PTS
est la suite des multiples de r. On fait quelquefois figurer 0 en tête
de cette suite : en un certain sens, en effet, 0 peut être regardé comme un multiple d'un nombre quelconque ?, puisqu'il est égal au produit de » par0 que, à la vérité, nous n'avons pas complé parmi les nombres naturels.
En se reportant encore au n° 24 (p.23), on voit que si un nombreest compris entre deux termes consécutifs d'une progression arithmétique, sa différence avec l’un ou l’autre des termes qui le comprennent est moindre que la raison; au contraire sa différence avec n'importe quel autre terme de la progression est plus grande que la raison.
Dans une progréssion arithmétique limitée, dans la progression
par exemple, le premier et le dernier terme sont dits les termes : extrémes, le second terme el l'avant-dernier, le troisième el celui qui précède l’avant-dernier, etc... sont dits également éloignés des exirémes. ;
Dans une progression arithmétique, la somme de deux termes. également éloignés des extrêmes est toujours la méme.
En effet, dans l'exemple précédent, 5 et 14 se déduisent de 2 et de 17, l'un en ajoutant la raison 3 à 2, l’autre en retranchant 8del1:: la somme 3 + 14 est donc égale à 2+ 17. De même, 8 et 11 se déduisent de 5 et de 14, l'un en ajoutant 3 à 5, l’autre en retranchant 3 de 14; la somme 8 +11 est donc égale à 5 +14 et, par suite à 2 + 17. S'il y avait plus de termes dans la progression, il est clair que le raisonnement se continuerait.
54. Somme des termes d'une progression arithmétique. — Il résulte de là que le double de la somme des termes d’une progression arithmétique croissante est égale à autant de fois la somme des termes extrêmes qu'il y a de termes dans la progression. Si, en effet, en conservant le même exemple, on écrit la somme des termes de la progression, puis, au-dessous, la somme de ces termes, en ordre inverse, COMME il suit,
D B+ 8411414 +17, Tilt St
et que l’on ajoute, en groupant ensemble les termes de même rang dans les deux sommes; on obtiendra évidemment, pour le double de la somme des termes de la progression, autant de fois 2+17 qu'il y a de termes dans cette progression. | %
Par exemple, le double de la somme des » premiers nombres naturels est n (n +1).
55. Inégalités. — Je résume, dans le présent numéro, une suite de propositions et de formules relatives aux inégalités et concernant l'addition, la soustraction, la multiplication; la plupart, après ce qu'on a dit, n’auront pas besoin d'explication.
4° Si l’on sait que l’une quelconque des trois inégalités
est vraie, on peut affirmer que les deux autres sont vraies; c’est ce qu’on exprime plus brièvement en disant que l'une quelconque de ces inégalités entraîne les deux autres. Toutefois, pour ce qui est de la dernière, elle n’a de sens et ne peut intervenir dans les raisonnements que si c est au plus égal à b et à a.
% Si l'on a à la fois
a < b, a < , on aura certainement a+ a<b+ f.
Si l’on a à la fois Gb, a > b,
on aura, à la condition que les soustractions indiquées soient possibles, a—a<b—$
3° En supposant que a ne soit pas nul et que b soit plus grand que {,ona ab > a.
Des deux inégalités db ac 06
l'une entraine l’autre si c n’est pas nul. Les inégalités a>b, c>d entrainent ac > bd;
en effet l'inégalité c > d implique que c n’est pas nul; donc l'inéga-
lité a > b entraîne ac > bc ; or bc est plus grand que bd, si b n’est pas nul, et lui est égal si b est nul; dans tous les cas, ona .
ac > bd.
$ 7. — Division.
56. Considérons un sac plein de billes ; on veut savoir combien il y a en tout de douzaines de billes dans ce sac ; on peut procéder. comme il suit :
On retirera d’abord du sac une douzaine de billes et on la mettra à part, puis une seconde douzaine qu'on mettra à côté de la première, puis une troisième douzaine qu'on mettra à côté de la seconde, etc. : on ne sera forcé de s’arrêter que lorsqu'il restera moins de 12 billes dans le sac. Le nombre de douzaines de billes que l’on a alors extraites du sac, le nombre de tas de 12 billes que l'on a mis à part est le nombre cherché. 1
Si l’on dispose les billes qui restent dans le sac, en nombre Fe rieur à 19, à côté des tas de 12 billes, on aura distribué les billes qui étaient primitivement dans le sac en un certain nombre de tas, contenant chacun 12 billes, et un tas plus petit contenant moins de 42 billes. Il peut même arriver que ce dernier tas n’existe pas, quon ait pu distribuer exactement les billes du sac par tas de 12.
