On peut maintenant répondre à la question suivante

Si l'on compte, de la façon qu'on a expliqué, les grains de blé

. contenus dans un autre tas, comment savoir si l’un des sacs con-

tient plus de grains que l’autre?

Supposons, par exemple, qu'on sache reconnaître que, pour le premier tas, 1l y a plus de sacs du quatrième ordre que pour le second, on pourra affirmer que le premier tas contient plus de grains que le second.

En effet, séparons le premier tas en deux collections : la première

formée des grains contenus dans les sacs du quatrième ordre, sau

un ; la seconde, formée des grains contenus dans ce sac du quatrième ordre et dans les sacs d’ordre moindre ; séparons de même le second tas en deux collections : la première, formée des grains contenus

-dans tous les sacs du quatrième ordre ; la seconde formée des

grains contenus dans tous les sacs d'ordre moindre. La première

collection du premier tas est au moins égale à la première collection

4. En fait, on a donné une nouvelle démonstration du théorème du n° 62 (p. 59), dans le cas où

. tous les diviseurs sont égaux à 10. Le lecteur reconnaitra sans peine que cette démonstralion,

légèrement modifiée, s'applique à tous les cas.

du second tas ; mais la seconde collection du premier tas l'emporte certainement sur la seconde collection du second tas, à cause du sac du quatrième ordre, qui contient plus de grains,à lui seul, que tous les sacs d'ordre moindre, dans le second tas. La proposition est donc démontrée ; elle l'avait déjà été au n° 61 (p. 58) : si l’on divise deux nombres par dix mille, si le premier quotient est plus grand que le second, le premier nombre est certainement plus grand qué le second.

Le raisonnement est évidemment général, et conduit aux conclu sions suivantes :

Si, quand on a terminé la mise en sac, pour les deux tas, on. voit qu'on a obtenu, pour le premier, des sacs d’un ordre plus élevé que le second n’en a fourni, on pourra affirmer que le premier tas contient plus de grains que le second; cette circonstance se reconnaîtra sur les nombres écrits, en constatant que le premier nombre écrit contient plus de chiffres que le second.

Siles deux nombres écrils contiennent le même nombre de chiffres, on comparera les deux premiers chiffres de gauche, ceux qui représentent des sacs de l’ordre le plus élevé ; si le premier chiffre du premier nombre est plus fort(:) que le premier chiffre du second, le premier tas contiendra plus de grains que le second, puisqu'il y a au moins un sac de l’ordre le plus élevé de plus pour le premier tas que pour le second ; si les premiers chiffres de gauche sont les mêmes dans les deux nombres, on comparera les deuxièmes chiffres; si, pour le premier nombre, le deuxième chiffre est plus fort que pour le second, le premier nombre sera plus grand que le second; si les deux premiers chiffres de gauche sont les mêmes dans les deux nombres, on comparera les troisièmes chiffres, etc.…..; il est clair qu'on parviendra ainsi, très aisément, à reconnaître siles deux nombres sont égaux, ou si l’un est plus grand que l’autre.

73. Comment s'écrivent, dans le système décimal, les nombres de grains Fe dans un sac du premier ordre, du second, du troisième, etc.

Si notre tas blé ne contenait que dix grains, il tiendrait tout entier dans un sac de premier ordre; le premier sac bleu serait vide, il serait marqué 0, le second sac bleu serait marqué 1; le nombre de grains contenus dans un sac du premier ordre s'écrit 10. Si notre tas de blé pouvait tenir tout entier dans un sac du second ordre, on voit de même que le premier sac bleu et le second sac

1. Un chiffre plus fort qu'un autre FRE un nombre plus grand ; 9 est un chiffre re fort que 7.

& L'ATT A Matt fi +

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NUMÉRATION ÉCRITE. rip

bleu seraient vides, le troisième sac bleu serait marqué 1 ; le

nombre de grains contenus dans un sac du second ordre s’écrit 100; de mêine, le nombre de grains contenus dans un sac du troisième ordre s'écrit 1000, etc... En général, le nombre de grains contenus dans un sac d'ordre quelconque, s'écrit en plaçant à la droite du chiffre À un certain nombre de zéros, qu'indique l’ordre du sac. D'après ce qui a été dit au n° 70 (p. 74), on peut donc écrire

AUD MOST ETTOS AUOT CAE ECTO ETS, 10000 — 10 X< 10 >< 10 >< 10 = 10".

Plus généralement, comment écrire le nombre de grains que conÿ ‘nnent un certain nombre de sacs d'un ordre déterminé, du troisième par exemple, quand on sait écrire ce nombre de sacs?

