SI

c’est ce qu’il fallait démontrer.

Considérons le cas particulier où tous les facteurs du produit seraient la même puissance du même nombre ; Soit, par exemple, le produit | Bic? >< D.

Ce produit est par définition le cube de 5°, et d'après ce qu'on vient de dire, il est égal à une puissance de 5 dont lexposant serait 2L9+9—9%X3. Ona donc

Ainsi, pour élever une puissance d'un nombre a à une certaine puissance, 1 suffit de multiplier par l'exposant de cette puissance

lexposant du nombre a. | Pour élever un produit de plusieurs facteurs à une certaine puis-

sance, il suffit d'élever à cette puissance chacun des facteurs. Soit, par exemple, à élever au cube le produit5.7.4:0ona

(Da7.#)° == (5.7.4) >< (5.7.4) < (5.7.4) = (5.5.5) DS (130 ><(4.4.4) | = D del.

On a souvent à appliquer à la fois les théorèmes précédents, comme dans l'égalité que voici, qui résulle immédiatement de ces

théorèmes :

(5227.92)? —— Br. Sc TE >< 5e — 56 >< 75 >< 39.

54. Carré d’une somme ou d’une différence. Produit d'une somme

1. On rappelle que quand il n'y a pas d'exposant, celui-ci doit être regardé comme égal à l'unité.

par une différence. —La formule (1) de la fin du n° 48 (p. 44), àsavois (a + D) (c + d) = ac + bc + ad + ba,

donne, en y supposant c ee G, 4—=:b (a + b) (a + db) — aa + ba + ab + bb.

Les produits (a + b) (a + b), aa, bb sont respectivement les carrés des nombres a + b, a, b; ils se représentent par (a + b), «?, b? ; les deux produits ba, ab sont égaux, leur somme est le double de l’un d’eux et peut s’écrire ab X 2 ; on l'écrit (!) habituellement 2ab, que l'on énonce deux ab (deux fois ab). Avec ces notations, l'égalité qu’on vient d'obtenir devient

A) (a + 0) = à? + Lab + D? — a + D? + Dub.

Elle peut être remplacée par cet énoncé :

Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces nombres, augmentée de leur double produit ().

De même, la formule (3) du n° 48 (p. 44), à savoir

(a — b) (ce — d) — ac — be — ad + bd, €en y supposant encore € — a, d = b, devient

(a — D) (a — b) — aa — ba — ab + bb, (2) (a — bd} = a? — Lab + b?.

Le carré de la différence entre deux nombres est éqal à la somme des carrés de ces deux nombres, diminuée de leur double produit.

En faisant encore la même supposition c = @, d — b, dans la formule (2) du n° 48 (p. 44), à savoir

(a + b) (c — d) — ac + bc — ad — bd

1. Si l’on adopteles conventions du n° 49 (p. 44), 2 ab signifie lerésultat obtenu en multipliant 2 successivement par & et b ; mais rien n'empêche de regarder dans 2 ab le produit ab comme effectué, et, puisqu'on peut interverlir l'ordre des facteurs 2 et ab, de regarder 2ab comme le produit de ab par 2, au lieu de le regarder comme le produit de 2 par ab.

On a dit que, dans un produit de deux ou plusieurs facteurs on pouvait supprimer le signe de la multiplication, quand les facteurs étaient représentés par des lettres. Il n’y a pas d'inconvénient à supprimer ce signe quand l'un des facteurs est éorit en chiffres ; c'est ce qu'on fait habituellement et l'on place d'ordinaire ce facteur (dit numérique) eu tête du produit : ainsi on écrit 2a avec

Je sens de 2 X a, ou de a X 2; on énonce deux a.