ARTE

da ere RE SANS LL Ses

195 du même nombre est le même que le reste de la division de 367, c’est 17.

En particulier, on a les théorèmes suivants :

Pour qu'un nombre soit divisible par 2, il faut et il suffit qu'il soit terminé par un des chiffres 0, 2, 4, 6, 8 : en effet, c’est là les seuls nombres d’un chiffre qui soient divisibles par 2.

Les nombres divisibles par 2 sont dits pairs.

Les nombres qui sont terminés par les chiffres 1,8, 5, T, 9 ne sont pas divisibles par 2: ils sont impairs.

Pour qu’un nombre soit divisible par 5, il faut et 1l suffit qu'il soit terminé par un des chiffres 0, 5, car c’est là les seuls nombres d'un chiffre qui soient divisibles par 5.

Pour qu'un nombre soit divisible par 4, il faut et il suffit que le nombre formé par ses deux derniers chiffres soit divisible par 4.

Pour qu’un nombre soit divisible par %, il faut et il suffit qu'il soit terminé par deux zéros, ou par 25, ou par 50, ou par 75.

Pour qu'un nombre soit divisible par 8, il faut et il suffit que le nombre formé par ses trois derniers chiffres soit divisible par 8, etc.

112. Caractère de divisibilité par 9 ou par 3. — Le reste de la division d'un nombre par Ÿ ou par 3 est le méme que le reste de la division par 9 ou par 3 de la somme de ses chiffres significatifs.

La démonstration repose sur les remarques suivantes :

Si l’on divise par 9 l’unité suivie d’un certain nombre de zéros le reste est 1.

En effet 10 est égal à 9 +1; l’unité suivie d’un nombre quelconque de zéros est un produit de facteurs tous égaux à 10 ; on ne modifie pas le reste de la division par. 9 d’un tel produit en diminuant chaque facteur de 9 (n°107, p.120); il reste alors un produit de facteurs tous égaux à 1 : donc le reste cherché est 1. Cette proposition se lit d’ailleurs en quelque sorte sur la forme du nombre obtenu en retranchant 1 d’un nombre obtenu en écrivant l’unité suivie de plusieurs zéros; la différence est évidemment un nombre dont tous les chiffres sont des 9, et qui comprend autant de chiffres qu'il y avait de zéros après l’unité : par exemple on a

Considérons maintenant le nombre 7805643 ; il est égal à

On ne modifiera pas le reste obtenu en divisant celte somme

par 9, si l’on remplace chaque partie de cette somme par le reste qu'elle fournirait en la divisant par 9 (n°107, p. 120); chaque partie est un produit, et l'on ne modifie pas le reste que donne ce produit en remplaçant l’un des facteurs par le reste qu’il fournirait en le divisant par 9; on peut donc, sans changer le reste, remplacer les facteurs 1000000, 100000, 1000, 100, 10 par 1 ; on obtient ainsi la somme : ru

TU SL LG 48

des chiffres du nombre proposé; c’est ce qu’il fallait démontrer. On peut dire encore : Tout nombre est un multiple de 9 plus la somme de ses chifires.

En effet 7805648 et 748 +5+6+2:+3, divisés par 9, donnent le même reste ; leur différence est donc divise par 9. | En nur Pour qu’un nombre soit divisible par 9, il fautetil suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 9.

Comme 9 est un multiple de 5, il est clair qu'on peut dire encore que le nombre 7805643 est un mulüple de 5 augmenté de la somme 1+8+5+6—+4+3 de ses chiffres ; en sorte que le reste de la

division par 3 du nombre 78056438 est le même que le reste de la

division par 3 de la somme de ses chiffres. Pour qu’un nombre soit, divisible par 3, il faut et 1l suffit que la somme e de ses chiffres soit : divisible par 5.

