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78. L'habitude de compter de dix en dix, commune à presque tous les peuples ayant acquis un certain degré de culture, remonte à la plus haute antiquité. À cette même habitude se rattachent aussi de très anciennes façons d'écrire les nombres qui, dans le fond, sont identiques à la numération décimale.

Plus anciennement encore, peut-être, au lieu d’écrire les nombres, on les figurait au moyen de jetons. Chaque jeton représentait une unité d'un certain ordre, dans le sens que nous avons donné à ce mot. Les jetons se disposaient sur une table ou abaque, portant des lignes parallèles ou colonnes. Sur la première colonne (en comptant les colonnes de la droite vers la gauche), on plaçait des jetons repré- ‘sentant chacun une unité simple ; sur-la seconde colonne, des jetons représentant chacun une dizaine; sur la troisième colonne, des jetons représentant chacun une centaine, etc... On avait ainsi une représentation des nombres, très analogue à la représentation décimale. La même table servait au calcul et son usage s’est conservé jusqu'au siècle dernier (‘). Le boulier des écoles et le sudn-pän chinois offrent une disposition analogue.

Dans l’écrilure cunéiforme, les Babyloniens notent les nombres de un à neuf par la répétition d'un même signe, puis les collections de dizaines par la répétition d’un même signe différent du premier, puis les collections de centaines, encore par la répétition d’un autre signe.

Dans les systèmes de cette nature s'introduisirent des abréviations qui en altérèrent la simplicité et le caractère systématique. A ce

type de numération, on peut rattacher la numération romaine, bien

connue du lecteur : cette numération, si on la bornait à l’emploi et à la répétition des signes I, X, C, M,.., pour représenter les unités, les dizaines, les centaines, les mille, serait une véritable numération décimale. C'est les abréviations qui la défigurent, et notamment celles qui se rapportent aux nombres comme IX, XIX, XC.,... voisins d’un nombre qui s’exprimerait par un symbole simple; ces abréviations rendent très pénibles tout calcul direct, effectué sur les nombres écrits. Les Égyptiens avaient un mode de numération analogue à celui des Babyloniens et comportant aussi des abréviations (?). Les Grecs de l’école d'Alexandrie introduisirent

1. Dans la première scène du Malade imaginaire, c'est avec des jetons qu'Argan fait ses

comptes. ;

2. Voici une particularité assez remarquable de leur façon de procéder dans les calculs : pour faire une multiplication, ils ne multipliaient jamais que par le nombre deux, et réunissaient ensuite les produits partiels : le lecteur se rendra aisément compte de la meilleure manière pour procéder ainsi en supposant le multiplicateur écrit dans le système binaire. (Voy. Ex. 8, 9.) La pratique de la division était fondée sur le même principe.

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une notation très systématique, qui consistait à représenter les neuf premiers nombres par les neuf premières lettres de l'alphabet, les neuf premières collections dé dizaines par les neuf lettres suivantes, les neuf premières collections de centaines par les dernières lettres de l'alphabet (complété par quelques autres caractères); pour les. mille, ils recommençaient à employer les neuf premières lettres, en plaçant un signe au-dessous ; ils comptaient ensuite par dizaines de mille ou myriades, puis par myriades de myriades, etc... Ils étaient en possession de tables de multiplication assez étendues.

Quant au système actuel de numération écrite, comportant l’emploi de neuf chiffres significatifs et du zéro, ainsi que la règle qui

concerne la valeur relative des chiffres, il fut introduit dans l'Inde à

une époque qui n’est pas bien déterminée, mais qui, toutefois, semble postérieure à l'ère chrétienne. L'invention de ce système est un fait capital dans l’histoire de la science et l'habitude que nous avons de la numération décimale ne doit pas nous empêcher d'admirer la merveilleuse simplicité de son mécanisme.

Les Arabes rapportèrent de l’Inde la numération décimale et les principales règles de calcul. Ge système pénétra ainsi dans l’Occident vers le xi° ou le xrr° siècle (!).

L'emploi des chiffres significatifs a précédé, dans l'Occident, l'usage du zéro. Leur première introduction est contemporaine de Gerbert (vers l'an 1000). Ils servaient alors à distinguer les jelons au moyen desquels on calculait. L'introduction du zéro n’eut lieu que deux cents ans plus tard ().

Exercices (°).

4. Combien y a-t-il de nombres différents ayant un nombre donné de chiffres, 5 chiffres par exemple? Combien y a-til de nombres différents n'ayant pas plus de 5 chiffres?

1. Les règles de calcul encore employées par les Hindous sont équivalentes aux nôtres, sans leur être identiques : la différence consiste surtout en ce que, calculant sur des tablettes recouvertes de sable fin, ils ne craignent pas d'effacer un chiffre déjà écrit pour le corriger. Gelte facilité leur permet, par exemple, de commencer la multiplication par les chiffres de gauche, en corrigeant ainsi, au fur et à mesure, les chiffres obtenus au produit : de cette façon les calculateurs hindous un peu exercés arrivent à écrire le produit de deux nombres d'autant de chiffres qu'on voudra, sans écrire comme nous les produits partiels du multiplicande par les divers chiffres du multiplica-

teur. (Voir un article de M. Delbos dans le Bulletin des Sciènces mathématiques, 2% série, t. XVI, :

p. 93.) 2. Je dois ces divers renseignements historiques à Paul Tannery, mon frèfe.

3. On rappelle, à propos des Exercices, ce qui a déjà été dit au début. Dans tous les exercices relatifs aux cinq premiers chapitres, le mot nombre est toujours pris dans le sens de nombre entier absolu. Les lettres représentent toujours de tels nombres, et s'il est question de solutions - d'une équation, on entend toujours parler de solutions en nombres naturels ou nuls. — Le numérotage des exercices se suivra d’un bout à l’autre du volume. l

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2. Un livre a 300 pages, Combien faut-il de caractères pour numéroter ces pages? Combien de fois emploie-t-on le caractère 0, le caractère 4, le caracère s,-etc?