RESTES DE PUISSANCES
suite, dés termes, autres que le premier, dont le reste (mod. m) est égal à 1. Cest ce qu’on savait déjà par le théorème de Fermat généralisé, puisque l’on a, en désignant par 4 (m) le nombre de nombres premiers et inférieurs à m.
as ®)— 1 = 0 (mod. m).
Quoi qu'il en soit, désignons par & le plus petit nombre entier positif pour lequel on a
at —1= 0 (mod. m);
il est clair que deux termes de la suite (1) seront congrus ou non (mod. m), suivant que la différence de leurs exposants sera ou non divisible par k. Les restes se reproduiront donc périodiquement de k en k; k termes consécutifs fourniront #4 restes différents, qui seront dans leur ensemble les restes fournis par les k premiers termes. En particulier, les restes égaux à 4 se reproduiront de # en #, et comme 4%” donne le reste 1, on voit que k est nécessairement un diviseur de œ(m).
Ces remarques trouveraient des applications faciles dans la théorie des fractions décimales périodiques, en supposant a = 10; en effet, quand on
réduit en fraction décimale une fraction de la forme on A et m désignent
des nombres entiers premiers entre eux et où l’on suppose (pour nous borner à ce cas) que m est premier avec 10, on est amené à chercher les restes (mod. ») des nombres.
et c’est la périodicité de ces restes qui règle la périodicité des chiffres de la fraction décimale périodique; or on aperçoit que celte périodicité est la même pour la suite qu’on vient d'écrire et la suite
On est donc bien dans le cas considéré.
543. Sans m'arrêter à ces applications, qui sont faciles, je supposera. que le module m, que je désignerai désormais par p, soit un nombre premier. Alors œ(m) = g@(p) est égal à p — 1; si d'est le plus petit nombre entier positif tel que l’on ait
ai = À (mod. p),
d est un diviseur de p — 1; on dit alors que a appartient à l’exposant d. Ilest à peine utile de faire observer que les nombres congrus (mod. p) appartiennent au même exposant. La question suivante se pose immédiatement : étant donné un nombre d diviseur de p — 1, y a-t-il des nombres
re | LEGONS D'ARITHMÉTIQUE. 0
a qui appartiennent à l’exposant d, c'est-à- -dire des nombres dont le don puistance soit congrue à 1 (mod. p), les puissances d'ordre inférieur à à n'ét&nt pas congrues à { (mod. p)? S'il y a un tel nombre à, il est. facile de voir qu'il y en a exactement + (d) qui sont imcongrus no. p).
Observons d’abord que tout nombre qui appartient à l’exposant d est une racine de la congruence
æi—1=0 (mod. p), qui ne peut avoir, d’après la théorie générale (n° 540), que a racines » distinctes. | an
Si maintenant a appartient à l’exposant d, toute puissance q" de a sera. une racine de la congruence ; on a en effet |
(aÿ= a"=1 (mod. p),
puisque nd est divisible par d. Parmi les puissances de à, il y en a d qui sont incongrues (mod. p), savoir :
QU de GE ee qe do
lg
ce seront donc là les d racines distinctes de la congruence, et les nombres. qui appartiennent à l'exposant d doivent ètre cherchés parmi ces nombres. Soit a” l’un deux, la suite des puissances de a” sera KE
elles sont congrues aux nombres D a, LAS EEE L'EUS ep
en désignant par 0, 74, Fa, la, .… les restes (mod. d) des exposants 0 o, ñn, D
3n, … ; deux termes de cette Due suite qui ont des exposants die
rents sont incongrus (mod. p, les seuls termes pour lesquels le reste » (mod. p) soit 1 sont ceux dont l’exposant est nul; or, la suite 0, r,, r,
r, … est périodique (n° 503); la période contient < termes différents, en. désignant par & le plus grand commun diviseur de n et de d:; les termes
; died nuls se reproduisent de ë en > il résulte clairement de là a a” Appt
tient à l'exposant &: Si donc on veut que a" appartienne à le posa d, ï PA
faut et il suffit que n soit premier avec d; il y aura donc autant de nombres incongrus (mod. p) qui appartiennent à l’exposant d, diviseur de. p— 1, qu'il y à de nombres premiers à d et non supérieurs à d, à condi-. tion qu'il y ait un nombre qui appartienne à l'exposant d. Si donc on.
AE
