DIVISIBILITÉ. THÉORÈMES GÉNÉRAUX
quièmes de 15), est la même chose que le cinquième de sept fois 15.
Le lecteur voit de lui-même ce qu'il y a de général dans cette façon de parler; mais il ne doit pas oublier qu’on suppose essentiellement ici que les divisions puissent s'effectuer exactement.
404. Lorsqu'une division se fait exactement, elle se fera encore exactement après qu'on aura multiplié le dividende et le diviseur par un même nombre, différent de zéro, et elle fournira le même quotient.
Supposons en effet que a soit divisible par b et soit q le quotient; on aura
et en multipliant les deux membres par un nombre quelconque m différent de zéro, on aura
am—=bqm—=(bm)Xx< q;
cette dernière égalité exprime que am est divisible par bm et que le quotient est q.
En d’autres termes, si @ est divisible par b, am est divisible par bm, et l’on peut écrire
am
DES bRUE
Réciproquement, lorsqu'une division se fait exactement et que le dividende et le diviseur sont divisibles par un même nombre, elle se fera encore exactement après qu'on aura divisé le dividende et le diviseur par cenombre, et elle fournira le même quotient.
Soit, en effet, «a — bg; supposons que le dividende a et le diviseur à soient divisibles par m et soient a’ et b' Ies nombres que l’on obtient en les divisant par m; le quotient a/ de la division par m
de a s'obtient en remplaçant dans le produit bg égal à a le facteur b
par b! (n° 102, p. 118); l'égalité a’ = b'q prouve alors que a/ est divisible par b' et que le quotient est g, comme le quotient de la division de a par 6.
405. Si les deux nombres a et a! sont respectivement divisibles par b et b’, leur produit aa/ est divisible par bb’ et le quotient est le produit des quotients des divisions de a par b et de a' par 8".
Soient en effet q et g' ces derniers quotients ; on aura
@==09, a! = b'g!, et par suite ax<a = bg >x<b'a!,
A 420 LEÇONS D'ARITHMÉETIQUE.
- où aa'= (bb) <(gq').
Cette dernière égalité exprime que ag! est divisible par bb'et que
le quotient est bien le produit gg'des quotients primitifs. En d'autres
termes, quand a est divisible par b et a' par b’, ad’ est divisible
par bb! et l'on peut écrire | | d a! aa'
DS TN Dh
106. Les propositions du n° 404 (p. 119) sont comprises, comme
cas particuliers, dans le théorème suivant et dans sa réciproque. Quand on multiplie le dividende et le diviseur par un méme
nombre, différent de zéro, le quotient n'est pus changé, et le reste
est multiplié par ce nombre. R ne
Soient a, b, g, r le dividende, le diviseur, le quotient et le reste de
la division primitive, et c le nombre par lequel on multiplie : on a
a bg +?, r<D;
on en déduit, en multipliant par cles deux membres de l'égalité et
de l'inégalité, ac = bcq+Tc, FC OC:
il résulte de là que q et re sont bien le quotient et le reste dans la division de ac par bc.
Cette proposition entraine la suivante.
Lorsque le dividende et le diviseur sont divisibles par un même nombre, le reste est aussi divisible par ce nombre ; si l’on divise le dividende et le diviseur par ce nombre, le quotient n'est pas changé et le reste est divisé par ce nombre.
Soient, en effet, a, b, q,r le dividende, le diviseur, le quotient et le reste dans la première division; soit « un nombre qui divise aetb;
soit a’, b' les résultats obtenus en divisant a et b par c; soient enfin g', r le quotient et le reste dans la division de a! par b", a, b s’obtiennent en multipliant a’, b'par c; en vertu du théorème direct, g est égal à g'etr s’obtienten multipliant parc; inversement, la division de » par e se fait exactement et le quotient est ri 407. Les propositions qui suivent concernent surtout le reste.
On ne modifie pas le reste d’une division quand on augmente où
qu’on diminue le dividende d'un multiple du diviseur.
Soient, en effet, a, b, q, r le dividende, le diviseur, le quotient et
le reste d’une division; on a a=bdq+r,, T<b:;
