Lorsque l'opération comporte un assez grand nombre de
chiffres au quotient, il est très avantageux de former, comme on l’a expliqué au n° 86 (p. 95), une table des neuf premiers multiples du diviseur; cette table permet de supprimer les essais dans chaque
division partielle ; elle fournit à coup sûr le chiffre correspondant … |
du quotient et réduit ainsi l'opération à une suite de soustractions.
Voici un exemple d’une division faite ainsi, en utilisant la table du
391978 296268 2571106 197512 98948 5992336 340943 296268 ribte
Lorsque le diviseur n’a qu'un chiffre, on n’adopte pas la dispo.
sition précédente. On se contente d'écrire le dividende et, au fur et à mesure, les chiffres du quotient, obtenus au fond toujours par le même procédé, mais sans écrire ni les produits partiels, niles restes partiels. Soit, par exemple, à diviser 97042256 par 7. On dira : « le quotient pour 9 est 1 et il reste 2; le quotient pour 27 est 3 et il
reste 6 ; le quotient pour 60 est 8 et il reste 4; le quotient pour 44 est 6 et il reste 2 ; le quotient pour 22 est 3 et il reste 1 ; le quotient à pour 12 est 1 etil reste 5 ; le quotient pour 55 est 7 et il reste 6; le
#5 er -PIREE
DIVISION. j. 113
quotient pour 66 est 9 et il reste 3 » ; le quotient est donc 13863179 et le reste 3. Avec un peu d'habitude, on peut même faire de cette facon les divisions par un nombre de deux chiffres.
98. Nous avons à faire sur la division quelques observations analogues à celles que nous avons faites sur la multiplication.
Soient a le dividende et b le diviseur; désignons par n et p leurs nombres de chiffres. Pour effectuer la division, on sépare d’abord un nombre qui contienne b sans le contenir dix fois: ce premier dividende partiel a p ou p +1 chiffres ; ilfournira un chiffre au quoüent ; chacun des n — p ou n — p —1 chiffres restant au dividende fournira aussi un chiffre : il y aura au quotient n—p—1loun—p chiffres.
99. Les observations du n° 61-(p. 58) s’appliquent évidemment aux divisions partielles que l’on a à effectuer quand on veut avoir les quotients de la division de a par b et par b +1; d'où les conclu- SIions suivantes :
1° Quand on divise a par b, tant que les restes partiels sont supérieurs où égaux à la parlie écrite au quotient, on est sûr que les chiffres obtenus au quotient sont les mêmes que les chiffres correspondants dans la division de a par b +1.
2° Quand on divise 4 par b, tant que la partie écrite au quotient ne dépasse pas b + 1, on est sûr que le nombre écrit aû quotient est le même que le nombre correspondant dans la division de a par b +1, ou que le second nombre est égal au premier diminué d’une unité.
100. Si, dans le dividende et dans le diviseur, on supprime les 4 der. niers chiffres, on ne diminue pas le quotient; mais si, en faisant cette nouvelle division, on s'arrête avant que la partie écrite au quotient dépasse le diviseur, on est sûr que cette partie est égale à la partie correspondante du quotient véritable, ou à cette partie augmentée d’une unité de l’ordre du dernier chiffre. On est toujours certain qu’il en est ainsi tant que le quotient aura un chiffre de moins que le diviseur. — On n'aura aucun doute sur d'exactitude des chiffres trouvés, si le dernier reste est supérieur à la partie écrite au quotient.
Soit, en effet, à diviser 1898765 par 48579. D'après une remarque qui à été faite au n° 95 (p. 109), le quotient cherché est au plus égal au quotient de la division de 1898765 par 48500 et au moins égal au quotient de la division -de 1898765 par 48600 ; tant que les deux divisions fourniront les mêmes chiffres au quotient, ces chiffres seront exacts; si l’on effectue la division de 18987 par 485, tant que la partie écrite au quotient ne dépassera pas 485, on sera assuré que celte partie sera égale à la partie correspondante di “quotient de la division par 486 ou à cette partie augmentée d’une unité, Sauf cette erreur possible d’une unité, qui ne porte d'ordinaire que sur Ie
dernier chiffre, cette partie sera donc la même que la partie correspondante du quotient dans la division de 1898765 par 48579 ; l'opération est faite ci-dessous : :
i : Le reste 72 est ici plus grand que la partie écrite au 18987 1e quotient ; les deux chiffres 3, 9 sont sûrement exacts; ils
Ars 39 seront les deux premiers chiffres du quotient de la divi- 4437 sion de 1898765 par 48579 : 39 est le nombre de centaines 4365 du quotient de cette division.