Si l’on a, par exemple, formé 7 tas de 12 billes, et s'il réste 5 billes dans le sac, c’est que le nombre de billes- primitivement contenues dans le sac était la somme de 7 nombres égaux à 12, augmentée de 5 ; ce nombre a été mis sous la forme 12 ><7 +5. Si, après avoir retiré 7 douzaines de billes, il ne restait rien dans le sac, le nombre primitif de billes aurait été mis sous la forme 12><7; ce serait un multiple de 12.
Faire l'opération qu’on vient de décrire, c’est diviser le home de billes contenues dans le sac par 12. Ce nombre de billes est le dividende, 19 est le diviseur ; le nombre de tas de 12 billes est le quotient ; il indique combien il y a en tout de douzaines -de billes dans le dividende; le tas final, qui doit contenir moins de 12 billes, ou plutôt, le nombre de billes qu’il contient est le reste ; s'il n'existe pas, si l’on a pu distribuer exactement les billes du sac en tas de 19 billes, on dit que le reste est nul. |
57. Définition. — Deux nombres étant donnés, appelés l'un dividende, l’autre diviseur, diviser le premier par le second, c'est chercher combien de fois on peut retrancher le diviseur du dividende,
el le nombre qui reste quand on « effectué la dernière soustraction. Le nombre de fois qu'on peut retrancher le diviseur du dividende est le quotient; le résultat de la dernière soustraction est le resle, qui peut d'ailleurs étre nul. Ce resle esi toujours inférieur au diviseu”.
Le dividende est la somme d’autant de nombres égaux au diviseur qu'il y a d'unités dans le quotient (au produit du diviseur par le quotient), augmentée du reste.
Si l'on désigne le dividende par a, le diviseur par b, le quotient par q, le reste par r, ces nombres sont liés par la relation (!) fondamentale
oùrestinférieur à b. Inversement, si l’on sait, d’une façon quelconque, mettre le nombre a sous cette forme, 7° étant inférieur à b, on peut retrancher de a le nombre bg, la somme de q nombres égaux à b, ou, ce qui revient au même, on peut retrancher de a successivement ces g nombres ; il reste alors », qui est plus petit que d; on ne peut plus retrancher b ; q est bien le plus grand nombre de fois qu’on peut retrancher b de a, ou, comme l’on dit encore, a est le plus grand nombre de fois (?) que a contient b, g indique combien de fois en tout a contient b ; c’est le quotient, r est le reste.
Le problème de la division peut être présenté sous une forme un peu différente, qui se rapproche davantage du sens naturel du mot division : celui-ci suggère naturellement l'idée d'un partage en parties égales. Étant donné un nombre a, peut-on le partager en b parties égales? Peut-on le regarder comme la somme de b nombres fgaux entre eux? S'il en est ainsi et si q désigne l’un quelconque de ces nombres, on aura a = q x< b — bg; a sera un mulüple de b; el le nombre 9, l’une des b parties égales dont la somme est a, sera
le résultat (quotient) de la division.
Pour qu’on puisse diviser un nombre a en b parties égales, il faut
1. Dans cette relation bg signifie proprement la somme de g nombres égaux à b, le produit de b par q, q fois b.
9, Dans le langage courant, on supprime souvent les mots « plus grand »; c’est une difficulté
* analogue à celle qu'on a signalée dans la note du n° 3 (p.5); en conservant ces mots ou en adjoignant les mots « en tout » au verbe contenir, on évite toute confusion.
Il reste entendu qu'en disant qu'un nombre contient un autre nombre, je veux dire qu'il lui esl égal ou supérieur. En conservant les notations du texte, il est permis de dire que le dividende contient le dividende g — 1 fois, mais non g+1 fois.
Lorsqu'on dit que le dividende contient exactement q fois le diviseur, il faut entendre que le quotient est g et que le reste est nul. |
et il suffit que a soit un multiple de b; l’une de ces parües est le
quotient de la division de a par b : on dit alors que la division se fait exactement, que a est divisible par b; dans ce cas le reste est
nul ; on dit souvent qu'il n’y a pas de reste.
Lorsque a n’est pas un multiple dé b, le problème qui consiste à :
diviser & en b parties égales est insoluble ; on ne peut que le résoudre approximativement et c’est la division, telle qu’elle a été définie
d'abord, qui fournit la meilleure solution, comme je vais l'expliquer
sur un exemple concret.
