Combien l'équation
EPA
a-t-elle de solutions distinctes, pour lesquelles x et y soient inférieurs à 4007
28 On considère n nombres @,, @, .…., @4,, tels que chacun d’eux soit plus
grand que le suivant; on forme les nombres | D == 0, b, —4@;— 4%, b,= à, — a, +@, b,=4a,— 4, La, —0;,
et ainsi de suite, jusqu'au nombre On, obtenu en ajoutant ar au précédent, ou
en retranchant an, suivant que n est impair ou pair. Démontrer que chacun des nombres 6,, b., b3, .…, bn est Compris entre les deux qui le précèdent : démon-
trer que l’on a
et que chacun des nombres b affecté d’un indice pair est plus petit que chacun des nombres b affecté d'un indice impair.
29. Le double de la somme des n premiers nombres 1, 2, 3, .…., n est égal à
n in +1).
La somme des » premiers nombres impairs est égale à n°.
20. Si dans la suite de l'exercice 20 (p. 89), on fait la somme de tous les termes de deux en deux à partir de 0 en s'arrètant à un certain terme, et qu’on retranche. du résultat la somme de tous les termes que l’on a sautés, on trouvera le terme
qui précède celui auquel on s’est arrêté, diminué de 1. Par exemple : OLIS ES +HAU—1—2—5—15—12—15—1.
De même, sion faisait la somme des termes 1, 2, 5, 13, ..., pris dans la suite de deux en deux, à partir de 1, et en s'arrêlant à un certain terme, et quon en retranchât les termes que l’on a sautés, on trouverait le terme qui précède celui auquel on s’est arrêté, augmenté de 1; par exemple : = 7
34. Avec 8 poids pesant respectivement 18,.0:27;:81 243, 729, 2187 grammes
on peut peser à À gramme près, en mettant au besoin des poids dans les deux
platéaux de la balance, tout corps dont le poids ne dépasse pas 3280 grammes.
32. Tout nombre autre que 1 est ou bien une puissance de 3, ou bien une puissance de 3 augmentée ou diminuée de 1, ou bien une somme algébrique de puissances de 3 toutes distinctes, ou bien une pareille somme augmentée ou
diminuée de f.
Bb, > b,>0bs, ss Dei ne ER PTE) J
33. Trois personnes rangées dans un ordre déterminé ont à choisir chacune
une des couleurs bleu, blanc, rouge. Elles ont devant elles une soucoupe contenant 10 jetons; elles ont en outre des jetons dans leurs poches. La personne qui a choisi le bleu, quelle qu’elle soit, ne touchera pas aux jetons de la soucoupe. Celle qui a choisi le blanc mettra dans la soucoupe 1, 3 ou 9 jetons suivant qu’elle est la première, la seconde ou la troisième; celle qui a choisi la rouge
enlève de la soucoupe 4, 3 ou 9 jetons suivant qu’elle estla première, la seconde.
ou la troisième. On demande de dire, d’après le nombre de jetons qui restent dans la soucoupe, quelle couleur a choisie chaque personne.
$ 5. — Multiplication.
85. Quand on se donne le multiplicande et le multiplicateur, on : n’a, d'après la définition de la multiplication, qu’à effectuer l'addition Ê d'autant de nombres égaux au multiplicande qu’il ÿ a d'unités dans
le multiplicateur : en raison de l'égalité des nombres à ajouter, l'opération peut être abrégée notablement; ces abréviations sont fondées sur les divers théorèmes qu'on a établis dans le précédent chapitre. |
Pour en donner tout de suite un exemple, considérons le cas où l’on a à multiplier un nombre par un autre formé de l'unité suivie de . plusieurs zéros.
