B-8L1)(19 57-87 T-52 SU

Signalons les égalités

(1) (a b)(c+ d)—=(ac +bc+ad+ bd, (2) (a+ b)(c—d)=ac+bc— ad— bd, (3) (a—b)(c—d)—=ac—bc—ad+ bd;

la première est vraie quels que soient les nombres @, b, c, d; la\ seconde suppose c x d'; la troisième suppose, en outre, a = b.

49. Produits de plusieurs facteurs. — Jusqu'ici, je n'ai considéré que des produits de deux facteurs. Étant donnés plusieurs nombres, ou facteurs, dans un ordre déterminé, le produit de ces facteurs s'obtient, par définition, en multipliant le premier par le second, le résultat par le troisième facteur, le nouveau produit par le quatrième facteur, etc.…., jusqu’à ce que tous Les facteurs soient épuisés. Un pareil produit se représente en écrivant les facteurs dans l’ordre où ils sont donnés et en les séparant par le signe >< ou par un point, Ainsi 7% 4><6><5 est le nombre obtenu en multipliant 7 par 4, le résultat par 6 etle nouveau résultat par 5.

Il est clair que la valeur d’un tel produit ne change pas quand on y remplace par leur produit effectué autant de facteurs que l'on veut, pris au commencement, par exemple les facteurs 7, 4, 6, par leur produit effectué (7><4 >< 6), puisqu'on doit effectuer d’abord ce produit, et le multiplier ensuite par 9. on

Cette remarque évidente est contenue comme cas particulier dans le théorème suivant.

On ne change pas la valeur d'un produit de plusieurs facteurs quand on y remplace autant de facteurs consécutifs que l’on veut par leur produit effectué. |

La démonstration de ce théorème sera aisée quand on aura établi le cas particulier que voici :

On ne change pas la valeur d'un produit de trois facteurs quand on y remplace les deux derniers par leur produit effectué.

Quant à la démonstration de ce théorème, elle s’obtient en remontant aux définitions.

Considérons par exemple le produit P=7T>x<#4>%<6; je veux prouver qu'il s'obtient en multipliant 7 par le produit effectué (4% 6). Par définition, P s'obtient en multipliant 7 ><4 par 6, c'est-à-dire en faisant la somme

TRKhLTIRKEHIKAHIXATTKAHTXKEA

de 6 nombres égaux à T>x<4; en remplaçant chacune des parties : 1x4 de P par sa définition, c'est-à-dire, par la somme de 4 nombres égaux à 7, P apparaît comme une somme de nombres tous égaux à 7 et, dans cette somme, 7 figure un nombre de fois égal à 4><6 (6 fois 4), puisque, encore une fois, P, se composait de six parties et que chacune de ces parties se compose de quatre T : P est donc le produit de 7 par (4><6). On peut écrire :

TXKAXKÉ=7X(4XK6).

On ne change pas la valeur d’un produit de facteurs en y remplacant les deux derniers par leur produit effectué.

En effet, il suffit de regarder comme effectué le produit de tous les facteurs qui précèdent les deux derniers pour être ramené au cas d’un produit de trois facteurs.

On ne change pas la valeur d’un produit de facteurs en y remplacant deux facteurs consécutifs par leur produit effectué.

Considérons, par exemple, le produit 3K7TX<K4X6X5>%X<9 : je dis qu'on peut y remplacer les facteurs consécutifs 4 et 6 par leur produit effectué (4><6); on a, en effet, d’après ce qu’on vient de dire,

ISA TEE (4 >< 0);

il suffit de multiplier ces deux nombres égaux successivement par à

et par 9, pour obtenir l'égalité qu’on voulait démontrer IKXTKARXCKEIKI=IKTKUAKE)KIXKI.

On peut aussi bien grouper ensemble autant de facteurs consécutifs que l’on veut, puisque l’on peut grouper ensemble les deux premiers de ces facteurs, puis le produit de ces deux premiers et le troisième, etc.

On ne Chen de pas la valeur d'un produit de facteurs en br tissant l’ordre des facteurs.

