L'équation

T+y—=AN,

où » est un nombre donné et x, y deux nombres inconnus, admet n + 1 systèmes distincts de solutions. Par exemple, si n est égal à 3, en a les quatre solu- PO Pen l Vie Q 2 y li 3 y 0,

20. On considère la suite des nombres 0, 14, 1, 2, 3, 5, 8, 43, 21, .…., obtenus de la façon suivante : les deux premiers termes sont les nombres 0, 4; chacun des suivants s'obtient en faisant la somme des deux termes qui le précèdent. Calculer les trente premiers termes de cette suite.

Cette suite reviendra souvent dans la série des exercices. On la désignera sous le nom de suite de l'exercice (20), et l’on en désignera habituellement les termes par %,, U, Us, ..., Un, .….; ON Suppose w, = 0, u, —1, u) —1,...,en sorte qu’elle est définie par l'égalité

Un +2 = Un+1i+ Un.

qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de n à partir de 0, et par les deux égalités | NEA I REX Lo

un est le (n + 1)ième terme de la suite.

La question actuelle est un simple exercice numérique : on demande de calculer U,, U,; Us, +, Uop-

24. Démontrer que, dans la suite qu'on vient de définir, la somme des premiers termes consécutifs, augmentée de 1, est égale au terme qui suit de deux rangs le terme auquel on s'est arrêté.

Je donne ici une démonstration de cette proposition, parce qu’elle fournit un exemple simple d’un procédé très souvent employé en mathématiques. On vérifie d'abord sur les premiers termes connus, 0, 1, 1, 2, 3, .…, l'exactitude du théorème; ainsi, la somme des deux premiers termes 0 et 1, augmentée de 1, est 2; la somme des trois premiers termes, augmentée de 1, est 3, et à la rigueur la première vérification suffit. Puis, admettant que la loi est vraie pour les n premiers termes de la suite, on démontre que, par cela mème, elle est vraie pour les n + 1"premiers termes; dès lors, étant vraie, comme on l'a vérifié, pour les deux premiers termes, elle est vraie pour les trois premiers, pour les quatre, cinq, .. premiers; elle est {oujours vraie.

Dans le cas actuel, admettons que le théorème énoncé soit vrai pour les n premiers termes de la suite, le terme auquel on s'arrête est alors un-1. Celui qui le suit de deux rangs est ur+1 et l'on a, par hypothèse :

- (4) Unti= Uo HU, + Us + … Uni +1;

il faut démontrer que cette égalité et la définition de la suite entrainent l'éga-

lité Un +2 = Us + u, + Us + .. + Un- 1 + un +1.

4. Une équation est une égalité indiquant certaines opéralions à faire sur un ou plusieurs nombres inconnus, représentés habituellement par les lettres x, y... L'égalité n’est vraie que pour certaines valeurs attribuées à ces lettres: un système de valeurs qui, atiribuées aux inconnues, vérifient l'équation est un système de solutions, ou plus brièvement une solution ; deux solutions sont distinctes si l’une des inconnues, au moins, ne se trouve pas avoir la même valeur dans ces deux

golutions.

C'est ce qui devient évident en ajoutant un aux deux termes de l'égalité (1) et en remarquant que le nombre un Æ Un+1 qui s'introduit dans le premier membre est égal à un+2, en vertu de la définition de la suite.

Ce procédé de démonstration est dit procédé d'induction.

22. On forme le triangle suivant, dit ériangle arithmétique de Pascal :

SES Oo + Co ND = o à

d'après la loi que voici : en dehors des nombres 1 qui remplissent la première colonne verticale et qui terminent chaque ligne horizontale, chaque nombre du triangle est égal à la somme du nombre qui est immédiatement au-dessus de lui et du nombre qui précède ce dernier, sur la même ligne horizontale. Si l’on numérote les lignes horizontales, en descendant, au moyen des numéros Gr 2 SAV et les lignes verticales, en allant de gauche à droite, au moyen

des mêmes numéros, si enfin on convient de représenter le nombre du triangle de Pascal qui est situé à la fois dans la ligne qui porte le numéro n et dans ta

colonne qui porte le numéro p, par le symbole C?, où il est bien entendu que le nombre p, placé en haut, êst un simple numéro d'ordre, non un exposant, la loi précédente peut s'exprimer par la formule Chi —C?*" + Cr - — Compléter le triangle jusqu’à la ligne qui porterait le ne 10.