Soit, par exemple, à multiplier 272 par 1000. On devrait, d'après la définition, faire l'addition de mille nombres égaux à 272; mais, puisque, dans un produit, on peut intervertir l'ordre des facteurs, on parviendra au résultat en multipliant 1000 par 272, ou en ajoutant 272 nombres égaux à 1000, c’est-à-dire à une unité composée du 3° ordre; le résultat est évident : c’est 272 unités composées du 3° ordre, ou 272000 d’aprèsles règles de la numération écrite. Ainsi: pour faire le produit de deux nombres dont l’un est formé de l'unité suivie d’un certain nombre de zéros, il suffit de placer ces zéros à la droite de l'autre. |
86. IL est souvent utile de former une table des neuf premiers multiples d’un nombre donné, c’est-à-dire des résultats que l’on obtient en le multipliant par 1, 2, 3, 4, 5, 6, T, 8, 9. C'est la définition même de la multiplication qu'il convient alors d'appliquer.
Soit, par exemple, à former les neuf premiers multiples de 98756 : On écrit sur une colonne verticale les nombres 1, 2,
3, 9; en face de 1 on écrit le nombre 98756; on 1 98 756 J'ajoute à lui-même et l’on écrit le résultat en face 2 | 197512 du nombre 2; ce qui donne 197512; on ajoute les 3 | 296 268 deux nombres 98756,197512, ce qui revient à ajouter 4 | 595 024 trois nombres égaux à 98756, et l’on obtient ainsi le Q 495 780 produit 296268 de 98756 par 3; on écrit ce produit en 6 | 592536 face du nombre 8 ; on ajoute ensuite 98756 au der- T | 691292 nier nombre trouvé; cela revient à ajouter 4 nombres 8 | 190 048
égaux à 98756 ; Le résultat de l’addition est 395024 ; c'est le produit de 98756 par 4, on l'écrit en face du 987 560. nombre #; on continue ainsi jusqu'à ce que l'on ait formé le produit de 98156 par 9. Chaque résultat a été obtenu en faisant l'addition de deux nombres ; si l’on continuait en ajoutant encore 98756 au dernier nombre trouvé, à savoir 888804, on devrait trouver le produit de 98756 par 10 ou 987560, en vertu du précédent théorème. On a là une vérification facile, qu'il ne faut pas négliger. 87. On ne procède pas autrement pour former la fable de multiplication qui donne les produits dechacun des nombres1,2,3,4,5,6,7,8,9
par chacun de ces nombres. Sur une première ligne horizontale. on
écrit ces nombres; sur une seconde ligne, au-dessous, les résultats
obtenus en ajoutant chacun de ces nombres à lui-même; sur une troi-
sième ligne, les résultats obtenus en ajoutant à chacun des nombres de la seconde le nombre écrit au-dessus dans la première ; sut une quatrième ligne, les nombres obtenus en ajoutant à chacun des nombres de la troisième le nombre situé au-dessus dans la première, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on ait écrit la neuvième ligne. On formera ainsi le tableau suivant :
Ce tableau étant formé, si l’on veut avoir, par exemple, le produit de 7 par 6, on cherchera dans la première ligne horizontale le nombre 7; on cherchera ensuite la 6îème ligne horizontale, c’est
celle qui commence par un 6 : le nombre qui se trouve dans cette
ligne horizontale à l'intersection avec la colonne verticale qui commence par un : est le produit cherché, 42. :
On observera que les nombres contenus dans ce tableau se repro- : duisent symétriquement parrapport à la diagonale du carré qui va de la première case (en haut et à gauche) à la dernière (en bas et à
droite). C'est la traduction de ce fait que dans un produit de deux facteurs, on peut, sans changer le produit, intervertir l’ordre des
facteurs. La diagonale dont je viens de parler contient les carrés des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9 (1).
Les résultats de cette table doivent être sus par cœur.
88. Quant à ce qui concerne la façon pratique d'effectuer une multiplication de deux nombres, je distinguerai quatre cas.
1° Les deux facteurs n’ont qu’un chiffre.
Le résultat, qui se trouverait dans la table de multiplication, s'écrit immédiatement.
2° L'un des facteurs, que l’on prendra comme multiplicateur, n’a qu'un chiffre ; l’autre en a plusieurs.