Supposons que a soit le nombre de billes contenues dans un sac ;
on veut les partager entre b enfants, aussi exactement que possi- .
ble. On pourra procéder comme il suit : on prendra b billes dans
le sac, et on en distribuera une à chaque enfant; puis on prendra b
autres billes, et on en distribuera une à chaque enfant, et ainsi de suite jusqu'à ce qu’on ne puisse plus continuer, jusqu’à ce qu'il ne reste plus de billes dans le sac, ou qu’il en reste un nombre moindre que b. Dans le premier cas, le partage a été exact. Dans tous les cas le nombre de distributions, le nombre de poignées de b billes qu’on a retirées du sac est le quotient gq de la division de a par b ; ce qui reste dans le sac est le reste 7 de la division. A chaque distribution, chaque enfant reçoit une bille; il en a reçu q en tout; chaque part se compose de g billes, el puisqu'il y a à enfants, on a mis le nombre «& sous la forme g>x<b +7, r étant moindre que à. Toute la différence entre ce nouveau point de vue ct l’ancien est que le produit de q par b remplace le produit de b par g.
Lorsque a est plus petit que b on ne peut pas retrancher b de a; il est naturel de prendre O0 pour la définition du quotient et de regarder le dividende a comme étant le reste ; dans ces conditions (g =0,r7—= a), l'égalité a — bg + r est encore vraie, et il est clair que 0 et a sont les seules valeurs qu'on puisse donner à get àr pour qu'elle soit vérifiée. :
Si l’on veut étendre la définition de la division au cas où @ serait nul, sans que b le soit, on devra regarder, dans ce cas, le quotient et lé reste comme nuls.
J'exclus absolument le cas où b serait nul, que a soit nul ou différent de 0 : si b est nul, on ne peut en effet avoir a — bg + r avec r < db, puisqu'il n'y a pas de nombres plus petits que 0.
98. Les explicalions qui précèdent montrent que, de quelque façon que l'on opère, lorsqu'on se donne les deux nombres a et b, il n’y a que deux nombres get r, dont le second soit plus petit que b, tels que l’on ait a — bg +».
Cette relation, à elle seule, quand on ne suppose pas r < b, ne permet pas d'affirmer que q et r soient respectivement le quotient et le reste obtenus en divisant a par b; lorsqu'on sait qu’elle est vérifiée, elle permet dans tous les cas de simplifier la recherche de ce quotient et de ce reste. Si r est égal ou supérieur à b, on peut retrancher b de » un certain nombre de fois ; supposons que le quotient et le reste obtenus en divisant ?' par b soient respectivement g! et 7", on aura? —0g +r,1<b. On a déjà pu retrancher g fois b de. a; le reste de la soustraction est alors r d’où l'on peut encore retrancher g' fois b, et il restera r’ ; en tout, on peut retrancher g +- g' fois b de a et il reste r’; r’ est le reste et le quotient est g +- q'.
Dans ce qui suit, a et b continueront de désigner le dividendeet le diviseur, q le quotient et r (plus petit que b) le reste de la division.
59. Revenons au cas où le dividende a est plus grand que le diviseur à et à la définition du n° 57 (p. 54) pour la présenter encore d’un point de vue légèrement différent.
Considérons la suite des multiples du diviseur b :
CDD APS EE
Puisque b n'est pas nul, les termes de cette suite vont en augmentant; sid est égal à 1, elle n’est autre, en négligeant le premier terme, que la suite naturelle ; un nombre quelconque y figure et tous ceux qui suivent sont plus grands ; si b est plus grand que 1, les termes de cette suite, en négligeant toujours le premier, vont en grandissant et sont plus grands que les termes correspondants de la suite naturelle; ils finissent donc, pourvu qu'on aille assez loin, par dépasser tel nombre qu'on voudra. Il arrivera de deux choses l'une :
Ou bien le dividende a figure dans cette suite ; a est égal à l'un de ses termes à X g; q est alors le quotient; la différence entre a et les termes qui le précèdent et quile suivent immédiatement est b. Ou bien a tombe entre deux termes de la suite, bg et b (9 +1); g estencore le quotient; la différence entre a et les deux termes qui le comprennent est moindre que b; la différence entre a et le terme qui le précède est le reste; la différence entre a et n'importe quel autre terme que ces deux là est supérieure à b.
69. Suivant les cas, on porte l’attention sur le quotient, ou sur le reste : a et b étant donnés, le quotient 4 et le reste r sont définis par les conditions
Le quotient peut être défini par les conditions bg <a<b(Q +1).
On peut encore remarquer que la plus grande valeur que 7 puisse atteindre est b — 1 ; on a donc
a > bg +b—1 ou, en ajoutant 1 aux deux membres de l'inégalité, on, réciproquement, si le nombre g satisfait aux conditions Sa, a +1>6 (a+)
On peut affirmer que gq est le quotient de la division de & par b, puisque «a contient bg et que b (g +1), au moins égal à a +1, dépasse certainement a.