D'abord, on peut intervertir l’ordre de deux facteurs consécutifs, puisqu'on peut remplacer ces deux facteurs par leur produit et que ce produit de deux facteurs ne change pas de valeur quand on intervertit l’ordre des facteurs (n° 46, p.41). Enfin, je dis qu'on peutranger les facteurs dans l’ordre que l’on veut. Considérons en effet lefacteur du produit que l’on veut amener au premier rang; en le changeant de place avec celui qui le précède, on le fait avancer d’un rang, sans. changer la valeur du produit; on peut ensuite le faire avancer encore d’un rang, etc..., jusqu'à ce qu'il soit arrivé au premier. On . prendra ensuite le facteur qu'on veut amener au second rang et on l'y amènera de la même façon en le permutant avec celui qui le précède, etc. Tous les facteurs peuvent ainsi être amenés au rang prescrit.

Par exemple, si nous considérons le produit 7>x<4%x<3 x 5, Je dis. qu'on peut l'écrire 5X<3<4><17. On a en effet

A A D D DTA Si ET LO AD A D = D pe Oo LOT,

‘On n’a jamais interverti que deux facteurs consécutifs.

Dans un produit de plusieurs facieurs, on peut remplacer les facteurs que l’on veut par leur produit effectué.

Il suffit, pour le voir, d’amener ces facteurs à être consécutifs.

Inversement, dans un produit de facteurs, où certains facteurs sont eux-mêmes des produits de facteurs mis entre parenthèses, on peut supprimer les parenthèses, puisque, ensuite, on pourrait les rétablir, c’est-à-dire remplacer certains facteurs par Ieur produit -effectué.

Pour mulliplier un produit de plusieurs facteurs par un nombre, al suffit de multiplier l’un des facteurs par ce nombre.

Soit, par exemple, le produit 7Tx<4>x<5>%x<6 à mulliplier par 12.

il suffira de remplacer le facteur 4 par 4>x<12; en effet le produit cherché peut s’écrire

CORRE OM PERL Sc 0 CD AT CAR DS AS SE On

Pour multiplier un nombre par un produit de facteurs, on peut multiplier ce nombre successivement par les facteurs du produit.

Soit, par exemple, 7 à multiplier par (12><3><5); le produit est égal à 7 XX (12 XX 3 XX 5) et, en supprimant les parenthèses, à TK 12 XX 3 XX 5 : c'est ce qu'il fallait démontrer.

50. Puissances, exposants. — Lorsque tous les facteurs d’un produit, en nombre quelconque, sont égaux, le produit s'appelle puissance; c'est la puissance deux (ou deuxième), trois (ou troisième), quatre (ou quatrième), du nombre qui figure comme facteur, suivant qu'il y a deux, trois, quatre, … facteurs égaux à ce nombre; le nombre des facteurs égaux est appelé aussi l'exposant de la puissance. On indique une puissance d’un nombre en écrivant ce nombre et en plaçant à sa droite et en haut, en plus petits caractères, l'exposant de la puissance.

Ainsi la quatrième puissance de trois (ou trois exposant quatre) s'écrit 54

S—=IiX I XI <3;

Au lieu de seconde et de troisième puissance, on emploie, avec la même signification, les mots carré et cube ; ainsi le carré de trois (ou trois au carré) n’est autre chose que

IXI—I—3+34+3; le cube de quatre, c’est

CR EEE RE PE PE PO Er

Par définition, la puissance 1 d’un nombre n’est autre chose que ce nombre ; l’exposant 4'se sous-entend d’ordinaire.

Quand les facteurs d'un produit sont des puissances d’un méme nombre, le produit est une puissance de ce nombre, puissance dont l'exposant est la somme des exposants qui correspondent aux dif- férents facteurs.

Soit, par exemple, le produit

DD>< DK D?,

composé de trois facteurs qui sont respectivement les puissances Aière, 3ième, Jième du nombre 5 ; je dis que ce produit est égal à une puissance de 5 dont l’exposant est 1 + 3+2. En effet, en recourant à la définition, on voit qu’on peut écrire ce produit 5) 185.5) (625). | :

Dans chaque parenthèse, il y a autant de facteurs égaux à 5 quil y a d'unités dans l’exposant du facteur correspondant (!). En supprimant les parenthèses, on aura un produit contenant 1+5+2. facteurs égaux à 5, c’est-à-dire