Supposons qu'on ait opéré sur un las de blé qui puisse être distribué exactement dans 37 sacs du troisième ordre ; alors les trois premiers sacs bleus seraient vides, le quatrième sac bleu serait marqué 7, le cinquième et dernier serait marqué 3 ; le nombre de grains s'écrirait 31000. Il suffira donc d'ajouter trois zéros à la droite

.de 37. Observons en passant que 37000 n’est autre chose que 37 fois

mille ; en d’autres termes on a 1000 >< 37 — 37000.

74. Supposons qu’en opérant comme je l’ai expliqué sur un tas de blé, on ait obtenu huit sacs bleus, sur lesquels soient respectivement inscrits, en allant de droite à gauche, les chiffres 4, 5, 1, 3, 7, 0, 8,2; le nombre total de grains de blé s’écrira 28073154 ; il y aura 2807315

sacs du premier ordre contenant en tout 28073150 grains ; 280731 sacs lu second ordre, contenant en tout 28073100 grains ; 28073 sacs du roisième ordre, contenant en tout 28073000 grains, ..; 28 sacs du sixième ordre contenant 28000000 grains ; 2 sacs du Hébiiéute ordre contenant 20000000 grains.

On voit qu’on peut écrire 28073154 = 4 + 50 + 100 + 3000 + 70000 + 8000000 + 20000000

Notons encore l’égalité suivante :

qui exprime, comme on l'a dit plus haut, que le quotient de la division du nombre écrit 28073154 par 10000 est 2807 et le reste

75. Arrêtons-nous un instant sur les sacs blancs qui correspondent aux mille, aux millions, ..., à ces nombres de mille en mille fois plus grands pour lesquels, dans la numération parlée, on a créé des noms nouveaux.

Les sacs qui contiennent mille grains sont du troisième ordre ; leur nombre s'obtient en supprimant les trois premiers chiffres à droite dans le nombre écrit qui figure le nombre total de grains : ce sera, dans l'exemple qu’on a pris, 28073. Quand on a formé les sacs du troisième ordre, pour former les sacs qui contiennent mille sacs

du troisième ordre, 1l faut effectuer trois nouvelles mises en sac, de même qu'il a fallu effectuer trois mises en sac pour parvenir aux :

sacs contenant mille grains; les sacs ainsi obtenus seront du sixième ordre : ils contiendront mille fois mille grains, ou un million; on obtiendra leur nombre en supprimant six chiffres à droite du nombre 28073154 ou trois chiffres à droite du nombre 28073 ; on trouve ainsi 28.

De même, si le tas de blé était suffisamment gros, on tétinérait les sacs contenant mille millions ou un billion de grains, en prenant

les sacs du sixième ordre et en effectuant trois nouvelles mises en.

sac : ce seraient des sacs de neuvième ordre ; leur nombre se déduirait du nombre écrit de grains de blé en supprimant neuf Dan à droite de ce nombre, etc.

Observons que les nombres mille, un million, un billion S Lio

dans le système décimal 4000 — 10%, 1000000 — 1000 >< 1000 = 1000? — 106, 1000000000 — 1000 — 10°.

76. Adoptons maintenant des dénominations plus abstraites, qui

se comprendront d’elles-mêmes, après les explications qui ont été

données, et qui pourront nous servir dans tous les cas.

Nous appellerons unités composées du premier ordre, du second

ordre, du troisième ordre, etc., les nombres qui s’écrivent 10, 100, 1000, .….. C’étaient les nombres de grains contenus dans nos sacs du premier, du second, du troisième ordre, .... L'unité composée du premier ordre équivaut à dix unités simples 0; chaque unité com-

4, Les unités simples, si on veut leur attribuer un ordre, devront être regardées comme d'ordre ZÉTOs

LS SANTE Ne CURE PERRIN RCA

ah à

posée d'ordre supérieur équivaut à dix unités composées de l’ordre immédiatement inférieur.

Dans le nombre 28073154, 4 est le chiffre des unités simples; et 28073154 le nombre des unités simples ; 5 est le chiffre des unités composées du premier ordre ou des dizaines, 2807315 est le nombre des dizaines ; 1 est le chiffre des unités composées du second ordre, ou des centaines, 280731 est le nombre des centaines ; 3 est le chiffre des unités composées du troisième ordre, ou des mille, 28073 est le nombre des mille, etc....; 8 est le chiffre des unités composées du sixième ordre, ou des millions, 28 est le nombre des millions, 2 est le chiffre et le nombre des unités composées du septième ordre, ou des dizaines de millions ; c’est le chiffre des plus hautes unités du nombre proposé.

