NUMÉRATION PARLÉE. 7A

vingt-dix-neuf fois un million ; on ne crée de nom nouveau que pour mille millions, que l’on appelle un billion (‘) ou un milliard.

On nomme les neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent

quatre-vingt-dix-neuf nombres qui suivent un million, en plaçant les mots un million avant les noms des neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf premiers nombres; ainsi on dit un million un, un million deux, …, un million neuf cent quatrevingt-dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf; le nombre suivant est deux millions ; on recommence alors à dire, deux millions un, deux millions deux, .…, jusqu'à trois millions, et ainsi de suite jusqu’à un billion.

On compte ensuite par billions comme on a fait par mille, ou par millions, et l’on ne crée de nom nouveau que pour mille billions, que l’on appellerait un trillion ; les nombres placés entre un billion et deux billions s'énonceraient successivement en plaçant après les mots un billion les noms des neuf cent quatre-vingt-dix-neuf millions neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille neuf cent quatrevingt-dix-neuf premiers nombres ; on place ces mêmêés noms après deux billions pour désigner les nombres entre deux billions et trois billions, etc.

On compterait ensuite par trillions, jusqu'à mille tnillions, auquel nombre on donnerait un nom nouveau et l’on introduirait toujours des noms nouveaux pour désigner des collections d'unités de mille en mille fois plus grandes. Mais déjà les mots un billion, un trilion ne sont guère usités : on n’a pas besoin dans la pratique de nombres aussi grands, et quand il s’agit des grands nombres que la science est obligée de considérer, on se contente deles écrire. La numération écrite, en effet, est beaucoup plus simple et plus régulière que la numération parlée. Les règles n’y présentent pas d’exceptions; enfin, au moyen de dix caractères elle permet de désigner n'importe quel nombre. Quoique la numération parlée permette avec peu de mots de désigner beaucoup de nombres, pour nommer l'infinité des nombres, il n’en faudrait pas moins une infinité de mots. En outre, elle comporte une certaine confusion, en ce sens que la juxtaposition des noms de nombres implique tantôt l’idée d’addition tantôt l'idée je multiplication; ainsi quand on dit deux cent dix-sept : deux cents implique l’idée de multiplication (deux fois cent) ; au contraire dixsept doit être ajouté à deux cents. L’habitude, il est vrai, empêche

1. Cette signification du mot billion est relativement récente et n'a pas élé adoptée partout : en Allemagne un billion est un million de millions. un trillion est un million de billions, etc...

72 LEÇONS D’ARITHMÉTIQUEÉ. D

de tomber dans ces confusions, et même d’y penser. Quoi qu'il en soit, le véritable instrument scientifique est la numération écrite, instrument d'une rare perfection, et qu’on ne saurait trop admirer.

$ 2. — Numération écrite.

70. La numération écrite a déjà été exposée n°8 (p. 8), comme un système de symboles différents qui permet d'écrire la suite naturelle des nombres; je vais l’exposer maintenant à un autre point de vue et montrer comment, au moyen des seuls chiffres 0, 4, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, on peut compter une collection d'objets et figurer (écrire) le nombre d'objets contenus dans cette collection.

Supposons que nous ayons devant nous un petit monceau de blé dont nous voulons compter les grains. Nous supposerons aussi que nous ayons à notre disposition des sacs de diverses A les uns blancs, les autres bleus.

Groupons les grains de blé dix par dix, jusqu’à ce qu'il en reste moins de dix; meltons chaque groupe de dix grains dans un sac blanc, que nous appellerons sac du premier ordre : cette opération sera la première mise en sac (!). Mettons les grains qui restent dans un sac bleu sur lequel nous inscrirons au moyen d'un des chiffres 0, 1, 2, .…, 9, le nombre de grains qu'il contient, et que nous placerons à part, à l'extrémité de droite d'une ligne horizontale. Si ce sac est vide, c’est-à-dire si tous les grains ont pu être distribués dans les sacs du premier ordre, c’est le chiffre 0 qu'on a inscrit sur le sac bleu. |

Nous avons maintenant devant nous l’ensemble des sacs du premier ordre : considérons-les comme des objets distincts, susceptibles d’être comptés. Groupons-les dix par dix, jusqu’à ce qu'ilen reste moins de dix. Mettons chaque groupe de dix sacs du premier ordre dans un sac blanc, que nous appellerons unité ou sac du second ordre ; ce sera la deuxième mise en sac. Mettons les sacs du premier ordre qui restent dans un sac bleu, en inscrivant leur nombre au moyen d’un des chiffres 0, 14, 2, ..., 9, et plaçons ce second sac bleu à part, à gauche du premier, sur la même ligne.

Nous avons maintenant devant nous l’ensemble des sacs du second ordre. Groupons-les dix par dix. Mettons chaque groupe de dix sacs du second ordre dans un sac blanc, que nous appellerons sac du troisième ordre ; ce sera la froisième mise en sac. Mettons les sacs

4. Le mot mise est pris ici dans l’acception : action de mettre.

du second ordre qui restent dans un sac bleu, en inscrivant leur nombre au moyen d’un des chiffres 0, 1, 2, .…., 9, et plaçons ce troisième sac bleu à part, à gauche des deux premiers, sur la même ligne.

Continuons de la même façon ; après chaque opération le nombre: de sacs blancs que l’on a devant soi a diminué, leur ordre s’est élevé ; au bout d’un certain nombre d'opérations, on finira par avoir devant soi moins de dix sacs blancs du même ordre, le plus élevé auquel on soit parvenu. Alors on les mettra dans un sac bleu, avec un des chiffres 1, 2, …., 9 et l’on placera ce dernier sac bleu à part, à gauche des précédents, et sur la même ligne. Cette fois, le chiffre inscrit ne sera certainement pas un 0. Tous les grains sont distribués dans les sacs bleus, dont chacun porte son chiffre; AODErANOE est terminée.