Soit, par exemple, à multiplier 89023 par 4: on procède absolument comme si l'on additionnait 4 nombres égaux à 89093 ; mais on fait tout d’un coup les sommes des chiffres contenus dans chaque colonne, ce qui revient à multi- 89023 phier lun d'eux par 4, et l'on n’ajoute la retenue 89023 qu'après avoir fait cette multiplication; ainsi,commen- 89023 çant par la droite, au lieu de dire « 3 et 3 font 6, et 3 $9028 font 9, et 3 font 12 », on dit « 4 fois 3 font 19, je pose2 3560992; et je reuens 1 »; puis «4 fois 2 font 8, 8 et 1 font 9; je pose 9; 4 fois 0 font 0; je pose 0 ; 4 fois 9 font 36, je pose 6 et je retiens 5; 4 fois 8 font 32, 32 et 3 font 35; je pose 5 et j’avance 3 ». Le produit est 356092.
Règle. — Pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un chiffre, on écrit les deux nombres l’un au-dessous de l'autre; on place d'ordinaire le multiplicateur sous le chiffre des unités du multplicande ; on tire un trait sous les deux nombres ; c'est sous ce trait que l'on écrira le produit, chiffre par chiffre. On multiplie par le multiplicateur le chiffre des unités du multiplicande, et l’on écrit le chiffre des unités du produit partiel ; c’est le chiffre des unités du produit cherché; on retient les dizaines s’il yena; on mulüplie le chiffre des dizaines du multiplicande par le multiphcateur et lon ajoute la retenue, s’il y en a; le chiffre des unités du résultat est le chiffre des dizaines du produit ; on l'écrit et l’on relient les dizaines du résultat; on continue ainsi jusqu’à ce qu'on ait épuisé tous les chiffres du multiplicande.
1. [ est clair qu'on peut construire des tables de multiplication s'étendant aussi loin qu'on le veut; mais la disposition qu'on vient de décrire devient impraticable si la table à une grande extension, {1 existe des tables de multiplication, dues à Crelle, qui donnent les produits de chaque nombre de trois chiffres par chaque nombre de trois chiffres. Ces tables sont très précieuses pour abréger les calculs numériques.
M. Monilaur a publié récemment des tables de cetle nature qui sont commodément disposées. (Imprimerie Oberthur.)
8 l : LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE-
8° Le multiplicateur est formé d’un chiffre suivi de plusieurs
Zéros.
Soit à multiplier 89093 par 4000; 4000 est égal à 4 >< 1000; pour multiplier 89093 par 4000, on peut 16 multiplier successive par 4, puis par 1000; la dernière multiplication se fera en mettant trois zéros à droite du produit 89028 >< 4 effectué ; le résultat est 3256092000.
4° Le multiplicande et le multiplicateur sont quelconques.
Je supposerai d’abord que ni l’un ni l’autre ne soient terminés par des zéros. Soit, par exemple, à multiplier 98756 par 823. Le multiplicateur 893 est égal à 800 + 20 +3; on multipliera 98156 par 3, 20, 800 et l’on ajoutera les résultats (n° 42, p. 58). On est ramené aux cas précédents.
On disposera l'opération comme il suit :
On écrit d'abord le multiplicande, puis au-dessous le multiphcateur; on tire un trait :
Sous le trait, on écrit les produits du multiplicande
98756 g93 Par 3, 20, 800, les uns sous les autres, de manière — que les chiffres représentant les unités du même 296268 ordre soient dans une même colonne verticale. Ces
1975120. produits sont les produits partiels. On se dispense | 19004800 ‘habituellement d'écrire un, deux, …, zéros à la suite.
81276188. du second, du troisième... produit partiel, mais on
a soin de mettre les chiffres à la même place que.
si ces zéros étaient écrits. Puis on fait la somme des produits partiels; c’est le produit cherché, qui est ici 81276188. — Si l'un des chiffres du multiplicateur était un 0, on serait amené à écrire une ligne de zéros parmi les produits partiels; on s’en dispense, à la ho de placer les chiffres du produit partiel suivant comme si cette ligne de zéros était écrite.