61. Il nous sera commode d’avoir réuni ici quelques remarques sur la facon dont le quotient est modifié quand on modifie soit le dividende, soit le diviseur. Je désigne toujours par a, b, 4, r le div dende, le diviseur, le quotient et le reste d’une division. ur
Supposons d’abord que, le diviseur restant le même, le dividende augmente ; le quotient reste le même ou augmente : si, en effet, on pouvait retrancher bg de &, on pourra sûrement le retrancher d'un nombre plus grand.
L'égalité : .
a+1—dg +(r+1)
montre d'ailleurs que, lorsqu'on augmente le dividende d'une unité, le quotient ne change pas, sauf dans le cas où le reste est égal à b— 1, auquel cas le quotient augmente d'une unité.
Lorsque le dividende diminue, et que le diviseur reste le même, le quotient diminue ou reste le même. a
Inversement donc, lorsque le diviseur reste le même, il faut, pour que le quotient augmente, que le dividende augmente. C'est là d’ailleurs une proposition à laquelle le lecteur est habitué : si l’on a deux tas de billes et si le premier contient plus de douzaines de billes que l’autre, peu importe les restes, le premier tas contient … plus de billes que le second. un
Supposons maintenant que, le dividende restant le même, le diviseur augmente : alors le quotient diminue ou reste le même : il
ne peut augmenter, puisque, si l’on ne peut retrancher b (q +1) de a, on ne peut certainement pas retrancher de a le produit par g +1 d’un nombre plus grand que 6.
L'égalité a=(b+1)q+r—g
montre que, si r est supérieur ou égal à q, le quotient de la division de a par b +1 est q, comme celui de la division de a par b; le reste est alors r —q. Il n’en est plus de même si q dépasse r; dans ce cas, l’égalilé précédente peut s’écrire
a=(b+1)qa—(q—r);
elle montre que (b +1) q dépasse a et que, par conséquent, le quotient de a par b + 1 est moindre que gq.
Il est naturel de se demander alors dans quelles conditions le quotient de la division de a par b + 1 est q — 1 et, pour cela, d'écrire l'égalité précédente, qui n’est qu’une transformation de l'égalité a = bq + r, sous la forme
a—(b+1)(g—1)+b LA r—Q.
Je me contenterai de tirer de cette formule la conséquence suivante : lorsque q ne dépasse pas b +1, le quotient de la division de a par b+1 est q ou g — 1. En effet, on voit que dans ce cas, a contient q — 1 fois le nombre b +1, il ne peut d'ailleurs le contenir plus de q fois.
62. Divisions successives. — Dans le présent numéro, c’est le quotient qui importe, c'est lui qu'on regardera comme le résultat de la division.
Diviser successivement un nombre a par plusieurs autres b, b' (1), c'est diviser d’abord a par b, puis le quotient par b', puis le nouveau quotient par b/. J'ai supposé qu'on divisait a successivement par trois nombres ; il est clair qu'on pourrait aussi bien le diviser par quatre, cinq... nombres.
On obtient le méme résullat, soil en divisant un nombre par le produit de plusieurs autres, soit en le divisant successivement par les facteurs du produit.
1. Cette facon d'écrire demande quelques explications : au lieu de représenter plusieurs nombres per des lettres différentes, on préfère parfois (quand ces lettres jouent des rôles analogues) les représenter par une même lettre que l'on affecte d'accents ou d'indices; ici, on a employé des accents : on les place toujours en haut et à droite; on emploie ainsi un, deux, trois accents; on énonce une letire ainsi accentuée en faisant suivre son nom des mots prime, seconde, tierce, suivant qu'il y a un, deux, trois accents. IL est bien rare qu'on emploie quatre, cinq, accents: on préfère les remplacer par les chiffres romains IV, V,.... Les indices sont des chiffres que l’on place à droite et en bas: &, &i, @2, .…s’énoncent a indice zéro, a indice un, a indice deux, …, ou plus brièvement, si l’on ne craint pas de confusion avec les exposants, a zéro, a un, a deux...
Je démontrerai cette proposition dans le cas où le produit comporte trois facteurs, où l’on fait donc trois divisions successives ; on verra Sans peine que le raisonnement est général.