Si maintenant on écrit sur une même ligne les chiffres qui figurent sur les sacs bleus, exactement dans le même ordre, on aura une représentation abrégée du résultat : ce sera le nombre de grains de blé écrit dans le système décimal, ou encore dans Le système dont la base est dix, Il est clair que les chiffres inscrits et leur rang ne dépendent que du nombre total des grains de blé.

L'opération qu'on vient de décrire donne lieu aux observations suivantes :

Tout d'abord, elle permet d'avoir, immédiatement écrits dans le même système, les nombres des sacs blancs du premier ordre, ou du second, ou du troisième, …, que l'on a obtenus après chaque opération partielle.

Considérons, par exemple, les sacs blancs du prenier ordre, dont on a le monceau devant soi, dès qu’on a mis à part, dans le premier sac bleu, les grains qui restaient après la première mise en sac; ces sacs du premier ordre, on les a traités exactement comme les grains de blé, et on les a distribués dans le second sac bleu, dans le troisième, dans le quatrième, etc... Les chiffres inscrits sur ces sacs bleus, placés chacun à leur rang, donnent donc la représentation écrite du nombre de sacs du premier ordre ; on obtient ce nombre écrit dans le système décimal en supprimant le premier chiffre à

droite du nombre écrit de grains de blé; en supprimant encore un

chiffre à droite, on aura le nombre écrit rs sacs du second ordre : en supprimant encore un chiffre à droite, on aura le nombre écrit

de sacs du troisième ordre, etc.

Chaque sac du premier ordre contient dix grains; chaque sac du second ordre contient dix sacs du premier ordre, ou dix fois dix

grains, ou cent grains, dans le langage de la numération parlée;

chaque sac du troisième ordre contient dix fois cent grains, OU mille grains, dans ce même langage, etc. Chaque sac blanc contient dix sacs blancs de l’ordre immédiatement inférieur, ou dix fois plus de grains que le sac blanc de l’ordre immédiatement inférieur. | ;

On peut dire encore, en se reportantaux définitions des n°39 (p.35) -

et 50 (p. 47), queles sacs blancs du premier ordre, du second, du tro sième, du quatrième, …, contiennent des nombres de grains qui sont respectivement dix, dix.dix, dix.dix.dix, dix.dix.dix.dix, ……. ; Je nombre de grains contenus dans chaque sac blanc est un produit de facteurs tous égaux à dix, ou une puissance de dix ; le nombre de ces facteurs, ou l’exposant de cette puissance, est l’ordre du sac blanc.

74. Chaque opération partielle correspond à une division par dix. Ainsi, dans le premier groupement des grains dix par dix, le nombre de sacs du premier ordre est le quotient de la division par dix du nombre total de grains de blé; le chiffre inscrit sur le premier sac

bleu (en commençant par la droite) est le reste de cette division; de

même, le nombre de sacs du second ordre est le quotient de la division par dix du nombre de sacs du premier ordre, et le chiffre inscrit sur le second sac bleu est le reste de cette division; le nombre de sacs du troisième ordre est le quotient de la division par dix du nombre de sacs du second ordre et le chiffre inscrit sur le troisième sac bleu est le reste de cette division, etc... :

On peut aller un peu plus loin. Dans le premier sac bleu, en commençant par la droite, il n'y a pas assez de grains pour remplir un sac du second ordre. Dans les deux premiers sacs bleus, dont le second contient au plus neuf sacs du premier ordre, et le premiet moins de grains qu'un sac du premier ordre, il n’y a pas assez de grains pour remplir un sac du second ordre, qui contient dix sacs du premier. De même, dans les trois premiers sacs bleus, dont le

troisième contient au plus neuf sacs du second ordre et dont les

deux premiers, ensemble, contiennent moins de grains qu’un sac du second ordre, il n'y a pas assez de grains pour remplir un sac du troisième ordre, qui contient dix sacs du second ordre, etc... En général, dans un sac du nièe ordre, il y a plus de grains que dans les x premiers sacs bleus, ou, si l'on préfère, le nombre de grains

contenus dans un sac du nie ordre est plus grand que n'importe,

quel nombre écrit avec n chiffres ou moins. Un sac du quatrième ordre, par exemple, contient dix>< dix >X<dix XX dix grains.

Or, le nombre total de grains peut être distribué, d'une part,

dans les sacs du quatrième ordre et, d’autre part, dans les quatre premiers sacs bleus, qui contiennent ensemble moins de grains qu'un sac du quatrième ordre : donc le nombre de sacs du

quatrième ordre est le quotient obtenu en divisant le nombre total

de grains par dix >< dix >< dix >< dix; 1l s'obtient, comme on l'a vu au numéro précédent en supprimant les quatre premiers chiffres du nombre total de grains, en commençant par la droite, les quatre derniers en commençant par la gauche, comme on fait d'habitude. Le nombre formé par ces quatre chiffres supprimés est le reste de la division du nombre total de grains par la quatrième puissance de

‘dix.

Au lieu de raisonner directement comme je viens de faire, j'aurais

pu m’appuyer sur le théorème du n° 62 (p. 59) et dire :

Pour diviser le nombre total par dix >< dix >< dix >< dix, je divise d’abord par dix; le quotient s'obtient en supprimant le dernier chiffre ; puis je divise par dix, ce qui revient à supprimer le dernier chiffre. ; le quotient final s'obtient en supprimant les quatre derniers chiffres ; il représente le nombre de sacs du quatrième ordre. En supprimant au contraire tous les sacs du quatrième ordre, on obtient le reste de la division; ce reste est figuré par les quatre derniers chiffres (!).