expres | sion 1 u He b prend les mêmes valeurs en ordre inverse : il en résulte que l’ensemble des valeurs que prend le facteur = + : — A quand on
donne à b les valeurs 1, 2, …, 2 .
, est le même que l’ensemble des
valeurs que prend l'expression = ss : quand on donne à b les mêmes à
— À se 6e valeurs 1, 2, …, Les on peut donc dire que le signe du reste minimum ‘#1
4... VAE LT PERS nd L'OUtd 25% « f : 1 + taie Rs \N à. ” 4 *| * 4 -
(mod. p) de aq est le même que le signe du produit P, de tous les nombres
obtenus en remplaçant successivement b par les valeurs 4, 2, …, —
GG tas)
qui offre cette propriété remarquable de changer simplement de signe, sans changer de valeur absolue, quand on échange entre elles, d’uné part les lettres p, qg, de l’autre les lettres a, b : ce double échange, en effet, laisse le second facteur invariable et change le signe du premier.
dans l’expression
Le signe de(? )est le signe du produit de tous les restes minima (mod. p) des termes de la suite g, 2q, …, Bt ce sera donc le signe du produit de
tous les nombres P,, P,, .…., P,,obtenus en prenant a égal à 1, 2, …, — ;
ce sera finalement le signe du produit de tous les facteurs obtenus en remplaçant dans l'expression
9 y le signe du produit obtenu en remplaçant dans l’expression
é P/ \P AE Fete
ie | cn P SOLDAT 2 tes 1 à
a par 1,2, AE 1 et b par‘1, 2, Rs
de même, le signe de (E) sera
A DOrI AN des . Ces derniers facteurs, en
vertu d’une observation qui vient d’être faite, sont en valeur absolue les
mêmes que les précédents, leurs signes sont opposés; comme il y a
facteurs, on voit que le second produit est égal au premier n—Tq—1
multiplié par (— 1) ; on à donc bien