12 On voit comment cette méthode permet de simplifier
la recherche des premiers chiffres du quotient dans une division. |
Exemple. — Trouver les huit premiers chiffres du quotient de la division de 4020 par 3141592653589.
On veut avoir 8 chiffres au quotient : conservons-en 9 au diviseur, le quotient sera certainement inférieur au diviseur : en calculant les 8 premiers chiffres du quotient de la division de 10* par 3141592650000, ou de 101 par 314159265, on sera sûr de ces 8 chiffres, sauf l'erreur possible d’une
unité sur le dernier. On trouve comme quotient 31830988 et comme reste 2053696180 : ce reste étant supérieur à la partie écrite au quotient, il
n’y a, ici encore, aucun doute sur l'exactitude des huit chiffres.
* Exercices.
62. Sachant que l’on a 1040318228677 — 2870564 >< 362407 + 5741129,
trouver le quotient et le reste de la division du nombre 1040318228677 soit par 2870564, soit par 362407.
63. Sachant que l’on a 1040384968947 — 2870764 >< 362407 — 1,
trouver le quotient et le reste de la division du nombre qui figure au premier membre de cette égalité soit par 2870764, soit par 362407.
64. Un marchand de vin a acheté 537 litres de vin pour 300 francs; il veut le revendre au détail, en vendant chaque litre pour un prix qui soit un nombre exact de pièces de cinq centimes; il désire que son bénéfice ne dépasse pas
50 francs, mais s’en rapproche le plus possible. Combien devra-t-il vendre
chaque litre, et quel sera son bénéfice?
Même question en supposant qu'il veuille que son bénéfice soit au moins égal à 50 francs, mais dépasse cette somme le moins possible. 65. Démontrer que avec une pièce de 1 franc, deux pièces de 2 francs, une pièce de 9 francs, deux pièces de 10 francs, une pièce de 20 francs, un billet
de 50 francs, neuf billets de 100 francs, on peut payer n'importe quelle somme
inférieure ou égale à 1000 francs.
66. Un professeur fait 4 classes par semaine, des jours déterminés, sans en
faire deux le même jour. Combien de classes aura-t-il faites au moins et au plus.
en 430 jours consécutifs ?
67. Trouver deux nombres, connaissant leur somme et leur différence. .
68. Le nombre des termes d’une progression arithmétique s'obtient en divi-. sant la différence des termes extrêmes par la raison et en ajoutant À au.
résultat.
DIVISION. 115 38 69. On ne change pas le quotient d’une division en augmentant le dividende d'un nombre moindre que la différence entre le diviseur et le reste.
70. Lorsque, dans une division, la somme du quotient et du reste est inférieure au diviseur diminué d’une unité, on ne change pas le quotient en diminuant le diviseur d’une unité.
‘0 74. Si l'on divise les nombres consécutifs 0,1, 2, 3, par un même nombre a, on trouvera comme quotients successifs, d'abord a fois le quotient 0, puis a fois r le quotient 1, puis a fois le quotient 2, puis a fois le quotient 3 et ainsi de suite. 72. Comment pourrait-on former rapidement une table fournissant le quotient de la division de l’un quelconque des nombres 0, 1, 2, 3, ..., & par l'un quelconque des nombres 1, 2, 3, .…., b? Ë 73. Imaginons qu'on ait formé une table qui fournirait les quotients de la division de l'un quelconque des nombres 0, 1, 2, 3, …, 5040, par chacun des. nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 : on demande quelle serait la somme de tous les 2 quotients inscrits dans cette table. — On a 5040—1,2.3.4.5.6.7. | ; 74. Parmi les nombres moindres que 200, quels sont ceux qui peuvent servir de dividende et de diviseur à une division dont le quotient est 53 et le reste 37? 25. On sait que; dans une division, le dividende est 4986 et le quotient 729 quels peuvent être le diviseur et le reste ?
16. Dans une division le dividende est 1986 et le reste 23 : quels peuvent être le diviseur et le quotient?
