DIVISIBILITÉ. THÉORÈMES GÉNÉRAUX

Si bm estun multiple quelconque du diviseur, on aura

a+bm—=b(g+m)#+r, r<b, a—bm—b(gj—m)+r, 2

et l’on voit que r est le reste de la division de & + bm, ou de 4 — bm, par b; les quotients sont g + m, q — m.

Ce théorème entraîne le suivant :

Le resle de la division d’une somme algébrique par un nombre n'est pas modifié si l’on supprime ou si l’on introduit dans cette somme algébrique des termes qui soient divisibles par le nombre considéré.

108. Si la différence entre les deux nombres a el a! est divisible par b, on obtiendra le même reste en divisant a ou a’ par b.

En effet, le plus grand des deux nombres à, a! s’obtient en ajoutant à l’autre un multiple du diviseur 6.

Réciproquement, si deux nombres a; a! divisés par le nombre b donnent le méme reste r, leur différence est divisible par b.

En effet, si l’on désigne par g et q' les quotients, on aura

a=0q+?, a'=bqg +7,

et, en supposant a plus grand que a’, a— a —=0g+r— (bg +r) —=bg — bo = 0b (q — a).

109. Si, dans une division, le dividende est un produit de plusieurs facteurs, on ne change pas le resle en augmentant ou en diminuant l'un de ces facteurs d'un mulliple du diviseur.

Le produit peut en effet être regardé comme la somme d’un certain nombre de fois le facteur que l’on modifie.

Il est clair qu'on ne changera pas le reste si on augmente ou qu’on diminue successivement chacun des facteurs qui entrent au dividende d'un multiple du diviseur; on ne changera donc pas non plus ce reste en augmentant, ou en diminuant, à la fois, de multiples du diviseur, tous les facteurs du dividende.

Considérons, par exemple, le produit 19><17><8 comme dividende et ÿ comme diviseur; le reste sera le même si l’on remplace 12 par ?,

- 17 par 2, 8 par à, puisque l'ona .

12—9 >%<5 +9, i LEE