Je distinguerai maintenant trois cas

1° Le diviseur et le quotient n’ont qu'un chiffre ; on s’assurera que l’on est dans ce cas en ajoutant un zéro à la droite du diviseur:; si le nombre ainsi formé est plus grand que le dividende, c’est que le diviseur n’est pas contenu 10 fois dans le dividende, c’est donc que le quotient n’a qu'un chiffre. Il est à peine utile de dire qu’on a supposé le dividende supérieur ou égal au diviseur, afin que le quotient

ne soit pas nul.

Soit, par exemple, à diviser 15 par 9; la table de multiplication fournit les multiples successifs de 9 par les nombres d’un chiffre ; on voit de suite que 75 est compris entre 12=—9 X8 et 81—9 <9, c'est donc que 8 est le quotient; le reste s’obtient en retranchant 72 de 7à, il est 3.

2 Le diviseur a plusieurs chiffres, et le quotient n’en a qu'un.

On s’assure encore qu’on est dans ce cas, en constatant que, en ajoutant un zéro à la droite du diviseur, on obtient un nombre supérieur au dividende.

L'opération se fait par tâtonnement; les remarques qui suivent tendent seulement à diminuer le nombre des essais.

Soit, par exemple, à diviser 2361 par 458. On est bien dans le cas considéré, puisque 4580 est supérieur à 2361.

Si l’on divisait 2361 par 400 au lieu de le diviser par 458. On ne pourrait évidemment diminuer le quotient (n° 61, p. 58). Pour diviser 2361 par 400 ou par 100 >< 4, on peut le diviser successivement par 100 et par 4 (n° 62, p. 59).

Le quotient de la division de 2361 par 100 est 23 : il reste à diviser 93 par 4; on est dans le premier cas : le quotient est 5, 5 est aussi le quotient de la division de 2361 par 400 ; le quotient de la division de

2961 par 438 est 5 ou un chiffre plus faible : on dit que 5 est une

limite supérieure du quotient de la division de 2561 par 458.

De même, si l’on divisait 2361 par 500 au lieu de le diviser par 458, on ne pourrait évidemment augmenter le quotient; le quotient de 9361 par 500 est le même que le quotient .de 23 par 5, c’est 4; le quotient de la division de 2361 par 458 est 4 ou un chiffre plus

fort : 4 est une limite inférieure du quotient de la division de 2501 |

par 458.

On essaie 5 en faisant le produit de 458 par 5, ce qui donne 2290, nombre inférieur à 2361 ;: 2361 contient 5 fois 458 et ne le contient pas davantage : 5 est le quotient, le reste est 2361 — 2290 = 71.

Soit, comme second exemple, à diviser 989 par 199 ; en suivant le même procédé, on est amené à diviser 989 par 100, le quouent est9;

pour essayer 9 on multiplie 199 par 9, le produit est 1791: 9 est

trop fort; le quotient cherché est 8 où un nombre moindre ; on

essaie 8 de la même façon, on a 199><8—1592; 1592 est Si /

grand que 989 ; 8 est trop fort; on essaiera 7 : on a 199><7—= 1395 ;

7 est trop fort ; 199 ><6 — 1194; 6 est encore trop fort; 199><5 = 995 ;

5 est encore trop fort; 199><4=— 796 : 196 élant inférieur à 989, on voit que le quotient est 4 et le reste 989 — 196— 195. En faisant les essais de cette façon, c’est-à-dire en diminuant à chaque fois d'une unité le chiffre à essayer, on est sûr que le premier chiffre qui fournira un produit inférieur ou égal au dividende sera le quotient cherché. L'exemple précédent, qui est particulièrement défavorable, montre qu’on peut avoir à faire cinq essais inutiles. Ces essais, à la vérité, on ne les fait pas ordinairement jusqu au bout ; on fait porter les multiplications sur les deux premiers chiffres du dividende; pour essayer 7, par exemple, on dira 1 fois 9 font 63, 7 fois 1 font 7 et 6 font 13 ; le produit de 199 par 7 contiendra au moins 13 centaines, il sera de supérieur à 989, qui n’en contient que 9: 7 est un chiffre trop fort. Quoi qu'il en soit, on peut être amené à essayer un chiffre dont on juge, sans en être sûr, qu'il n est pas trop fort. On

s’en assurera en constatant que le produit du diviseur par ce chiffre peut se retrancher du dividende et que le reste est inférieur au divi-

seur.

Pour avoir, dans l'exemple précédent, une limite inférieure du quotient, on diviserait 989 par 200: le quotient est 4 ; la limite inférieure se trouve être le chiffre cherché.

Soit encore à diviser 12795 par 1984: on divisera, d'après le procédé indiqué, 12795 par 1000, ce qui donnerait pour quotent 12; puisque le quotient cherché ne peut avoir qu'un chiffre, il sera évi-

demment inutile d'essayer 12, 11, 10 ; on commencera les essais à 9 : le quotient est 6.

