DAS TH AO (DOS

dans cette somme, on voit figurer la somme des chiffres représentant des unités d’ordre pair et la somme des chiffres représentant des unités d'ordre impair, cette dernière multipliée par 10=—11 —1; le

résultat précédent peut encore s’écrire |

GAS + TARA Se (0208) —9+41%8n7d 11m (910-128)

dans le multiple de 11, 11m, qui figure ici, m représente la somme des chiffres d'ordre impair, mais si l’on ne se préoccupe que du . reste de la division par 11, on peut remplacer ce multiple de 11 par tel autre multiple de 11 que l'on voudra, pourvu que la soustraction puisse se faire; on pourrait aussi bien diminuer la somme à retrancher de tel multiple de 11 qu’on voudra. La proposition est démontrée. Dans l'exemple considéré, on peut effectuer la difiérence 2+ 4+5+17—(9+-8), elle est égale à 1 : le reste cherché est 1.

On peut dire encore : Tout nombre est un multiple de 11 augmenté de la somme de ses chiffres de rang impair et diminué de la somme de ses chiffres de rang pair. |

445. Preuves de la multiplication par 9 ou par 11. — La proposition du n°109 (p. 121) fournit un moyen précieux de contrôler une multiplication.

Soient a, b deux facteurs d’un produit ab; soient, en employant un diviseur quelconque c, a! et b' les restes de la division par ç de a et de b ; en divisant par c le produit ab, ou le produit ab, on doit ou le même reste; on choisira pour le diviseur € un nombre pour lequel le calcul des restes soit facile ; on peut être tenté de

prendre pour € l’un des nombres 9, 5, 8...; mais la preuve ne porterait alors que sur les derniers chiffres ou rod uit Au contraire, les diviseurs 9 et 11 conviennent bien.

Prenons par exemple la multiplication de 98756 par 898, effectuée au n° 88 (p. 98). Les restes de la division par 9 du multiplicande et du

. multiplicateur sont respectivement 8 et 4; le reste relatif au produit

devra être le même que le reste de la division par 9 du produit 8><4— 32, reste qui est 5; on a trouvé au produit 81276188, qui donne bien aussi 5 pour ne

Si l’on avait employé le diviseur 11, on aurait trouvé, pour restes, relatifs aux deux facteurs, 9 et 9 : Le reste relatif au produit doit AU être le même que pour 81. c'est-à-dire 4, ce qui se vérifie encore.

Il y a lieu de remarquer que la preuve par 9, si elle réussit et si elle a été faite sans erreur, prouve seulement que l'erreur, s’il y en a une, est un mulliple de 9. On voit sans peine, par exemple, qu’elle n'avertirait pas d'une erreur commise en ne plaçant point les produits partiels à la place convenable.

De même la preuve par 11 montre que l’erreur, s’il y en a une, est un multiple de 11. L'emploi simultané des deux preuves montre que l'erreur doit être à la fois un multiple de 11 et de 9: on verra plus tard qu’elle est alors nécessairement un multiple de 99.

Le lecteur n'aura pas de peine à trouver une règle fondée sur les mêmes principes pour faire la preuve d’une division.

| | Exercices.

83. Un nombre est divisible par 4 si le chiffre des unités ajouté au double du chiffre des dizaines donne une somme divisible par 4.

84. Un nombre est divisible par 8 si le chiffre des unités ajouté au Moubte du chiffre des dizaines et à quatre fois celui des centaines donne une somme divisible par 8.

85. Un nombre est divisible par 6 si le chiffre des unités ajouté à quatre fois la somme de tous les autres donne une somme divisible par 6.

86. La différence entre un nombre et ce même nombre renversé (c'est-à- -diré obtenu en écrivant les chiffres en ordre inverse) est divisible par 9.

