L'égalité a —b?={(a—b) x (a +b

est un cas particulier de l'égalité an bn = (ab) >< (arr Lean DA ar SO TE abr—2— br—1},

où l’on suppose a > b et où les points suspensifs qui figurent dans le second facteur du second nombre sont mis à la place de termes qui suivent la même loi que ceux qui les précèdent; ainsi le terme a? *b* devrait être quivi du terme a—#bè, celui-ci du terme a*—#b*, …., l’exposant de a allant toujours en diminuant d’une unité quand on passe d’un terme au suivant, et l'exposant de b allant en augmentant d’une unité, jusqu’à ce qu’on arrive à lavant-dernier terme écrit ab —?; on aurait, par exemple, en supposant 20,

as — b5.— (a —b) (ai + aŸb 470 ab D).

Pour vérifier cette dernière égalité, représentons le second facteur du second membre par P; on aura é (a— b) P —aP — 6P, aP = aÿ + aïb + aÿb? + a°b° + ab*, DPI a*b + ab? + a2b3 - ab* ma b5, et, en retranchant membre à membre,

aP — bP — aÿ— bÿ,

c’est ce qu'il fallait démontrer; la démonstration est la même dans le cas général.

dd:

53. Progressions arithmétiques. — Étant donnée une suite de nombres, ou termes, tels que chacun d’eux s’obtienne en ajoutant un même nombre au précédent, on dit que ces nombres forment une progression arithmétique (croissante). Le nombre qu'il faut ajouter à chaque terme de la progression pour avoir le suivant ou, si l’on veut, la différence entre chaque terme de la progression et le précédent s'appelle raison.

Ainsi les nombres consécutifs 3, 4, 3, 6, 7 forment une progression arithmélique dont la raison est 1, les nombres 0, 2, 4, 6,8 forment une progression arithmétique dont la raison est 2.

Si l'on désigne par a, le premier terme d’une progression, et par r la raison, les termes de cette progression seront

On voit que chacun des termes écrits est égal au premier a augmenté d'autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui; il est bien aisé de voir que cette loi se continue: c’est d’ailleurs ce qui résulte aussi du n° 24 (p. 22) : la différence entre le terme que l’on considère et le premier terme est égale à la somme des différences entre le second etle premier, le troisième et le second, .…,le terme que l'on considère et celui qui le précède ; chacune de ces différences est égale à r; il y en a autant qu’il y a de termes avant celui que l'on considère ; cela revient à l'affirmation précédente. On voit que le nième terme de la progression est égal à q + (n—1) 7, puisqu'il y a ñ — 1 termes avant lui.

L'application de la loi qui permet de déduire d’un terme d’une progression (croissante) le terme suivant peut évidemment se poursuivre indéfiniment. La progression est dite limitée, lorsqu'on s’arrête dans cette application ; dans le cas contraire elle est dite injinie où tlimilée. On peut aussi déduire un terme du suivant, en en retranchant la raison, mais on est alors obligé de s'arrêter, quand le terme obtenu est plus petit que la raison.

On appelle multiple d'un nombre r tout produit de ce nombre » par un nombre naturel ; la suite des multiples d’un nombre, c'est-àdire la suite des produits obtenus en multipliant ce nombre par 1, 2, 3... forme une progression arithmétique dont la raison et le premier lerme sont égaux à ce nombre: ainsi