HR TAC US OST

Remarquons, en passant, que, lorsqu'on dit 3 fois 4, on énonce d’abord le multiplicateur, puis le multiplicande : on verra plus tard que ce défaut de correspondance entre le langage écrit et le langage parlé ne crée aucune difficulté.

Lorsque les deux facteurs sont représentés par des lettres, a et b, par exemple, on peut employer les mêmes notations; l'habitude est d'écrire le multiplicande, puis le multiplicateur, sans aucun signe de séparation : ainsi les trois symboles

ax<b, a.b, ab

ont la même signification; le produit de a par b, & multiplié par b ou la somme de b nombres égaux à a.

On peut supprimer encore le signe de la multiplication quand l’un des facteurs est mis entre parenthèses ; ainsi 9 << (5 +2), ou9 (5 +9) signifie le produit de 9 par 5 + 2 ou 7, la somme de 7 nombres égaux à 9; de même 9 *< (1— 2) ou 9 (7 — 2) signifie le produit de 9 par 1 —2 ou 5.

De même (5 + 4) (6 +2), (6 — 4) (7 +9) signifientrespectivement le produit de 5 +4 par 6-2 (somme de 8 nombres égaux à 9) et le produit de 6— # par 7+2 (la somme de 9 nombres égaux à 2).

De même encore

a(b+-c), (a+ b) ce, (a—b)(c+d)

signifient respectivement le produit de & par b +ec, le produit de a+ b par c, le produit de a — b par c + d; en parlant de ce dernier produit, on suppose implicitement que a est au moins égal à b.

On a souvent à écrire des sommes, des différences, des sommes algébriques dont les termes sont des produits. Il serait naturel de mettre ces produits entre parenthèses, d'écrire par exemple

OXS)+(X2), (KE) —(7%X2)

pour désigner les nombres obtenus en faisant le produit de 9 par 5, le produit de 7 par 2, en ajoutant le second produit au premier ou en retranchant le second produit du premier : d'ordinaire on supprime les parenthèses en convenant toujours de regarder les Pro comme effectués et l’on écrit

5 es Er a tre à.)

La première expression ne représente donc pas, comme on pourrait le croire si l’on n’était pas prévenu, le nombre obtenu en multipliant 9 par 5, en ajoutant 7 au résultat et en multipliant par 2 le nouveau résultat; le nombre obtenu par la suite de ces opérations s'écrirait : |

De même ab-t cd — ef représente une somme algébrique dont les termes additifs sont le produit de a par b et le produit de ç par d, dont le terme soustractif est le produit de e par f. Je rappelle que dans une pareille somme algébrique l’ordre des termes est indiffé- ‘rent (n° 25, p. 24).

42. Multiplication par une somme. — Pour faire le produit d'un nombre par une somme, on peut faire le produit de ce nombre par chacune des parties de la somme et ajouter les produits partiels.

Si, par exemple, on a 1 +5 +1 sacs contenant chacun 9 billes et qu'on réunisse toutes ces billes, leur nombre sera 9><(1+5+1). Or, les 6 sacs, les 5 sacs, le sac unique contiennent respectivement 97, 95, 9 billes : le nombre 9><(7+5+1) est donc égal à la somme des nombres 9><7,9><5, 9, ce qu'on peut écrire

IH H+ 1) =OXT) + (9 X8) +I%<1).

La proposition qu’on vient de démontrer peut, dans le cas où la somme ne comprend que deux termes, être résumée par l'égalité

a(b+ c)—= ab + ac,

où il est bien entendu que les produits ab, ac doivent être effectués avant d’être ajoutés. Cette égalité est vraie quels que soient les nombres &, b, ce, si même quelqu'un de ces nombres est nul. Cette proposition montre comment le produit est modifié quand on change le multiplicateur. Si le multiplicateur est augmenté de une, deux, … unités, le produit est augmenté du multiplicande, de deux fois le multiplicande, .… . Quand le multiplicateur augmente,

le produit augmente; sauf dans le cas où le multiplicande est nul, auquel cas le produit reste nul. En d’autres termes : si on multiplie le même nombre a, autre que 0, par deux nombres différents, les produits sont différents, le plus grand produit correspond au plus grand multiplicateur.

Cette dernière proposition entraîne sa réciproque : si les produits de a par les deux nombres p et q sont différents, les nombres p et 4 sont différents (sans quoi les produits seraient égaux) etle plus grand de ces deux nombres correspond au plus grand produit.

Disons une fois de plus (n° 40, p. 36) que; lorsque le multiplicateur nest pas nul, le produit augmente encore quand le multiplicande augmente, puisque toutes les parties dont se compose le produit ont augmenté (n° 16, p. 15).

43. Multiplication par une différence. — Pour faire le FAT d'un nombre par une différence, on peut muitiplier ce nombre par chaque terme de la différence et retrancher le second produit du premier.

On a, par exemple,