Occupons-nous maintenant de la multiplication

Supposons que le multiplicande a ait n chiffres et que le mulüplicateur b en ait p; ce dernier est plus petit que 10° et au moins égal x107-"; le produit sera plus petit que a x 10° et au moins égal à a ><10°-"; ces deux derniers produits s’obtiennent en plaçant p où p — 1 zéros à la droite du nombre a; on obtient ainsi des nombres de n +p ou de n+p—1 chiffres. Le produit, compris entre ces deux nombres, a n +p ou n+p—1 chiffres.

92. Supposons qu'on augmente le multiplicande a d’une unité; le

produit deviendra (a+1)b=ab+b; il sera augmenté du multi-

plicateur. |

Sur quels chiffres du produit porte cette modification?

Imaginons qu'on ait écrit l’un sous l’autre les deux nombres ab, b pour en faire la somme; si l’on désigne encore par p le nombre de chiffres de b, les p derniers chiffres du produit ab auront sous eux les chiffres de b et seront en général modifiés par l'addition; le premier des chiffres de ab qui n’a rien au-dessous de lui pourra être augmenté d’une unité, si l'addition précédente comporte une retenue. Si donc dans les deux produits ab, (a+ 1) b on supprime les p derniers chiffres, le second des nombres ainsi obtenus sera égal

ou supérieur d’une unité au premier. En général, le dernier chiffre .

seul sera différent; pourtant si ce dernier chiffre était un 9 dans le

nombre provenant de ab, l’addition d'une unité aurait sa réper- P P

cussion sur le chiffre précédent, et même sur plusieurs des chiffres précédents, si ceux-ci étaient aussi des 9.

Supposons maintenant que l'on augmente d’une unité les deux. facteurs a, b et comparons de la même façon les deux produits ab,

(a +1) (b +1). Désignons toujours par n et p les nombres de chiffres de a et de b; supposons enfin x Zp. Pour former le second

produit, il suffira d'appliquer deux fois la règle précédente; on déduira d’abord (& +1) b de ab en lui ajoutant b; puis (a +1)(b +1) de (a +1) en lui ajoutant a +1. On reconnaît aisément, en s’appuyant sur le résultat précédent, que, si dans les nombres ab et (a + 1) (b +1) on supprime les p derniers chiffres, les deux nombres restants seront égaux, ou bien le second sera supérieur au premier d’une ou même de deux unités.

93. Multiplication abrégée. — Quand on a deux nombres un peu grands à multiplier l’un par l’autre, il arrive fréquemment, dans la pratique, qu’on n’ait besoin que des premiers chiffres du produit, les autres pouvant être simplement remplacés par des zéros qui indiquent seulement la valeur relative des chiffres que l’on conserve. S'il en est ainsi, il suffit d’un peu d'attention pour reconnaître que, en appliquant alors la règle du n° 89 (p. 99), on fait beaucoup de calculs inutiles : on peut les éviter en employant le procédé dit de la multiplication abrégée.

Supposons, par exemple, qu'on ait à multiplier le nombre a — 4532169 par le nombre b — 3141592 ; le multiplicateur a ici 7 chiffres ; je désignerai en général ce nombre de chiffres par p. La multiplication, faite comme d'habitude, est figurée ci-dessous :

On va montrer comment on peut simplifier 4532169 tant l'addition finale que le calcul des produits 3141592 partiels, lorsque, par exemple, on ne se préoc- 9064338 cupe pas des nombres inférieurs à une unité 40789521 composée du cinquième ordre. 22660845