23. Dans une ligne quelconque du triangle de Pascal, les termes à égale dis-

tance des extrêmes sont égaux. /

Dans chaque ligne horizontale, la somme des termes est double de la somme

des termes de la ligne horizontale précédente. La somme des termes de la ligne horizontale qui porte le n° n est “ERle à 2n. On peut donc écrire :

Ci Cut Ce + Ci,

Un nombre quelconque du triangle de Pascal est égal à la somme des termes placés au-dessus de lui dans la colonne verticale précédente.

Si l'on fait la somme des termes contenus dans une parallèle à l'hypoténuseé

du triangle, à partir de l'un des nombres 1 qui figurent à gauche, on trouve le nombre du triangle qui est immédiatement au-dessous descelui auquel on s’est

arrêté.

Dans une ligne quelconque du triangle de Pascal, la somme des termes de

rang impair est égale à la somme des termes de rang pair : dans la ligne qui porte le n° n, chacune des sammes cst égale à 271.

24. Dans la suite de l'exercice 20, il y à au moins quatre et au plus cinq termes

d’un nombre de chiffres donné plus grand que 1.

$ 4. — Soustraction.

83. On sait par cœur les résultats no . en ajoutant à l’un ee conque des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, T7, 8, 9, 10 un nombre d’un

chiffre, résultats qui sont tous - à 20 ; on en déduit immé-

diatement les différences obtenues en retranchant l’un des nombres

1, 2, 3, 4, ..., 10 d’un nombre d’un chiffre, ou d’un nombre de deux …

chiffres dans lequel le chiffre des dizaines est 1, lorsque cette diffc-

rence n’a qu'un chiffre ; ces résultats doivent être immédiatement

présents à la mémoire.

Ceci posé, deux nombres étant écrits dans Le système décimal, on reconnaît immédiatement par la règle du n° 72 (p. 76) quelest le plus grand.

Il est aisé de trouver le chiffre des unités du reste et de ramener

l'opération au cas où chacun des nombres donnés a un chiffre de

moins ; en procédant ainsi de proche en proche, on parvient au résultat.

1° Supposons que les deux nombres soient terminés par un zéro ; soient par exemple les nombres 720 et 640; la différence cherchée s'obtient en plaçant un zéro à la droite de la différence entre 72 et 64, qui est égale à 8. |

Cela résulte immédiatement de la règle analogue relative à l’addition, ou si l’on veut du théorème du n° 43 (p. 39).

2° Supposons maintenant que le chiffre des unités du plus grand nombre soit égal ou supérieur au chiffre des unités du plus petit.

Soit, par exemple, à faire la différence entre 1897 et 6323 : on a, en séparant les dizaines et les unités,

on est d’ailleurs assuré (n° 72, p. 76) que, dans le petit nombre, le nombre des dizaines est inférieur ou égal au nombre des dizaines du plus grand : on peut donc écrire (n° 22, p. 20).

La différence T — 3 s'effectue immédiatement ; elle n'a qu'un chiffre, elle est 4; le calcul de la différence entre 7890 et 6320 s’effectue en calculant la différence entre 789 et 632 et en plaçant un zéro à la droite; puisqu'on doit ajouter 4 au résultat, on voit qu'il suffira de calculer la différence entre 789 et 632, puis de placer un 4 à la droite du résultat; en d’autres termes, 4 est le chiffre des unités du reste cherché, et le nombre des dizaines de ce reste est 789— 632, On est donc ramené à calculer cette différence, sur laquelle on pourra raisonner de la même manière.

3° Supposons que le chiffre des unités du plus grand nombre soit plus petit que le chiffre des unités du plus petit. Le nombre des dizaines du plus grand nombre est nécessairement supérieur au

nombre des dizaines du plus petit.

Soit, par exemple, à retrancher 8727 de 9543; on aura encore 9543 — 9540 +35, 8727 — 8720 +71; puis, en ajoutant 10 aux deux nombres et en appliquant les Re sitions du n° 22,