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la différence 13 — 7 se calcule immédiatement, elle n’a qu'un chiffre:

elle est 6. On est donc ramené a effectuer la différence entre 9540 et

8730, ou entre 954 et 873; cette différence trouvée, on placera un 6 à sa droite, et on aura le résultat cherché; en d’autres termes 6 est le chiffre des unités du reste cherché, et le nombre des dizaines de ce reste est 954 — 873.

Les explications qui précèdent justifient la règle suivante.

84. Règle. — Pour retrancher un nombre b d'un nombre @, plus grand que b, on écrit le nombre b sous le nombre a de manière que les chiffres de b soient respectivement au-dessous des chiffres de a qui expriment des unités de même ordre; on tire un trait au-dessous de b; c’est sous ce trait qu'on écrira chiffre par chifire le reste de l'opération ; ces chiffres se placeront respectivement au-dessous des chiffres de b qui représentent des unités du même ordre. On commence l’opération par la droite : on retranche, s’il est possible, le chiffre des unités simples de b du chiffre des unités simples de a, le résultat est le chiffre des unités simples du reste; si le chiffre des unités simples de b est plus fort que le chiffre des unités simples de a, on ajoute 10 à ce dernier chiffre, et l’on fait ensuite la soustraction;

la différence est le chiffre des unités simples dureste et l’on ajoute 1 R

au chiffre des dizaines de b. Du chiffre des dizaines de a,on retranche, s’il est possible, le chiffre des dizaines de b (augmenté de 1 dans le dernier cas) : le résultat est le chiffre des dizaines du reste: si la soustraction est impossible, on augmente de 10 le chiffre des dizaines de a et l’on fait la soustraction, le résultat est le chiffre des dizaines du reste et l’on augmente alors d’une unité le chiffre

des centaines de b; du chiffre des centaines de a, on retranche, sil

est possible, le chiffre des centaines de b (augmenté de 1 dans le second cas); le résultat est le chiffre des centaines du reste ; si la soustraction est impossible, on augmente de 10 le chiffre des centaincs de a, on fait la soustraction, et le résultat est le chiffre des centaines du reste; on augmente alors d'une unité le chiffre des mille de b, etc. On continue de la même façon jusqu’à ce qu'on ait épuisé tous les chiffres de b; quand on a retranché Ie dernier chiffre

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de b, on place à gauche de la partie écrite au reste le nombre formé par les chiffres (à gauche) non employés dans a, tel quel si la dernière soustraction partielle a été directe, et diminué de 1 si, pour la faire, il a fallu augmenter de 10 le chiffre de a qui correspond au chiffre des plus hautes unités de b.

Soit, par exemple, à retrancher 749752 de 58634564 ; on dispose l'opération comme ci-dessous

et l’on dit « 2 ôté de 4, il reste 2 ; 5 ôté de 6, il reste 1; 7 ôté de 15, il reste 8 et je retiens 1; 9 et 1 font 10; 10 ôté de 14, il reste 4 et je retiens 1; 4 et 1 font 5; 5 ôté de 13, il reste 8 et je retiens 1; Tet1 font 8; 8 ôté de 16, il reste 8 et je retiens 1; 1 ôté de 58 il reste 57 ».

Il est à peine utile de dire que la preuve de la soustraction se fait en constatant que le plus grand nombre est la somme du plus petit et du reste.

Au reste beaucoup de personnes pratiquent la soustraction en opérant en quelque sorte comme si elles faisaient la preuve : le mode de langage suivant correspond à cette façon d'opérer : « 2 et 2 (qu'on écrit) font 4; 5 et 1 (qu'on écrit) font 6; 7 et 8 (qu'on écrit) font 15; 10 et 4 (qu’on écrit) font 14; 5 et 8 (qu'on écrit) font 13; 8 et 8 (qu'on écrit) font 16; 1 et 57 (qu’on écrit) font 58 ».

Exercices.

25. Pour retrancher un nombre a d’un autre nombre b, on peut procéder comme il suit : soit Aür une puissance de 10 qui soit supérieure à a, on forme d’abord la différence 407 — a qu’on appelle souvent complément de a à 107. Il suffit pour cela d'écrire un nombre a’ ayant autant de chiffres que a et dont chaque chiffre, dans le cas où le dernier chiffre de a n’est pas un 0, est le complément à 9 du chiffre de même rang dans a, sauf le dernier chiffre qui est le complément à 10. On fait ensuite la somme a’+6 et l'on en retranche 107.

Par exemple : a— 561803, = 7854321, a!'— 432197, b—Ha'— 8286518, b—a— 7286518.

26. La méthode précédente s'applique en particulier quand on a à faire à la fois des additions et des soustractions : on choisit une puissance de 10 supérieure à tous les nombres qu'il faut retrancher, soit 10%; on forme le complément de chacun de ces nombres à 102: on ajoute tous ces compléments aux nombres à ajouter, ce qui se fait en une fois; on retranche du résultat autant de fois 407 qu'il y avait de nombres à retrancher.

Exemple : Calculer a— b + c — d, en supposant

En posant b'—10% — b — 378488, d'— 10° — d — 912775, on trouve a+ bob d'—1#9— 15068,