Tout nombre peut s’écrire sous la forme

Lo +20 +2.a, + %.u, +... H9n. an,

les nombres @,, a, &,, ..., a, étant chacun égal à 0 ou à 4. Un nombre ne peut être écrit ainsi que d’une seule manière.

9. a étant un nombre donné plus grand que 1, tout nombre peut être mis, et

“cela d'une seule façon, sous la forme

Go—a.d—+a.d, +... HLan.an, Lo» Lys Le, +. An étant des nombres plus petits que a.

Ecrire ainsi un nombre, c’est, au fond, l'écrire dans le système de numération dont la base est a; si on imagine a chiffres représentant tous les nombres inférieurs à a, y compris 0, les nombres &,, «&,, ..., än doivent être pris parmi ces Chiffres, et le nombre 4, +a.a,,—+a*.a, +... an.an pourrait être écrit sous la forme än 4n—1 … 4, à, en supposant que chaque chiffre placé à gauche d’un autre représente des unités composées a fois plus fortes que ce dernier. Cette notation ne sera pas employée dans ces Leçons, d'autant qu'une notation pareille, avec un sens tout différent, a été introduite pour la multiplication.

Si l’on supposait que la base de la numération fût 2, la numération serait dite binaire.

10. n personnes reçoivent chacune un des numéros 0, 4, 2, …, n—1. Elles ont devant elles n objets portant aussi les numéros 0, 4, 2, ..., n—1; chacune doit choisir un de ces objets: elles ont à leur disposition des jetons et une corbeille. La personne qui a le numéro 0 mettra dans la corbeille un nombre de

jetons égal au numéro de l’objet qu’elle a choisi; celle qui a le numéro 1 mettra

dans la corbeille un nombre de jetons égal au produit de n par le numéro de l'objet qu'elle a choisi. En général, la personne qui a le numéro k et qu a choisi l'objet portant le numéro k mettra dans la corbeille un nombre de jetons

égal à n*Xh. On demande de dire, d’après le nombre de jetons qui se trou-

vent dans la corbeille, quel objet chaque personne a choisi. 41. On donne une suite infinie de nombres

d,;, gs ds, ...) Ans ……,

tous plus grands que 4; démontrer que tout nombre peutêtre mis, et ccla d’une seule façon, sous la forme X a, + Qu + Ga + Mails +. + das. Ann.

en désignant par Go, is As +. An des nombres tels que l’on ait | Ap <T Ap+1s

quel que soit l'indice p.

42 Onécrit la suite des nombres naturels sans les séparer: 12345678910111213... Quel est, dans cette suite, le 400 000ème chiffre ?

& 3. — Addition.

79. Je vais maintenant m'occuper de la pratique des opéralions fondamentales,-dont on a défini le sens et établi les propriétés fon- : damentales dans le chapitre précédent. 7

Le problème général est le suivant : 2 |

Les nombres sur lesquels on a à opérer étant écrits dans le système décimal, écrire le résultat de l'opération dans ce même système. ;

Pour l'addition, je distinguerai plusieurs cas: te |

4 Supposons qu'on ait à ajouter un nombre d'un seul chiffre à un nombre terminé par un 0. :

Soit par exemple à ajouter 7 à 340; le résultat s'obtient immédia-, tement, c'est 347, puisque ce dernier nombre (n° 76, p. 18), n'est autre chose que 340 + 7. |

11 suffit donc de remplacer le zéro du second nombre par le chiffre qui représente le premier. | |

% Supposons maintenant que les nombres à ajouter soient tous terminés parun 0.

Soit par exemple à ajouter 870, 9200, 350, 80, ou 87 dizaines, 920 dizaines, 33 dizaines, 8 dizaines ; la Somme sera (n° 42,p. 38)un

nombre de dizaines égal à la somme de 87, 920, 35, 8. Si l’on sait écrire la somme de ces derniers nombres, on lui fera représenter des dizaines en plaçant un zéro à sa droite.

Ainsi, pour ajouter des nombres qui sont tous terminés par un zéro, on peut supprimer ce zéro, ajouter les nombres que l'on obtient ainsi, puis placer un zéro à la droite du résultat. ee . 3° Plaçons-nous maintenant dans le cas général et soit à ajouter les quatre nombres 3872, 607, 8749, 1621. Je vais montrer comment on peut déterminer les chiffres des unités du total et ramener la

recherche des autres chiffres à un problème analogue au problème proposé, mais plus simple. On peut écrire les nombres donnés