Désignons par P le nombre de centaines de 4532169 mille, par exemple, contenues dans le produit et 18128676 par A,, As, .…, À, les nombres de centaines de 4532169 mille contenues dans les produits partiels. Il 13596507

résulte de la remarque faite au n° 90 que P sera égal à la somme A, + A, +... + À, augmentée d'un nombre au plus égal à 6 — p — 1. Cette remarque permettrait de simplifier l'addition des produits partiels, si l’on ne voulait que les premiers chiffres du produit; mais il convient de simplifier aussi le calcul des produits partiels. Le premier s'obtient en multipliant a par le chiffre 2 des unités du multiplicateur, c’est-à-dire en ajoutant deux nombres égaux à a; si dans ces deux nombres on supprimait les cinq derniers chiffres de droite, on trouverait comme somme un nombre A!, inférieur ou égal à A,, la différence serait d’ailleurs, toujours pour la même raison, au plus égale à 2 — 1. D'ailleurs A! n’est autre chose que le produit de 45 par 2. Le second produit partiel s'obtient en multipliant a — 4532169 par 90 ou 45321690 par 9, ce qui revient à ajouter neuf nombres égaux à 45321690; si dans les neuf nombres on supprimait encore les cinq derniers chiffres, on trouverait comme somme un nombre A! inférieur ou égal à A;, la différence serait au plus égale à

9 — 1; A! est d’ailleurs le produit de 453 par 9; on voit de même que, en désignant par A;, A{, A4, A, A;, les produits respectifs de 4532 par 5, 45321 par 1, 453216 par 4, 4532169 par 1, 45321690 par 3, les nombres A3, Aï, A, A%, A? seront inférieurs ou égaux aux nombres A,, A,, As, As, A,, les différences respectives étant au plus égales aux chiffres employés comme multiplicateurs, diminués d’une unité, c'est-à-dire au plus égales à 5—1,1—1,4—1,1—1,3—1; par conséquent le nombre

Pi AU 4 A) DAT Al ER AI sera inférieur ou égal au nombre A; A; As A+ AH AG A, et la différence sera au plus égale à D 41 49-1154 CI 4 LE Lie

c'est-à-dire au plus égale à la somme S des chiffres du multiplicateur diminuée du nombre » de ces chiffres.

D'ailleurs P s’obtient en ajoutant à A, + A, + ... + un nombre au

plus égal à p — 1; donc P pourra An en ajoutant à P’ un nombre au plus égal à

Ce nombre S — 1, dans la pratique, est habituellement inférieur à 100; il en sera certainement ainsi si le multiplicateur n’a pas douze chiffres. Si donc dans P et dans P' on supprime les deux derniers chiffres de droite, les deux nombres ainsi obtenus (qui, dans le cas actuel, représenteront des unités composées du 7° ordre), différeront au plus d’une unité.

Les raisonnements qui précèdent suffisent à justifier la règle que voici :

Supposons qu’on ne veuille conserver au produit que les chiffres représentant des unités composées d’ordre £ 4-2, au moins. On écrira le multiplicande, puis, au-dessous, le multiplicateur renversé, en plaçant le chifire des unités simples sous le chiffre du multiplicande (complété au besoin par des zéros placés à sa gauche) qui représenterait des unités composées d'ordre k.

Pour effectuer chaque produit partiel, on négligera au A les

chiffres placés à droite de la colonne verticale qui contient le chiffre du multiplicateur que l’on emploie : chaque produit partiel ainsi obtenu représente des unités d'ordre 4; on les disposera donc les uns au-dessous des autres de façon que leurs derniers chiffres de droite soient dans une même colonne verticale. On en fera la somme, qui représente aussi des unités d'ordre &. On supprime les deux derniers chiffres, et le nombre ainsi

es

tant 25 au nombre précédent on n’altère pas le

een PCA RUE — ét * 2 HS CES Ent à !

MULTIPLICATION. 103 obtenu, qui représente des unités d'ordre k + 2, 4532169 est égal au nombre d'unités d'ordre À + 2 du 2951413. produit cherché, ou lui est inférieur d’une unité. 90 Dans le cas choisi comme exemple, on dispose 077 les calculs comme il suit : 22660 Le résultat brut représenterait des centaines 15321 de mille, il diffère du nombre de centaines de 1812864 mille du produit cherché d’un nombre inférieur 4532169

à 3+1+48HI1+5+9—+2 ou à 25; en ajou- 1335965070 chiffre des centaines : on est donc certain ici que 12288245 1 1423822 est exactement le nombre de dizaines de

millions du produit, tandis que l'application de la règle

45321 jijisserait un doute sur le dernier chiffre. On voit que le

Sales stat calcul de la somme des chiffres du multiplicateur peut

2 0 être utile.