Observons maintenant que la convention essentielle grâce à laquelle on peut écrire dans le système décimal un nombre quelconque consiste à attribuer aux chiffres des valeurs différentes suivant leur position relative; dans un nombre écrit, le premier chiffre à droite représente des unités simples, el chaque autre chiffre représente des unilés composées dix fois plus grandes que celles qu'exprime le chiffre placé à sa droite. S'il y a lieu, le zéro permet d'attribuer aux autres chiffres le rang qu'ils doivent occuper, afin qu'ils expriment bien les unités qu'on veut leur faire exprimer.

Un zéro, deux zéros, trois zéros, …, placés à la droite d’un nombre lui font exprimer des unités composées du premier, du deuxième, du troisième ordre, … On pourrait, si cela avait quelque utilité, placer autant de zéros qu'on voudrait à la gauche d’un nombre; on ne le changerait point.

Il ne me paraît pas utile d'insister sur la concordance évidente des règles exposées dans ce paragraphe et de celles qu’on a développées au n°8 (p. 9).

77. Il ne me reste plus, pour terminer ce sujet, qu'à montrer comment on. peut passer de la numération écrite à la numération parlée et réciproquement; comment on peut énoncer un nombre écrit, écrire un nombre énoncé.

Si le nombre écrit contient seulement un, deux ou trois chiffres, il ny a aucune difficulté à l’énoncer; dans le cas de deux chiffres, on voit tout de suite le nombre de dizaines et d'unités ; par exemple, 28 s énonce vingt-huit, puisque 28 veut dire deux fois dix, plus huit. S1l y a trois chiffres, on énonce d’abord le chiffre de gauche qu’on

fait suivre du mot cent, et l’on énonce ensuite le nombre de deux

tr LEÇONS D’ARITHMÉTIQUE.

chiffres ni reste : 928, 908, 920 s’énoncent neuf cent vingt-huit, neut

cent huit, neuf cent vingt.

Si le nombre proposé a six chiffres au plus, on supprime trois chiffres à droite, on énonce le nombre formé par les un, deux ou

trois chiffres qui restent, en le faisant suivre du mot mille, et l’on

énonce ensuite le nombre formé par les trois chiffres supprimés.

Si le nombre proposé a neuf chiffres au plus, on supprime six chiffres à droite; on énonce le nombre formé par les un, deux ou trois chiffres qui restent, en faisant suivre du mot millions, et l'on énonce ensuite le nombre formé par les six chiffres que l'on avait supprimés, etc.

Toutes ces règles ont été justifiées d'avance par les explications relatives à la recherche du nombre de mille, de millions, de billions, .…. contenus dans un nombre.

En résumé, on sépare le nombre écrit en tranches de trois chiffres eu commençant par la droite ; la dernière tranche de gauche peut contenir un, deux ou trois chiffres ; la première tranche à droite correspond aux unités simples, la deuxième aux mille, la troisième aux millions, la quatrième aux billions, etc... On énonce chaque tranche successivement, en allant de gauche à droite, ce que l’on sait faire si l’on sait énoncer un nombre écrit de trois chiffres, et l’on fait suivre le nombre écrit dans chaque tranche de celui des mots... billions, millions, mille, unités qui lui correspond. Le mot unités se sous-entend d’ordinaire (t).

En renversant cette règle, en quelque sorte, on a la règle pour écrire un nombre énoncé.

D'abord on n’a aucune difficulté si le nombre est moindre que mille ; on n'aura besoin, pour l’écrire, que de trois chiffres au plus; le chiffre des centaines, celui des dizaines et celui des unités se reconnaissent à la seule audition. | -

Si le nombre contient des billions, des millions, des mille, des unités, en l’entendant énoncer on écrira successivement, en allant de gauche à droite, les tranches qui correspondent aux billions, aux millions, aux mille, aux unités. Ces tranches, sauf peut-être la première, comporteront trois chiffres (?).

3. C'est à cette règle que correspond l'habitude, assez fréquemment suivie, de laisser, dans l'écriture ou l'impression, un petit intervalle entre les franches de trois chiffres, afin de faciliter la lecture. On écrit, par exemple :

2. Le lecteur un peu familier avec l'arithmétique reconnaîtra que la numération parlée est en quelque sorte mixte : elle a à la fois dix et mille poùr bases. On aurait eu un système simple ex introduisant des mois nouveaux pour les unités composées de dix en dix fois plus grandes.

Ré ex :f ?