Soient g etr le quotient et le reste dans la division de a par le produit bb'b", en sorte qu'on ait
Lit a—=(0bb")q+r, r<bbb';
il faut prouver qu'en divisant a par b, le quotüent par D, le nouveau
quotient par b", on obtient q comme résultat. Soit r’ Le quotient de
la division de # par b; dire que r est plus petit que b (b'b') c’est dire qu'il ne contient pas b'b/ fois le nombre b ou que le quotient »’ de la
division der par best moindre que b'b!'; d’un autre côté, il résulte de
la remarque du n° 58 (p.56) que le quotient de la division par b de a — b(b'b'q) + r est b'b''Q + r'. Soit r” le quotient de la division de »!
par db’; puisque r' est plus petit que b'b", qu'il ne contient pas b/ fois
le nombre b', c’est que r" est plus petit que b/'; d’ailleurs, toujours en vertu de la remarque du n° 58 (p. 56), le quotient de la division par b de b' (bg) + r' est b'q + r''; puisque r' est moindre que b/, le quotient de la division par b" de b"q +" est bien g, comme on l'avait annoncé.
Si la division de a par le produit bb'b" se faisait exactement, si, en d'autres termes, » était nul ; la division de a par b se ferait exactement et le quotient serait bb"; la division de ce nombre par 0! se ferait exactement et le quotient serait b'9; enfin la division de ce dernier nombre par b! serait encore exacte et le quotient serait g.
Réciproquement si les divisions successives de a par b, b!, b! se font exactement, la division de a par le produit bb'b" se fera aussi
exactement ; soient en effet Q, Q’, Q” les quotients successifs ; on
aura
a — bQ, 0 = RU b'Q, QU HR b''Q"' ; ï
en remplaçant dans le produit 6Q le facteur Q par b'Q' pure dans le
résultat bb'Q', le facteur Q' par b"Q", on obtient a = bb'b"Q",
ce qui montre que a est bien divisible par le produit bb'b!' et que le . quotient est Q". > Lorsqu'on divise un nombre successivement par plusieurs autres le quotient final ne dépend pas de l’ordre dans lequel se font les divisions, que celles-ci se fassent exactement ou non. \
Re
PEpE t à > [! »
RE à |
En effet le quotient final s’obliendrait aussi bien en divisant le nombre donné par le produit des nombres employés comme diviseurs, produit qui ne dépend pas de l'ordre des facteurs.
$ 8. — Généralités sur les opérations. Multiplication et division des nombres relatifs.
63 (1). Commutativité, associativité. — Dans les pages qui précèdent, j'ai souvent raisonné sur des collections, en m'’efforçant de rendre les définitions et les démonstrations aussi intuitives que possible. Il y a intérêt à présenter
les choses sous une forme plus enchaïînée, en déduisant logiquement la suite
des propositions d’un petit nombre de principes, et je voudrais donner à ce sujet quelques indications que le lecteur complétera sans peine. Je n'ai, toutefois, nullement l'intention d'entrer dans les discussions philosophiques dont la notion de nombre entier a été l’objet; je suppose qu'on sache ce que
t'est que des nombres égaux et je continuerai à regarder l'idée d'addition
comme liée à celle du nombre.
Il suffit d’ailleurs de savoir ce que c’est qu'ajouter un nombre à un autre ; si, en effet, on a plusieurs nombres (rangés dans un certain ordre) à ajouter, on ajoutera le second au premier, le troisième au résultat, etc. On a alors à démontrer ces propositions fondamentales : dans une somme, on peut intervertir l’ordre des parties, on peut remplacer tels termes que l'on veut par leur somme effectuée. Ges propositions, on peut effectivement les démontrer si l’on admet que l’addition jouit des propriétés (?) qu’expriment les égalités
+ (b+c) = (a+ db) +c.
On exprime la première propriété en disant que l’addilion est une opéralion commutative, la seconde en disant que l'addition est une opération associative. Ces deux propriétés appartiennent aussi de à la multiplication et s’expriment alors par les égalités
axkb=0 ><a DEN CT (a SOLE XUE
où le signe x remplace le signe +. C'est sur ces dernières inégalités qu'est fondée la démonstration de la possibilité d'intervertir l’ordre des facteurs, de remplacer tels facteurs qu’on veut par leur produit effectué. Il est bien évident que le mode de démonstration peut se transporter aux sommes : l'intérêt qu’il y a à cela consiste en ce que la conséquence se transportera à
1. Dans ce numéro et le suivant (sauf à la dernière ligne), il n'est pas question de nombres négatifs ; les nombres dont an parle sont des nombres naturels ou nuls.
2. Quant à ces propriétés, le lecteur que ce sujet intéresse peut consuller le livre de M. Henri Poincaré : La Science et & Hunothèse, Chapitre premier.
d’autres modes d’addition pourvu que ces additions soient commutatives et associatives. En géométrie, la théorie de l’addition des vecteurs fournit un exemple, qui est loin d’être le seul. »
A ces propriétés fondamentales de l’addition Rs nant les égalités (1), il convient de joindre la définition
(2) | “4+0Z=0 + aa,
et les propositions que voici :
Il n°‘y a que le nombre 0 qui, ajouté à un nombre quelconque, ne modifiée pas ce nombre.
