RACINES PRIMITIVES

désigne par g{d) le nombre des nombres incongrus (mod. p) qui appartiennent à l’'exposant d, on aura soit

sOIÉ

Mais chacun des p — 1 nombres incongrus (mod. p) 1, 2, 3, ...,p — 1 apparlient à quelqu'un des diviseurs 1, d, d', …, p — 1 dep — 1; il faut donc que l’on ait

g() + qd) + g(d) + … + gp—1)=p—1; on à d’ailleurs (n° 529)

En remplacant dans cette égalité l’un des termes par 0, elle ne pourrait subsister, puisque aucun de ses termes n’est nul; il faut dons que l'on ait ®(d) = w(d) quel que soit le diviseur d de p — 1. Ainsi:

A chaque diviseur d de p — 1 correspondent exactement (d) nombres 4, pris, si l’on veut, dans la suite 1, 2, ..…, p — 1, qui appartiennent à l'exposant d.

En particulier, il y à @(p — 1) nombres distincts qui appartiennent à l'exposant p — 1 ; ceux-là, on les appelle racines primitives du nombre p. Si g est une pareille racine primitive, tous les p — 1 nombres

g9 —;#, g; fs.) gi sont incongrus (mod. p); leurs restes (mod. p), dans leur ensemble, reproduisent les nombres 1, 2, .…, p— 1: ce sont tous les restes possibles, sauf 0, tous les nombres, sauf 0, qu'il y a lieu de regarder comme distincts suivant le mod. p (n%535).

Par exemple, 2 est une racine primitive de 11 ; aux puissances de 2 dont les exposants sont