Pour obtenir le reste de la es par 9 d'un nombre, dans la pratique, on applique plusieurs fois le même théorème, en supprimant les multiples de 9 à chaque fois : ainsi, pour calculer le reste relatif à TH8+5+6+4+3, on effectue la somme 7+8—15 et l’on remplace 15 par 145 —6; on a ensuite à ajouter 5, ce qui donne 11, que l’on remplace par 1 +1—2; on ajoute ensuite à 2 successivement 6 et 4, ce qui donne 12, que l’on remplace par 1 +2 siInya plus qu'à ajouter 3 : le reste est 6. S'il y a des 9 parmi Tes lee chi on n’en tient pas compte. %

113. Méthode générale. — La méthode générale pour trouver ie caractère de divisibilité par un nombre a apparaît sur cet exemple.

Supposons que l’on connaisse les restes obtenus en divisant para les nombres 10, 100, 1000, … et considérons un nombre Re te par exemple le nombre 18056 43; on l’écrira

et, pour obtenir le reste de la division par «, on remplacera dans cette somme 10, 100, 1000, ..… par les restes qu'ils fournissent en

les divisant par 4. Ce qui fait la simplicité de la méthode pour le cas où a est 9, c’est que tous les restes se trouvent égaux à 1. On pourrait traiter exactement de la même façon les cas où a est égal

‘à 2, 4, 8, … ou à 5, 25, 195, .…. ; dans ces cas tous les restes finissent

par devenir nuls, et c'est pourquoi les caractères de divisibilité ne portent que sur les derniers chiffres. On verra plus tard que les restes finissent toujours par se reproduire périodiquement, et il en résulte une simplification dans l'emploi de cette méthode ; sans m'arrêter davantage à ces généralités, je me contenterai de l'appliquer au cas où a— 11. |

414. Caractère de divisibilité par 11. — Pour obtenir le reste de la division par 11 d’un nombre quelconque, on peut procéder comme il suit : on fait la somme des chifres qui représentent des unités simples ou composées d'ordre pair (les unités simples doivent être regardées comme d'un ordre pair, l'ordre zéro); on fait aussi la somme des chiffres qui représentent des unités d'ordre impair. Si

la seconde somme est inférieure ou égale à la première on la

retranche de la première : le reste cherché est le même que pour la différence; si la seconde somme est supérieure à la première on fait la soustraction après avoir ajouté à la première un multiple de 11 assez grand pour qu'elle soit possible; on pourrait tout aussi bien diminuer la seconde somme d’un multiple de 11 ; dans tous les cas, la différence, divisée par 11, fournira le même reste que le nombre proposé. .

Les restes de la division des nombres 10 et 100 par 11 sont respectivement 10 et 1 : en effet, on a : 100—99+1—11.9+1;il est bien aisé de conclure de là q'ie si on divise par 11 Iles termes de la suite 10, 100, 1000, 10000, .…, on trouvera alternativement pour restes 10 et 1 ; autrement dit : Tout nombre formé en faisant suivre l'unité d'un nombre pair de zéros, divisé par 11, donne pour reste 1; tout nombre formé en faisant suivre l'unité d’un nombre impair de zéros, divisé par 11, donne pour reste 10. En effet, un nombre formé de la première façon peut être regardé comme un produit de facteurs tous égaux à 100, et l’on ne change pas le reste que ce produit fournirait en le divisant par 11 si l’on remplace chacun des facteurs par À, c’est-à-dire par le reste qu'il donne lui-même quand on le divise par 41; le reste, dans ce cas, est donc égal à 1 ; si maintenant on considère un nombre formé de la seconde façon, il peut être regardé comme le produit par 10 d’un nombre formé en faisant suivre l'unité d'un nombre pair de zéros ; dans ce produit, on peut encore, si l’on se borne à chercher le reste relatif à la division

126 LEÇONS D'ARITHMÉ TIQUE.

par 11, remplacer le second facteur par 1, c’est-à- des par le féthe | qu’il donne quand on le divise par 11; dans ce second cas, le reste sera donc 10 ><1 ou 10.

Considérons maintenant le nombre.