Il n'y a que deux nombres nuls dont la somme soit nulle.
On peut alors définir les nombres plus grands qu’un nombre &« comme les nombres qu'on obtient en ajoutant à a un nombre non nul; cette définition n'est pas contradictoire : si, en effet, b est plus grand que a, c’est qu'il y a un nombre non nul « tel que lon ait b— «a+ x: b ne peut être égal à a, . puisque a n'est pas nul; b ne peut être plus petit que a, car alors a serait plus grand que b, il y aurait un nombre Ê non nul tel que l’on eût a—b+8 et l'égalité b = a + à entraïinerait alors
ce qui impliquerait $ + « — 0, contrairement à l’une des propositions admises plus haut. On démontrerait d’une façon analogue que les inégalités a << bd, b < c entrainent a << b < c et que l'inégalité db Z c entraine a+b<a<+c.
J'admettrai en outre que, si deux nombres ne sont pas égaux, l’un est plus grand que l’autre, en sorte que, relativement à deux nombres à, b, on ne peut faire que trois suppositions, dont chacune exclut les deux autres : A bd ba.
On voit alors que l'inégalité à + b < a + c entraîne b £ c; car les suppositions b — cç, b => c entraîneraient respectivement a + b = gq + c. a+ b> a+ c. De même chacune des inégalités b = c,a+b=a+e entraîne l’autre.
64. Soustraction; sommes algébriques. — Si on suppose a >b, il yaun nombre tel qu'en lui ajoutant b on trouve 4 pour somme et il n'y en a qu’un, puisque d’après ce qu’on vient de dire, en ajoutant b à deux nombres différents, on trouve deux nombres différents. Ce nombre unique est la différence entre a et b ; il se représente par a — b.
Cette définition se traduit par les égalités (1)
L'égalité a—=œa—+b—b k
1. Je rappelle que les opérations doivent être regardées comme effectuées dans l’ordre où elles sont indiquées par l'écriture, soit dans les expressions où ne figurent pas de parenthèses, soit à l’intérieur des parenthèses.
s'établit en constatant que les deux membres deviennent égaux en leur ajoutant b; il en est de même de la proposition plus générale
akc—b—=a—b—+te, qui suppose a > b ; en lui ajoutant b, le second membre devient en effet a—b+c+b={a—b) +c+b;
en vertu des propriétés des sommes, la quantité (a — b) + c + b peut s’obtenir en ajoutant b à a—b, ce qui donne a, puis en ajoutant c au résultat, ce qui donne a 6, c’est évidemment le résultat obtenu en ajoutant b au premier membre de l'égalité à démontrer.
La proposition qu’on vient d'établir peut s'exprimer en disant que, pour retrancher un nombre ç d’une somme a + b de deux parties, on peut le retrancher d’une de ses parties a. Elle s’étend sans peine à une somme d’autant de parties qu’on veut, en s’appuyant sur les propriétés des sommes.
Les propositions que résument les formules
a—(b+c)=a—b—c, a+(b—c)=a+b—0c, a—(b—c)=a+éi—pb, (a+m)—(b+m)=a—b
s’établissent sans peine d’une façon analogue; pour la première, par exemple, en supposant ab, a—b=c, elle s’établira en montrant qu’on obtient & en ajoutant bHcouc+bàa— b—c; on ajoute d’abord c, ce qui donne a—b, puis b, ce qui donne a. La dernière égalité a d’ailleurs été établie abstraitement au n° 23 (p. 22).
Les propriétés des sommes algébriques se déduisent logiquement de ces. propositions et, en particulier, de légalité
qui permet de faire reculer vers la droite tous les termes soustractifs, en sorte que, dans la somme, les termes additifs soient placés d’abord, puis. les termes soustractifs ; en s'appuyant sur l'égalité
qui est une conséquence facile de l'égalité a — (b+c)—=a—b—ec, la seconde définition de la valeur d’une somme algébrique, comme différence entre la somme des termes additifs et la somme des termes soustractils, apparaît immédiatement et les propositions qui en résultent ne souffrent aucune difficulté, non plus que l’introduction des nombres relatifs.
65. Relativement à l'addition de ces nombres, il convient d'observer que les propriétés qu’expriment les égalités (1) et (2) du précédent numéro subsistent, mais non plus cette proposition : il n’y a que deux nombres nuls.
AT RUE UC TET Li R Ad Ha PEUT QE TE Der ue Ve ES UR ETSY + SEE PU CN Po \ARRTNQEES,
dont la somme puisse être nulle. Deux nombres dont la somme est nulle sont deux nombres symétriques.
