PX(T—92) IT

La vérité de cette proposition apparaît sans peine sur la même image qui a servi à éclaircir le théorème qui tait l’objet principal du numéro précédent; mais elle résulte aussi bien de ce théorème luimême : dire en effet que 5 est la différence entre 7 et 2, c’est dire que 1 est la somme de 5 et de 2; on a donc

JKT=IKX5 +9 %<2

et cette égalité montre que 9 x 5, le produit de 9 par la différence entre 7 et 2, est la différence entre 9 >< 7 et9 9,

D une façon générale, pourvu que b soit supérieur ou égal à e, le produit a (b — c) est égal à ab — ac. Inversement, si l’on sait que le produit ab est supérieur ou égal à ac, on est certain, sauf dans ie cas où a serait nul, que b est supérieur ou égal à c, que la soustraction b — c est possible et, par conséquent, en vertu du théorème direct, que ab — ac est égal à a (b — c) ; l'égalité

a (b—c) = ab — ac,

qui subsiste d’ailleurs quand a est nul, est vraie quels que soient les nombres &, b, c pourvu que l’un des membres ait un sens. 44. Je laisse au lecteur le soin de déduire des propositions qui

précèdent sur la multiplication d’un nombre par une somme ou par une différence la démonstration de la proposition suivante, qui se trouvera d’ailleurs établie autrement dans la suite.

Le produit d'un nombre A par une somme algébrique est une somme algébrique dont les termes sont les produits de A par les termes de la somme algébrique et ont le même caractère additif ou soustraclif que ces termes.

On a, par exemple,

45. Multiplication d'une somme algébrique par un nombre. — On vient d'examiner le cas où le multiplicateur était une somme ou une différence, on a des propositions analogues aux précédentes lorsque le mulüplicande est une somme, une hote une somme algébrique.

Le produit d’une somme par un nombre est la somme des pr oduits

par ce nombre des parties de la somme.

Le produit d'une différence par un nombre est la différence des produits de ses termes par ce nombre.

Le produit d’une somme algébrique par un nombre est une somme algébrique dont les différents termes sont les produits par de multiplicateur des différents termes de la somme algébrique qui constitue le multiplicande, et ont le méme caractère que dans le mulliplicande. |

Les deux premiers énoncés peuvent être regardés comme des cas particuliers du dernier, caractérisés, le premier par l'absence de termes soustractifs dans la somme algébrique qui forme le multplicande, le second par ce fait que cette somme algébrique se réduit à deux termes, l’un additif, l’autre soustractif. Je me contenterai donc d'établir le dernier énoncé. Soit, par exemple, le produit

(—5+1—-2)%X3; il est égal, par définition, à | —5+1—2)+<Ti—5+1—2)+(T—5+1—2);

dans cette dernière somme, on peut supprimer les parenthèses (n° 98, p. 27); dans la somme algébrique qu on obtient ainsi, chacun des termes de la somme algébrique figure 3 fois et conserve le caractère qu’il avait dans le multiplicande 7 — 5 + 1—2; en réu-

nissant ces trois termes égaux (n° 29, p. 28), on voit que le produit considéré est égal à

123—-5%34+1x<3—-9%<3ou1<3—-5XI3+3—2%5;

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Réciproquement, si l’on part d'une somme alsébrique où, comme dans celle qui précède, chaque terme est le produit de deux facteurs, le multiplicateur étant le même partout, et pour laquelle on suppose, comme d'habitude, que lasomme des termes additifs est supérieure ou égale à la somme des termes soustractifs, on peut la regarder comme le produit par le multiplicateur commun d’une somme algébrique dont les termes sont les différents multiplicandes et ont le même caractère que les termes correspondants de la somme algébrique donnée.

Par exemple, la somme algébrique

am — bm — cm + dm

est égale à (a —b —c+ d) m.

Cette proposition réciproque résulterait évidemment de la proposition directe, si l'on savait d'avance que la somme algébrique a — b — ec + d, formée comme on l’a expliqué, a un sens, que, dans cette somme algébrique, la somme a + d des termes additifs est au moins égale à la somme b + c des termes soustractifs. Or cela n’est pas douteux, si # n’est pas nul; car si a + d était plus petit que b+c,(a+d)m ou am<+ dm serait plus petit que (b + c) m ou bm + cm (n° 16, p. 15), contrairement à l'hypothèse.

Mettre le produit (1 — 5 + 1 — 2)3 sous la forme de la somme algébrique

c’est ce qu'on appelle développer ce produit ; mettre cette dernière somme algébrique sous la forme du produit (1— 5 +1— 2) 3, c'est ce qu’on appelle mettre 3 en facteur.