45 Il est à peine utile de dire qu’on se dispense d'écrire 1812 les produits partiels qui seraient manifestement nuls. 4532 Je laïsse au lecteur le soin de reconnaitre que si, dans

1359063 le produit des deux nombres précédents, on voulait con- 12372 server seulement les unités du dixième ordre, il y aurait

lieu, en se dispensant d'écrire les chiffres qui ne servent pas, d'adopter la disposition ci-contre.

1423 est le nombre d'unités du 10° ordre du produit.

Exercices.

34. Combien y a-t-il de minutes et de secondes dans un jour, dans une semaine, dans une année ordinaire, dans une année bissextile, dans un siècle ?

35. Quel est le carré de 4100000001, de 9999999? Quel est le produit de 9999999 par 40000001? Quel est le produit de 9 par la somme des nombres 1, 10, 10°, + 107?

36. On dit à une personne d'écrire trois nombres de cinq chiffres, en annonçant que l’on écrira trois autres nombres, pour former le total 299997. — Il suffit de placer au-dessous de chacun des nombres écrits, des nombres dont les chiffres soientles compléments à 9 des chiffres écrits au-dessus. Le total sera 99999 3.

37. Le carré d’un nombre et le carré de son dernier chiffre sont terminés par le même chiffre. — Le carré d’un nombre ne peut être terminé par l'un des chiffres 2, 3, 7, 8.

38. Séparer les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 en deux groupes tels que la différence entre les produits obtenus en multipliant les nombres qui figurent dans chaque groupe soit égale à 1.

39. On dit que des nombres forment une progression géométrique si chacun d'eux peut s'obtenir en multipliant le précédent par un même nombre, qui s'appelle raison de la progression géométrique. Ainsi les nombres 7, 14, 28, 56, 112 forment une progression géométrique, dont la raison est 2; les nombres 4, 10, 400, 4000, 10000 forment une progression géométrique dont la raison est 10.

Démontrer que dans une progression géométrique le produit de deux termes à égale distance des extrêmes est toujours le même.

40. Dans une progression géométrique de nr termes, le carré du produit de tous les termes est égal à la puissance nième du produit des termes extrêmes.

4. Si l'on multiplie tous les termes d’une progression géométrique par la raison, on a une nouvelle progression géométrique dont tous les termes figurent dans la précédente, sauf le dernier. De la somme des termes de la seconde progression on retranche la somme des termes de la première : quelle sera la différence ? l

Soient a, b le premier et le dernier terme d’une progression géométrique, g Sa raison, S la somme de ses termes, démontrer que l’on a

S(q —1) = dgq — a.

42. Les candidats, pour un concours, ont deux compositions à faire : chaque composition est notée de 0 à 20; la note de la première est multipliée par 7, la note de la seconde est multipliée par 3, et l’on fait la somme des résultats. Construire une table carrée donnant toutes les sommes possibles, de manière qu’en inscrivant au-dessus de la première ligne horizontale les nombres 0, 1, 2,

… 20 et ces mêmes nombres en face de la première colonne verticale de gauche, on trouve à l'intersection des rangées verticale et horizontale qui contiennent respectivement, en tête ou à gauche, deux notes quelconques, la somme de ces deux notes respectivement multipliées par 7 et par 3. — Les rmombres compris dans une même parallèle à l’une des diagonales du carré “ont en progression arithmétique.

43. Etant donnés deux nombres a, b, comment formerait-on une table donnant les diverses valeurs que prend l'expression ax + by quand on y remplace successivement x par les nombres 0,14, 2, ..., n et y par les nombres 0, 1, 2,

, n? Ces valeurs, qui sont au nombre de (n +1), peuvent être disposées -dans les (n + 1}° cases d’un carré, de façon que, en inscrivant au-dessus de la première ligne les valeurs 0,1, 2, .…., n attribuées à +, à gauche de la première colonne les valeurs 0, 1, 2, .….,n attribuées à y, on trouve la valeur de ax + by à l'intersection de la colonne verticale qui porte en haut le nombre x, et de la ligne horizontale qui porte à gauche le nombre y.

