DIVISIBILITÉ. THÉORÈMES GÉNÉRAUX. A1T

divisé par 6. Ce symbole, pour le moment, n’a aucune signification lorsque a n’est pas divisible par b. Lorsque b est égal à 1, le quoa ;

uent est a, en sorle que -- a le même sens que a. Lorsque a est divisible par b et que q est le quotient, on écrit indifféremment

(4) Rue a = bg.

ainsi les égalités

ont exactement le même sens.

On observera les habitudes suivantes relativement aux symboles

7% » pour lesquels, encore une fois, on suppose essentiellement que a:

est divisible par b : quand ils figurent dans des calculs ou des égalités, on a soin de mettre la barre en face des signes =, +, —, %, Ainsi, on écrira :

24 19 É RAT mt WE es dé:

153 >< PA TE de CE 1/8

402. Si tous les termes d’une somme algébrique sont divisibles par m, il en est de méme de cette somme : le quotient obtenu en la divisant par m est la somme algébrique des quolients obtenus en divisant chaque terme par m.

En effet, chacun des termes de la somme algébrique est le produit par m du quotient de la division de ce terme par m; on n’a plus qu'à metire m en facteur (n° 45, p. 41) pour que la proposition devienne évidente. |

Ainsi, on peut écrire, en supposant a, b, c, et d divisibles par m,.

PR EC NU b “ C d m TETE m m m

En particulier, si la somme de deux nombres est divisible par un. nombre m ainsi que l’une de ses parties, l’autre partie est aussi divisible par ce nombre.

La seconde partie est, en effet, la différence entre la somme et la première parte, et les deux termes de cette différence sont divisibles. par le nombre m.

Si la différence entre deux nombres a, b est divisible par le nombre m, ainsi que l'un des nombres &, b, il en sera de méme de l'autre.

En effet, si les doi a — b et b sont visibles par m, ilen rs

de même du nombre a qui est leur somme ; si les nombres a el 4 — b sont divisibles par m, il en sera de même du nombre b, qui est leur différence.

Plus généralement, si une somme algébrique est divisible par #

et si l'on sait que tous Les termes, sauf un, sont divisibles par m, on

peut affirmer que ce terme-là est, lui aussi, divisible par m.

Si un nombre a est multiple de b, tout multiple de a est aussi mnulliple de b.

Soit en effet am un multiple quelconque de a, il peut ati regardé comme la somme de »m nombres égaux à a, tous divisibles par 6 ; cette somme est donc divisible par db; le quotient obtenu en la

divisant par b est la somme de m nombres égaux à a', en désignant

par a! le quotient de la division de a par b. Ainsi le quotient de la

division de am par b est a'm et l’on peut énoncer le théorème suivant: Dans un produit de deux facteurs, si l’un des facteurs est

divisible par un nombre, il en est de méme du produit et, pour

diviser ce produit par ce nombre, il suffit de diviser le facteur considéré. | ue

Ce théorème s'étend à un produit d'autant de facteurs que l'on veut, dont l’un est divisible par le nombre que l’on emploie comme diviseur, puisque ce produit peut être regardé comme obtenu en multipliant le facteur considéré par le produit de tous les autres.

C'est la proposition inverse d’une proposition établie au n° 49 {p. 46), d’où elle se déduirait aisément.

103. Dans le cas d'un produit de deux facteurs, la proposition qui vient d’être établie peut s’énoncer autrement. Soit, par exemple, le produit i5x<71=(3><5)>X<T7; si on le divise par, le quotient sCra 8% T7, et l'on voit qu'il revient au même de diviser d’abord 15 par 5 et de multiplier ensuite le quotient par 7, ou de multiplier d' abord le nombre 15 par 7 et de diviser ensuite le produit par 5.

Lorsqu'un nombre a est divisible par un nombre b, il revient au

nôme de diviser a par b et de multiplier le quotient par €, ou de multipher a parc et de diviser le produit par b.

Diviser 18 >< par 5, c’est prendre le cinquième de sept fois 15 : : diviser 45 par 5, c’est en prendre le cinquième ; en multipliant ie

résultat par 7, on obtient sept fois le cinquième de 15. C’est ce qu'on |

exprime en disant : Sept fois le cinquième de 15 (ou les sept cin:

Et