NOMBRES NÉGATIFS

tion et considérer des sommes algébriques où les termes additifs et soustraëtifs soient quelconques : là valeur d’une telle somme algébrique, dans le cas où la somme des termes soustractifs l'emporte sur la somme des termes additifs, sera, par définition, un nombre négatif dont la valeur absolue est la différence entre la somme des termes soustractifs et la somme des termes additifs.

Par exemple, 5 — 7 — 10 + 3 est un nombre négatif dont la valeur absolue est (7 + 10) — (5 +3), c’est le nombre négatif — 9.

Gette définition, suite naturelle de celle du n° 25 (p.23), ne fait pasintervenir | l'ordre dans lequel les termes se succèdent. En l’adoptant, on reconnait tres aisément que les règles du n° 29 (p. 28)sur la façon de réunir deux termes subsistent ainsi que leurs justifications; cette réunion, ainsi qu’on vient d’en faire la remarque, revient à l'addition de deux des termes relatifs qui composent la somme. Dans tous les cas, on peut remplacer dans la somme algébrique tels termes que l’on veut par leur somme effectuée; on en obtient la valeur en ajoutant la somme des termes positifs et la somme des termes négatifs.

34. Notations. — Quand on veut figurer une somme de nombres relatifs, représentés chacun comme on l'a expliqué, par un nombre (écrit en chiffres) précédé du signe + (qui peut être sous-entendu), ou du signe —, on commence par rétablir le signe + là où il aurait été sous-entendu, on écrit ensuite, les uns après les autres, les termes de la somme. Si le premier nombre écrit est précédé du signe +, on peut effacer ce signe.

Ainsi là somme des nombres + 7, — 5, + 6, — 3 s'écrit

RAM E GR OU Tee SU 6 ES :

on peut d'ailleurs intervertir les termes, dont il ne faut pas oublier qu'ils comportent un signe.

Jusqu'ici, une lettre, a par exemple, a été employée pour figurer un nombre naturel ou 0 ; rien n'empêche de se servir d’une lettre pour figurer un nombre relatif, H 5 ou — 5, par exemple. On fait alors les conventions suivantes :

+ a a le même sens que a ; — a est le symétrique de a ou de — 4.

Ainsi, si a réprésente + 5 (ou 5), + a représente aussi + 5 et — a représente — 5 ; si a représente — 5, — a représente + 5 ou 5 (!).

Pour représenter la somme de plusieurs nombres relatifs figurés par des lettres affectées ou non de signes, on commence par mettre le signe + devant les lettres qui manqueraient de signe, et on écrit ensuite ces lettres avec

1. Cette convention est d'accord avec celle qui permet de confondre un nombre positif avec sa valeur absolue. Ceux des lecteurs qui ont quelque peu l'habitude de l'algèbre savent combien elle est avantageuse ; elle présente un inconvénient pour les commencants, qui doivent en être avertis : Cette expression « le signe du nombre + a, ou du nombre — a » est ambiguë : veut-on parler de ces signes , ou — que l'on à placés devant la lettre a, ou veut-en dire le signe —, ou le signe —, suivant que le nombre que l’on considère, + a ou — a, est positif ou négatif? Pour éviter cette confusion, on peut dire le signe apparent, dans le premier cas, le signe vrai dans le second : les signes apparents de + a et de — a sont respectivement + et — ; les signes vrais sont + et — si a est un nombre posilif (ou absolu), — et Æ si a est un nombre négatif.

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leurs signes, les unes à la suite des autres ; si la première lettre écrite comporte le signe +, on peut effacer ce signe. Ainsi a—b+c représente la comme des nombres relatifs a (ou + a), — bd, +c; si lon'\a a = —5;

Db— 6, c—=#4, 0na a—btic——3+6+k=1+8—=5—=+5.

25. Soustraction. — Deux nombres relatifs a et b étant donnés, la difféence entre ces deux nombres est, par définition, le nombre relatif qu'il faut ajouter à b pour reproduire &.

Soit, en supposant qu'il existe, æ ce nombre, on doit avoir

en ajoutant aux deux membres de cette égalité le symétrique — b de b, et en remarquant que dans la somme algébrique x + b — b on peut supprimer les deux termes symétriques + b, — b, il vient

Donc, s'il y a un nombre x, répondant à la définition de la différence entre les deux nombres relatifs a et b, il est la somme a — b du nombre a et du symétrique — b de b. |

Réciproquement la somme (a —b) + b des nombres relatifs a — b et b, ou la somme des trois nombres relatifs a, — b, + best a, en vertu du même théorème ; donc a — b est le nombre unique tel qu’en lui ajoutant b, ou en l’'ajoutant à b, on reproduise &.

36. On a enlevé aux signes + et — le sens d’addition et de soustraction : on peut le rétablir maintenant. Ainsi à — d + c représente soit la somme des nombres relatifs, a, — b, + c, soit le résultat obtenu en retranchant b de a et en ajoutant c au résultat. Bien entendu, tous les mots soulignés sont pris avec leur nouveau sens. À

Les règles pour ajouter à un nombre relatif une somme ou une différence, ou pour en retrancher cette somme ou cette différence (n° 22, p. 20) subsistent, de même les propositions du n° 23 (p. 24) ; les six égalités que l'on a rappe- Jées à la fin du n° 23 (p. 22) subsistent en regardant a, b, c comme des nombres relatifs et quels que soient ces nombres : il n’y a plus aucune restriction.