Le double de la somme des nombres inscrits dans les (n +1} cases du carré est égal à n (nr + 1)* (a +b).

44. Sur 7 nombres, on connaît le premier qui est 42, et l’on sait pour les autres que chacun s'obtient en doublant le précédent: quels sont ces 7 nombres?

45. 9 nombres correspondent aux numéros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. On sait que le premier de ces nombres est 10 et que chacun des autres s'obtient en multipliant par le numéro auquel il correspond celui qui correspond au numéro inférieur : quels sont ces neuf nombres?

46. u,, U,, Us. ... Un-1, Un étant des nombres inconnus sauf le premier w,. êt &,, Ge, -…., Un des nombres connus, On sait que l’on a uw, — GPUTTS = au set; en général, pour toutes les valeurs de p depuis 1 jusqu’à 7,

Up CPL démontrer que l'on à | Un = Uguie .. Gn (1):

4T. Us, Us, Us, -., Un—1, Un étant des nombres inconnus sauf le premier, on sait que l’on a u, = U +1, Re 2, u,— 3u,+ 1.2.5,

4, L'expression 4; @o... an représente le produit de fous les nombres a,, a... jusqu'à a, — On aura souvent à écrire dans ce qui suit le produit des p premiers nombres, qu'on représentera de même par 1.2.3... D.

et, en général, Up = Pup-1 + 1.2.3... p.

Démontrer que l’on a Un = (un) X1.2%3...n

48. Étant donnés deux objets a, b, on peut les ranger de'‘deux manières «a et b, b et a; étant donné un troisième objet c, on peut le placer avant a et b, entre a et b, après a et b, ou bien avant b et a, entre b et a ou après b et a; on a ainsi 6 manières de ranger trois objets : cab, acb, abc, cha, bca, bac. Démontrer qu'il y a 24 manières de ranger 4 objets a, b, c, d, et en général que, étant donnés n objets distincts, le nombre de manières différentes de ranger ces objets est égal au produit des n premiers nombres consécutifs, ou à 1.2.3. Ainsi, étant donnés dix soldats, on peut les ranger sur une ligne de 3628800 manières différentes.

49. On considère une table de multiplication donnant les produits de deux nombres quelconques égaux ou inférieurs à a. Démontrer que la somme S de tous les nombres qu'elle contient est égale au carré de la somme des a premiers nombres 1,2,...,a. On a donc (Ex. 29. p. 94) :

50. Dans une pareille table, la somme des termes qui se trouvent dans la dernière colonne de droite et dans la dernière ligne horizontale, est égale à a*. En conclure que S est la somme des cubes des a premiers nombres.

54. On écrit sur une ligne les nombres 1, 2, 3, ., n; au-dessous les nombres 2,3, 4, .…, n +1; au-dessous les nombres 3, 4, 5, …, n 49, et ainsi de suite; dans une dernière ligne les nombres n,n+1,n—+2,...,n<1n— 1, Démontrer que la somme de tous les nombres écrits est égale à n°.

52. Dans le carré dont on vient d’expliquer la formation, la somme des nombres qui se trouvent dans la dernière colonne de droite et dans la ligne horizontale du bas est égale à 3 n°—3n<+1. En conclure que six fois la somme des carrés des n premiers nombres 1, 2, ..., n est égal à n (n + 1) (2n +1).

53. Étant donnés les nombres n,, n,, …., np, pris parmi les nombres 4, 2, 3,

., 9, combien peut-on former de nombres différents de p chiffres dans lesquels le premier chiffre est l'un des nombres 1, 2, 3, .., n,;: le second, un des chiffres 1, 2, 3, …, n,: le troisième, un des Chiffres 1,2 DES Mi , le p° chiffre un des nombres 1, 2, 3, .…, n1? Conclure du résultat que le produit de p facteurs, tous inférieurs à 10, est indépendant de l'ordre de ces facteurs. Généraliser ce mode de démonstration. — On observera qu’elle ne suppose pas que les nombres n,, Pr» .…, np Soient tous différents.