Quand le quotient n’a qu'un chiffre, on supprime à droite du dividende autant de chiffres qu'il y ena au diviseur, moins un ; on divise le nombre restant (!) par le premier chiffre du diviseur; si le quotient n’a qu'un chiffre, ce chiffre est une limite supérieure du quotient cherché ; si le quotient cherché est supérieur à 9, on prendra 9 pour cette limite supérieure. On essaie le chiffre trouvé comme limite supérieure en multipliant le diviseur par ce chiffre; il est le chiffre cherché si le produit est égal ou inférieur au dividende, et le reste est égal à la différence entre le dividende et ce produit. Si le produit est plus grand que le dividende, on diminue d’une unité le chiffre à essayer, et l’on a ainsi une nouvelle limite supérieure du quotient cherché, que l’on traite de la même manière.

On obtient une limite inférieure du quotient cherché en divisant le nombre conservé à la gauche du dividende par le premier chiffre du diviseur augmenté d’une unité.

Pour obtenir le reste on fait souvent à la fois la multüplication du diviseur par le chiffre qu’on essaie au quotient et la soustraction de ce produit; je n’insisterai pas sur l'explication de ce procédé .qui n’est applicable que si le chiffre que l’on essaie est bon, et qui, même dans ce cas, est une cause d'erreur qu'il vaut mieux écarter.

Remarque. — La méthode qui sert à faire les essais dans ce cas repose sur la proposition générale que voici:

Soient, dans une division, a, b, q le dividende, le diviseur el le: quotient : supposons qu'on supprime à la droite de aet de b'unmême nombre de chiffres et soient a! et b' les nombres ainst oblenus; le quotient de a! par b' sera égal ou supérieur à q; le quotient de la division de a! par b! +1 sera égal ou inférieur à q.

La démonstration est la même que dans le cas particulier que l'on a considéré ; soient en effet, par exemple,

Si, au lieu de diviser a par b on le divise par 8300 ou 5400, on ne pourra, dansle premier cas, diminuer le quotient, et, dansle second, l’augmenter; mais, pour diviser a par 100><83, ou par 100 ><84, on peut le diviser d’abord par 100, ce qui donne comme quotient, a'= 158%, puis diviser a! par 83, ou par 54.

1. Il est aisé de voir que ce nombre restant n'a qu'un ou.deux chiffres.

3° Le diviseur et le quotient ont plusieurs chiffres. On détermine le quotient chiffre par chiffre, en commençant par les plus hautes unités. La méthode repose sur le théorème suivant :

Pour oblenir le nombre de dizaines, de centaines, de mille, du quotient, il suffit de diviser par le diviseur le nombre de dizaines, de centaines, de mille, du dividende.

Je dis, par exemple, que le nombre de mille du quotient s’obtien-. dra en divisant par le diviseur le nombre de mille du dividende. |

Le nombre de mille du quotient se déduirait en effet de ce quotient, s’il était connu, en le divisant par 1000 ; on l'obtiendra donc (n° 62, p. 59) en divisant le dividende successivement par le diviseur et par 1000, ou successivement par 1000 et par le diviseur, ou encore en divisant par le diviseur le nombre de mille du dividende (1). |

Ainsi, dans la division de 1877172893 par 941, pour avoir le nombre de mille du quotient, il suffira de diviser 187772 par 941.

Cette proposition et la remarque faite au n° 58 (p. 56), sur le cas où l’on a séparé le dividende en deux parties dont l’une est un multiple du diviseur, contiennent l'explication du mécanisme de la division.

Soit, par exemple, à diviser 228606 par 395 : si l’on voulait avoir les dizaines du quotient, on diviserait 22860 par 395 ; si l’on voulait avoir les centaines, on diviserait 2286 par 395 ; mais ici le quotient n'aurait qu'un chiffre; on voit donc que le chiffre des plus hautes unités du quotient représente des centaines, et l’on obtiendra le chiffre de ces centaines en divisant 2286 par 39%5 ; on est ici dans4ile 2% cas: le quotient est 7 et le reste, obtenu en retranchant de 2286 le produit 325 ><7=— 2275, est 11 ; c’est le premier reste partiel : le produit du diviseur 325 par 700 serait 227500, et pour obtenir la différence entre 228606 et 227500, il est clair qu'il suffit d'ajouter à la droite du premier reste partiel 11 les deux derniers chiffres 06 du. dividende, ce qui donne 1106. On a séparé le dividende en deux parties, l’une égale à 825 >< 700, l’autre à 1106 : on obtiendra donc le quotient de la division de 228606 par 325 en ajoutant à 700 le quotient de la division de 1106 par 325; ce quotient est certainement inférieur à 100, car autrement 228606 contiendrait 395 au moins 800 fois : son premier chiffre représentera des dizaines ; on obtiendra ce chiffre en divisant les dizaines de 1106 par 325, c’est-à-dire 11( par 325 ; ici le quotient est 0 et le reste 110; le chiffre des unités s’obtiendra en divisant 1106 par 3%5 ; on est dans le premier cas, car autrement le quotient de la division de 1106 par 395 aurait contenu :