Rien n’empêcherait, à la rigueur, de suivre la même marche si les facteurs étaient terminés par des zéros; mais il est commode de procéder comme il suit.
Soit à multiplier 98756000 par 8230000 ; les deux nombres peuvent s’écrire
leur produit (n° 49, p. 46) est égal au produit de 98756 < 823 par 1000 >< 10000 ou 10000000 ; après avoir effectué le premier produit,
on placera à la droite sept zéros, autant qu’il y en avait, en tout, Ps
dans le multiplicande et le multiplicateur.
Le résultat serait ici :
89. Règle. — Pour multiplier deux nombres de plusieurs chiffres, on supprime les zéros placés à la droite de ces nombres, s’il yena, et l’on écrit le multiplicande, puis, au-dessous, le multiplicateur ; on choisit habituellement pour ce dernier le nombre qui a le moins de chiffres. Sous le multiplicateur on tire un trait. On multiplie successivement le multiplicande par les chiffres du multiplicateur, en allant de droite à gauche. On écrit chaque produit partiel sous le précédent, en reculant d’un rang vers la gauche, c’est-à-dire que l’on place le chiffre des unités de chaque produit partiel sous le chiffre des dizaines du produit partiel qui précède, le chiffre des dizaines sous le chiffre des centaines, etc... S'il se rencontre un zéro au multiplicateur, on n’en tient compte que pour reculer de deux rangs vers
la gauche le produit partiel suivant; s’il y avait deux zéros consé-
cutfs au multiplicateur, on en tiendrait compte pour reculer de trois rangs vers la gauche le produit parüel suivant, etc. Quand on a écrit tous les produits partiels, on tire un trait audessous, et on les ajoute : la somme est le produit cherché. Si l’on a supprimé des zéros, tant au multiplicande qu'au multiplicateur,
on les replace tous à la droite du produit.
On peut faire la preuve de l'opération en échangeant le multiplicande et le multiplicateur. |
Si l’on a trois nombres à multiplier, on effectue le produit des deux premiers, et l’on multiplie le résultat par le troisième.
99. Les opérations d’addition et de mulüplication donnent lieu à quelques remarques qui nous seront utiles plus tard.
Pour ce qui est de l'addition, mentionnons la proposition suivante :
Lorsque l’on a n nombres à ajouter et qu’on applique la règle du n° 80 (p. 85), la retenue provenant de l'addition des chiffres d’une colonne et de la retenue antérieure ne peut dépasser n — 1.
Supposons, par exemple, que l’on ajoute T nombres; les chiffres qui sont contenus dans la colonne des unités sont au plus des 9, leur somme est au plus égale à 7 fois 9 ou T fois 10 — 1, c’est-à-dire 70 — 7; la retenue, dans ce cas, sera égale à 6; quels que soient les chiffres contenus dans la colonne des unités, elle sera inférieure ou égale à 6. Dans la colonne suivante, si même tous les chiffres étaient des 9, la somme de ces chiffres augmentée de la retenue supposée égale à 6 serait égale à 70 —7 + 6—170—1; Ia retenue
PR
sera donc au plus égale à 6. Le raisonnement se continue évidemment. :
Cette remarque peut servir si l’on n’a besoin que des premiers chiffres de gauche dans le résultat d’une addition. Supposons, par exemple, qu'on ait à faire l'addition suivante : | en négligeant dans chacun des nombres les trois der-
pee niers chiffres, on trouvera 2898 mille; ce serait le 104 DU nombre de mille contenus dans le total s’il n'y avait , pas de retenue provenant des chiffres négligés; cette
retenue ne peut excéder 3 mille : le nombre de mille du résultat est donc 2828 ou 2831 ou un nombre intermédiaire; le nombre de centaines de mille est certainement 28.