54. n étant un nombre donné, on demande de démontrer que le nombre de solutions de l'équation

multiplié par 2, est égal à (n + 14) (n +2). (Ex. 19, p. 89). 55. En désignant par (n, p) le produit des p nombres consécutifs n 4, n +2, …, nn +p—1, n + p, démontrer que l'on a

(n, p}= (nr, p—1) <Xp+(n —1,p).

Déduire de là que le produit (n, p) est égal au produit par p de la somme de n produits dont chacun est un produit de p—1 nombres consécutifs; le premier produit commence par le facteur 4, le second par le facteur 2, ..., le

- dernier par le facteur n. En d’autres termes on a

(n,p)=p X[(0,p —1) +(1,p—1) + (2,p—1) +... + (n, p —1)], Ou encore

(a+ 1) (n +2) … (n +») =P (1.2... (p—1) 42,3... p+43.4. …. (DA) +... (n +414) (n+4.2)... (n+p—1)].

56. n étant un nombre donné, on demande de démontrer que le nombre de

solutions de l'équation à p + 1 inconnues %,, æ:, ...…, Æp+1, Las ete api =,

multiplié par le produit 1.2.8. ..p des p premiers nombres entiers, est égal à (n+ 1) (in +2). (n+p).

57. Etant donnés les 2n nombres à,, &,, .…, Gn; b,, b,, .…., bn, parmi lesquels les n premiers sont rangés par ordre de grandeur décroissante, on propose de démontrer que si l'on pose

Bb AS bte + BU ED US Se b, + db, + … + bn, è

on aura

d; b, + €; b, + one + an bn — (a, —@) S, +(a; — &;) Ss +... + (Gn—1 — An) Sn-1—+ An Sn.

Démontrer aussi que l’on a a SLA bi + a, b, + te + An On L'&, Sn:

58. Dans la suite de l'exercice 20 (p. 89), le carré d'un terme quelconque est

égal au produit des deux termes qui le comprennent diminué de 1, ou augmenté de 4. — Distinguer les deux cas.

59: ‘Si l’on désigne par %, U,, Us, U4, -.… les termes de la suite de l'exercice 20 p. 89) et si l’on désigne par v, v,, W, v,, .…., les termes v, =a,v, = b, v, =a +6,

v, — a+ 2b, .…, d'une suite analogue dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dans laquelle les deux premiers termes …

sont a etb, on aura Un = Un—1@ + Unb.

Dans la suite de l’exercice 20 elle-même, on a, quels que soient les nome bres n et p, Un+p1 = UnA1 Up—1 + UnUp.

Tout terme d'indice impair wx,1 est la somme des carrés de deux termes con-

sécutifs Uy, Upyu- 60. En développant les expressions (x +a}*, (x+-a)°, (x+4-a)", on trouve : (œ+ aa +2ar +, (x a) = + Sax +Snx + a, (æ ta) —=xt+ aa +6a2? + ax + a.

En adoptant les notations de l'exercice 22 (p. 90), ces formules sont toutes conte- ,

nues dans la suivante :

(x + ajr = Cf a + Chaan—1 + CP aan-2 + .. + Chapan-p +... Cia

Montrer que cette formule est vraie quel que soit n; il suffira pour cela de

montrer que, si elle est vraie pour le nombre », elle est vraie pour le nom-

bre n + 1.

64. Si l'on donne deux suites de nombres, qui en contiennent “autant l'une

que l’autre, dans quel ordre doit-on les disposer pour que la somme des pro-.

duits obtenus en multipliant les nombres correspondants soit la plus grande possible ?

$ 6. — Division.

94. Il y a un cas où la division se fait immédiatement: c’est celui où le diviseur est égal à l’unité suivie de zéros. Soit, par exemple, à diviser 83728 par 1000 ; l'égalité

montre que le quotient cherché est 83 et le reste 728 (n° 74, p. 71).

Pour diviser un nombre par l'unité suivie de plusieurs zéros, on supprime à la droite de ce nombre autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur : le nombre restant est le quotient; le reste est le nombre formé par l'ensemble des chiffres supprimés.