Dès lors la définition des mots « plus grand, plus petit » doit être cute quand il s’agit des nombres négatifs : d’après le n° 37 (p. 35) le nombre b est plus grand que le nombre a s’il peut s’obtenir en ajoutant à a un nombre positif; on reconnaît comme plus haut que cette définition n’est pas contradictoire et que celles des propositions du n° 55 (p. 53), relatives aux inégalités, qui ne concernent que l'addition et la soustraction subsistent . pour les nombres relatifs.
Revenons aux nombres absolus.
66. Multiplication. — La multiplication de a par b est définie comme un cas particulier de l’addition : on a à ajouter b nombres égaux à a; cette définition est complétée par celles qu’expriment les égalités
AXES a 00,
Les propriétés fondamentales de la multiplication s'expriment par les
égalités ab = ba,
(ab) c — a (bc), c:(a + b) = ca + cb, (a + b) c = ac + bc;
on dit que les deux dernières expriment la propriété distributive de la multiplication, par rapport à l'addition, lorsqu'on regarde comme une somme, soit le multiplicateur, soit le multiplicande.
Je rappelle que les deux premières ont été déduites de la dernière ; la démonstration repose uniquement sur les propriétés des sommes : ; en vertu de la première égalité, la dernière entraîne la troisième.
67. Multiplication des nombres relatifs. — La définition de la multiplication des nombres relatifs permettra de substiluer à la proposition du n° 48 (p.43) sur la multiplication d’une somme algébrique par une somme algébrique celle-ci, où les mots somme et ferme ont la signification expliquée au n° 32 (p. 31) : le produit d’une somme par une somme s'obtient en ajoutant les produits obtenus en multipliant chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde.
Voici cette définition :
Le produit de deux nombres relatifs a pour valeur absolue le produit des valeurs absolues de ces deux nombres : il est positif ou négatif Suivant que les deux facteurs sont de mêmes signes ou de signes contraires. Il est nul quand l’un des facteurs est nul ; en vertu de la définition précédente, il
n'est nul que dans ce cas.
On continue d’ailleurs de confondre les nombres poditite et les nombres absolus, en sorte que la définition précédente contient la définition du produit d’un nombre relatif par un nombre absolu.
Le produit de deux facteurs dont l’un est 4 ou 4 est égal à l’autre
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facteur. Le produit de deux facteurs a, b est, ou non, du même signe que a ou de signe contraire, suivant que b est positif ou négatif.
Tout cela résulte de la définition générale; celle-ci entraîne encore les égalités suivantes, où a, b désignent des nombres relatifs quelconques,
(+ a) (+0) =+ ab, (—a)(—b) = + ab, (Ha) (—b)—=— ab, (—a) (+0) = — ab.
Dans ces égalités, ab représente le nombre relatif produit des nombres a et b; d’ailleurs, conformément aux conventions expliquées plus haut, + ab et ab ont le mème sens, — ab est le symétrique de ab. Ces égalités se démontrent toutes de la même façon; il est clair d’abord que, dans les deux membres, les valeurs absolues sont toujours les produits des valeurs absolues de a et de b; on n’a donc qu’à constater l'identité des signes ; considérons, par exemple, la seconde égalité : si a, b sont de même signe, il en est de même de — a et de —b; le produit ab, ou le nombre + ab est positif, comme le produit de —a par — b; si, au contraire a et b sont de signes contraires, il en est de même de — a et de — b; les deux membres sont négatifs.
Le produit de plusieurs nombres relatifs s'obtient en multipliant le produit des deux premiers par le troisième, le produit ainsi obtenu par le quatrième, etc... Si l’un des facteurs est nul, le produit est nul, écartons ce cas. Il est clair que la valeur absolue du produit est le produit des valeurs absolues des facteurs. Quant au signe, il se détermine aisément en remarquant que, chaque fois qu’on multiplie par un facteur positif, on ne change pas le signe du produit précédent ; on voit alors aisément que le signe du produit ne dépend pas du nombre de facteurs positifs et, finalement, que le produit est positif ou négatif suivant qu'il y a un nombre pair ou impair de facteurs négatifs.
Un produit de plusieurs facteurs ne change pas quand on change l’ordre de ces facteurs, puisque ni la valeur absolue du produit, ni son signe ne sont
modifiés.
Les conséquences de ce théorème s'étendent évidemment au cas où les facteurs du produit que l’on considère sont des nombres relatifs. Si a, b, c sont des nombres relahifs, on a
a (b + c) = ab + ac.
Désignons, en effet, par a’, b', c’ les valeurs absolues des nombres a, b, c. Les valeurs absolues de ab et de ac sont a'b' et a'c.