46. Interversion du multiplicande et du multiplicateur. — On ne change pas la valeur d’un produit en intervertissant l’ordre des facteurs, en prenant le multiplicande pour multiplicateur et inversement

Par exemple, le produit de 7 par 5, la somme de 5 nombres égaux à 7, est égal au produit de 5 par 7, à la somme de 7 nombres égaux à D.

En effet 7 est la somme 1-4 1+1+1-1+1+1+1de7 nombres égaux à 1, le produit de cette somme par 5 est, d’après le numéro précédent, égal à la somme des 7 produits que l'on obtient en multipliant par 5 chacune de ses parties, produits dont chacun est égal à 5; c’est ce qu'il fallait démontrer.

Dans le cas où l’un des facleurs serait 0 ou 1, la proposition résulte directement des définitions de la multiplication relatives à CES CAS)

Cette proposition admise, 1l saute aux yeux que les propositions des numéros 42, 43, 44 (p. 38, 39), équivalent aux trois propositions énoncées au début du numéro 45 (p. 40). Il est à peine utile de dire que les expressions « développer, mettre en facteur » s'appliquent aussi bien au produit d’un nombre par une somme, ou d’une somme par un nombre, à des sommes algébriques de produits de deux facteurs où le multiplicande est le même, ou bien le multiplicateur, qu'il suffit pour mettre un nombre en facteur dans une somme algébrique de produits que ce nombre figure dans chacun de ces produits soit comme multiplicande, soit comme multiplicateur : ainsi on a

1x 3343 iT A EI) CT TR

On remarquera, dans cet exemple, que le second terme du pre- mier membre n’est autre que le facteur commun : il n’est pas écrit sous forme de produit; il suffirait de l'écrire 3 >< 1 ou 1 X3 pour qu'il rentrât dans le même type que les autres. Il faut faire attention à cette circonstance, toute les fois qu’elle se présente, lorsqu'on a à mettre un nombre en facteur. ù 47. Multiplication d’une somme par une somme. — Lorsque, dans un produit, le muliiplicande et le mulliplicateur sont des sommes, le produit est égal à la somme des produits oblenus en multipliant chaque terme du mulliplicande ui chaque terme du Hu: cateur. de Soit par exemple à multiplier 7+5+3 par 642. En vertu js numéro 42, pour multiplier un nombre, 145 +3 par exemple, par 6 +2 on e. multiplier ce nombre par 6, le multiplier ensuite par ? et ajouter les résultats ; d’ailleurs le produit de la somme 1+5+3 par 6 est égal (n° 45, p. 40) à la somme des produits par 6 de chacune des parties de cette somme, ct le produit de la somme 745 +3 par2 est égal à la somme des produits par 2 de chacune de ses parties ; on a donc finalement à faire une somme de produits, dits partiels, dont chacun comporte comme multiplicande un terme de la somme.

1+5+3 et comme multiplicateur un terme de la somme 6 +2; on obtient tous les produits partiels en multipliant chaque terme 15 +58 par chaque terme de 6 +2. On peut écrire

On dit que le second membre est le développement du premier. Signalons par exemple l'égalité

(a+b) (c+d) = ac+bc +ad+bd

qui a lieu quels que soient les nombres a, b, c, d.

48. Multiplication d'une somme algébrique par une somme algébrique. — Lorsque, dans un produit, le multiplicande et le multiplicateur sont des sommes algébriques,-ce produit est égal à une somme algébrique de termes obtenus en multipliant chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur, termes dont le caractère est additif lorsqu'ils proviennent de termes ayant méme caractère dans le multiplicande et le multiplicateur, dont le caractère est au contraire souslractif quand ils proviennent de termes ayant des caractères différents dans le multiplicande et le multiplicateur.

Désignons par A et par Bla somme des termes additifs et la somme des termes soustractifs dans le multiplicande, de même par C et par D la somme des termes additifs et la somme des termes soustractifs dans le multiplicateur, en sorte que les valeurs respectives du multiplicande et du multiplicateur soient respectivement À —B, C— D ; on suppose naturellement

AZ B CSD,

pour multiplier le nombre A —B par la différence GC —D, on peut (n° 43, p. 39) le multiplier par C, puis par D et retrancher le second produit du premier. Or, les produits (A — B) C et (A —B) D, dont le premier est au moins égal au second, sont respectivement égaux à AC —BC, AD — BD (n° 45, p.40); le produit considéré est donc égal à