37. On a expliqué à la fin du n° 8 (p. 10), comment il était souvent commode de se représenter les nombres 0, 4, 2, 3, comme des numéros qui désignent des points équidistants sur une droite indéfinie. Ces numéros vont en croissant, à partir de 0, quand on s'avance vers la droite ; il n'y en a. aucun à gauche de 0. Il convient de compléter cette figure en y introduisant les nombres négatifs. Ceux-ci seront placés à gauche de 0, comme l'indique la figure 12, de manière que leurs valeurs absolues aillent en croissant, quand on marche vers la gauche. Deux nombres symétriques correspondent ainsi à deux points symétriquement placés par rapport au point marqué 0. On peut très bien se représenter cette figure comme une route indéfinie dont

les bornes portent des numéros positifs ou négatifs, chacun de ces numéros indiquant par sa valeur absolue à quelle distance on se trouve du point 0, de la borne origine, et par son signe (sous-entendu pour les numéros positifs) de quel côté on se trouve du point 0.

Er TE ee Er © 1 2 9 # Ÿ Fig. 12.

Deux numéros étant donnés, il est commode de regarder toujours celui qui est à droite comme le plus grand. Si l’on adopte cette convention, on voit que 0 et les nombres positifs doivent être regardés comme des nombres plus grands que n'importe quel nombre négatif, et que, de deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

La figure 12 fournit une interprétation intéressante de la différence a —b entre deux nombres relatifs.

* La valeur absolue de cette différence indique, dans tous les cas, la distance des deux points affectés des numéros a, b; elle est positive ou négative suivant que, pour aller du numéro b au numéro 4, on va, ou non, de la gauche vers la droite.

Je laisse au lecteur le soin d'établir cette proposition, très importante dans les applications ; il lui suffira pour cela d'examiner successivement les différents cas qui peuvent se présenter suivant que les numéros a, b sont à droite ou à gauche du point 0 et suivant que le premier numéro est à droite ou à gauche du premier.

En vertu de cette proposition, on peut dire que le nombre a est supérieur,

égal, ou inférieur au nombre b suivant que la différence a — b est positive, nulle ou négative.

38. Je laisse maintenant de côté les nombres relatifs, dont l'introduction s'impose à divers points de vue : cette introduction s’est présentée ici comme une simple modification de langage, rendue naturelle par les propriétés observées sur les sommes algébriques. Il ne sera jamais question de ces nombres dans la partie du présent livre qui est imprimée en gros caractères, et il est bien entendu, que dans cette partie, les mots « somme, différence, plus grand, plus petit... », dont la signification est profondément modifiée quand on introduit les nombres négatifs, seront toujours employés avec le sens qui leur a été attribué, avant qu’on ne parlât de ces nombres,

$ 6. — Multiplication.

39. La multiplication est un cas particulier de l'addition : lorsque tous les nombres à ajouter sont égaux, l’un quelconque de ces nombres prend le nom de multiplicande, le nombre de nombres égaux à ajouter prend le nom de multiplicateur, l'addition prend le nom

de multiplication, le résultat ou la somme prend le nom de produit. Le multiplicande et le multiplicateur sont les facteurs du produit.

Ainsi multiplier 4 par 3, c'est faire la somme de 3 nombres égaux à 4, c'est effectuer l'addition |

ou encore trouver le nombre d’objets contenus dans 3 collections comprenant chacune 4 objets, que l’on réunit ensemble; 4 est le multiplicande, 3 est le multiplicateur; on emploie dans le même sens les expressions : répéter 3 fois le nombre 4: trouver un nombre 3 fois plus grand que 4 (!) ; faire le produit de 4 par 8, et l’on désigne le résultat en disant 3 fois 4. On emploie encore les expressions « le double, le triple, le quadruple, le quintuple, le sextuple, ... d'un nombre », pour dire le résultat obtenu en multipliant ce nombre par 99,45, 6,u.

Multiplier 0 par 3, c'est faire la somme 0+0+0, qui est elle-

même 0. Le produit de 0 par un nembre quelconque est 0. Dans la définition qui précède, le multiplicande peut être un

nombre quelconque, mais le multiplicateur ne peut étre ni {ni0;:

on convient cependant de parler de multiplications où le multiplicateur est 1 ou 0; le produit ou résultat de la multiplication doit être

alors défini comme il suit : Si le multiplicateur est 1, Le produit esttou-

jours égal au mulliplicande; si le multiplicateur est 0, le produit est toujours 0.

Remarquons en passant que le produit de 1 par un nombre quelconque est toujours égal à ce nombre : ainsi le produit de 1 par 5 est, en vertu de la définition générale, la somme 1+1+1+1— 1 ou 3; le produit de 1 par 1 est 1 ; le produit de 1 par 0 est 0.

Le produit de 0 par 1 ou par 0 est 0; le produit de 0 par un

nombre quelconque est toujours 0, ainsi qu'on l'a expliqué plus.

haut.

40. Quand le multiplicateur est plus grand que 1 et que le multipli-

cande n’est pas nul, le produit est plus grand que le multiplicande,

puisqu'il est la somme de plusieurs nombres égaux au multiplicande. Rs Il résulte encore de la remarque du n° 16 (p.15) que, si l’on multiplie deux nombres différents par un même nombre, autre que 0, les produits sont différents : le plus grand produit correspond au plus

4, On doit rejeter alors l'expression, employée dans le langage vulgaire : un nombre une fois plus grand qu'un autre ; elle signifie, dans notre langage, un nombre deux fois plus grand qu'un autre.

grand multiplicande, puisque ce produit peut être regardé comme la somme de parties plus grandes que celles dont se compose l’autre produit.

41. Comme signe de la multiplication, on emploie le signe >, ou un point. On place d’abord le multiplicande, puis le signe >< (ou le point), que l'on énonce multiplié par, puis le multiplicateur. Par exemple,

AXKI—=A4 IS —k+4 + A.