Si b et c sont de mèmes signes, il en est de même de ab et de ac, en sorte que les valeurs absolues de b + c et de ab + ac sont b' + c' et a'b' + a'e!. Dans ce cas, les deux membres de l’égalité à démontrer ont même valeur absolue ; ils sont positifs tous deux si b et c sont de mêmes signes que a; ils sont négatifs tous deux si b et c sont de signes contraires à celui de a. : Supposons maintenant que b et c soient de signes contraires. Écartons
tout de suite le cas où ils seraient symétriques, ainsi que les nombres ab et ac, cas où les deux membres de l'égalité à démontrer seraient nuls. Les deux nombres b’ et c' étant différents, convenons de désigner le plus grand par 0’. La valeur absolue de b + c est alors b' — c'; les deux nombres ab et ac sont de signes contraires, comme betc;la valeur absolue de leur somme est a'b! — a'c', car l'inégalité b' > c entraîne a'b' > a'c', en supposant que a' ne soit pas nul; les valeurs absolues des deux membres sont a'(b! — c') et a'b! — a'c', elles sont égales. Les signes sont aussi les mêmes; le signe de b + c est, en effet, le signe de b, le signe du premier mémbre est donc le même que le signe de ab; mais c'est aussi le signe du second membre puisque des deux nombres à ajouter ab et ac, c’est le premier qui a la plus grande valeur absolue.
La proposition est évidente quand a est nul ; elle est donc entièrement démontrée.
Les formules rappelées au n° 66 (p. 64) subsistent quand les nombres qui y figurent sont des nombres relatifs.
Les formules relatives au produit de deux sommes, de deux différences, d'une somme par une différence, au carré d'une somme ou d’une différence subsistent aussi. |
Les propriétés qui concernent les inégalités ne s'étendent pas de la même façon ; je me borne à énoncer la proposition suivante :
Des deux inégalités
We 0, ac > be,
l'une entraine l’autre, si « est positif ; si c est négatif, l’une des deux inégalités a > b, ac-< be
entraine l'autre.
68. Division. — Pour ce qui est des nombres naturels et de la division, Je lecteur trouvera dans ce qui précède tous les éléments nécessaires pour présenter abstraitement les définitions et les démonstrations. Je crois inutile d’insister sur ce point. ;
Lorsqu'il s’agit de nombres relatifs a, 0, on peut se proposer encore de trouver un nombre relatif g et un nombre positif ou nul r, dont la valeur ybsolue soit moindre que b, tels que l'on ait
a = 069 + Tr.
On peut, et c’est ce que je ferai, se borner au cas où le diviseur à est positif; en effet, l'égalité précédente et l'égalité
a (Dir drr
reviennent au même, en vertu des règles relatives à la multiplication des nombres relatifs ; en sorte que, si l'on a La solution du problème posé pour
un nombre b, on a immédiatement la solution du même problème pour le
nombre symétrique — b ; il suffit de remplacer g par le nombre symétrique — q.
Que le problème posé admette une solution et une seule, quand on se donne les nombres a et b, en excluant toujours le cas où b serait nul, c’est ce qui résulte du raisonnement, un peu généralisé, qu’on a employé au n° 59 (p. 57).
On considère la suite des multiples de b, obtenue en multipliant b par les nombres négatifs, nul ou positifs :
ini de 0h D 0 D CD
Cette suite forme une progression arithmétique, c’est-à-dire que la diffé-rence entre chaque terme et le précédent est toujours b; mais elle est main-. tenant indéfinie dans les deux sens; en supposant, comme je l'ai fait, b positif, ses termes vont en croissant, quand on va de gauche à droite.
De deux choses l’une : ou le SE ATNee a est un terme qb de cette suite et l'on dit alors qu’il est un multiple de b, qu’il est divisible par b; le quotient ést alors le nombre q par lequel il faut multiplier b pour obtenir a et le reste est nul ; ou bien le nombre a tombe entre deux termes consécutifs de cette suite, gb et (g +1)b, q pouvant d’ailleurs être positif ou négatif, Le reste est le nombre positif a— bg. :
D'ailleurs, il suffit de savoir résoudre le problème posé quand a est positif. En effet, l'égalité a — bg + r entraîne Jes suivantes
d'où il suit que si q et r sont le quotient et le reste de la division du nombre positif a par le nombre positif b, ce quotient et ce reste, dans la division de — a par b, seront — q — 1 et b—r, puisque ce dernier nombre est plus petit que b.
Cette dernière affirmation et la proposition elle-même tombent en défaut quand» est nul, quand a est un multiple de b; dans ce cas, — a est aussi un multiple de b ; les quotients de la division par b de a et de — a sont des. nombres symétriques. Ê
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