87. La somme d’un nombre et du même nombre renversé est divisible par 411 quand le nombre des chiffres est pair.

83. Le reste de la division d'un nombre par 99 Pobubnt en le séparant en tranches de deux chiffres à partir de la droite, en ajoutant ces tranches et en cherchant le reste de leur somme divisée par 99.

89. Formuler une règle analogue à celle de l'exercice précédent pourles nombres 999, 9999, … 401, 1004, 10001, etc.

90. De l'égalité 1001 = 7 X 411 %X 15, déduire la règle suivante : Pour trouver le reste de la division d’un nombre par 7, 41 ou 13, on peut le décomposer en tranches de trois chiffres à partir de la droite, faire la somme des tranches de rang impair et, après lui avoir ajouté, s’il est nécessaire, un multiple de 7, 44

ru 43, en retrancher la somme des tranches de rang pair, puis diviser la difféoence par 7, 11 ou 13. Le reste de cette division sera le reste cherché.

94. Tout nombre impair est un multiple de # augmenté de 4, ou diminué de 4. | |

92. Le carré de tout nombre impair divisé par 8 donne 1 pour reste.

93. Tout nombre impair qui est la somme des carrés de deux nombres donne 1 pour reste quand on le divise par 4. ME

94. Si a n’est pas divisible par 5, a! —1 est un multiple de 5.

Le mode de démonstration, fréquemmentemployé, consiste à remplacer, dans a* — A.a par le reste que l’on obtient en le divisant par 5, ce reste peut être 4, 2, 3, 4 : on constate que dans tous les cas le résultat est divisible par 5.

95. Si a n’est pas divisible par 7, a° — 1 est divisible par 7.

96. Le produit de deux nombres entiers consécutifs est toujours pair: en prenant la moitié de ce produit on aura un quotient qui, divisé par 3, ne pourra jamais donner 2 pour reste.

97. Le produit de p nombres entiers consécutifs est divisible par p.

Cette proposition résulte du théorème énoncé dans l'exercice 55 (p. 105). 98. Quels que soient les nombres a, b où l’on suppose a=6, l'un des nombres a,b, a+ b, a — b, 2a + b, 2a — b, est divisible par 5. ; | 99. Quels seraient dans le système de numération dont la base est a les caractères de divisibilité par a — 1 et par a +1? ar

400. a et b étant deux nombres non divisibles par 3, a°— b° est divisible par 9.

104. ar — bn est divisible par a — b, quels que soient les nombres a, b,n.

an-— bn est divisible par a + b si n est pair.

an + bn est divisible par a +b si n est impair.

En particulier 22 — 1 est divisible par 3 si n est pair, 2% + 1 est divisible par 3 si n est impair. : à

102. Si l’on veut avoir le reste de la division par p du résultat obtenu en remplaçant x par un nombre quelconque a dans une expression de la forme

A2? + A, ani + ALAN A EE An—1 & + An,

où À; A4 A. An—1, An SON des nombres donnés, on peut remplacer x par le reste obtenu en divisant a par p>; les résultats des deux substitutions, divisés par p, donnent le même reste. Ma ,

Si dans le polynome précédent, on met successivement à la place de x les nombres 0, 4, 2, 3,.., et que l’on divise par p les résultats obtenus, on trouvera une suite de restes qui se reproduiront péridioquement de p en p.

Cette proposition sera généralisée dans le chapitre final, où l’on en tirera de nombreuses conséquences. |

403. Avec les notations expliquées au n° 101 (p. 116), on voit que les propositions énoncées aux exercices 29 (p. 94), 52, 50 (p. 105), 56 (p. 106), 41 (p.104) peuvent être énoncées comme il suit :

n(n +1) A RE à

La somme des n premiers nombres naturels est

La somme des carrés des n premiers nombres naturels est

n(n +1) (2n +1) n(n +0 Le nombre de solutions distinctes de l'équation x, + x, +... + 2p1 = nest | (n +1) (ne +2) … (n +p) 12 D. ;

La somme des cubes des » premiers nombres naturels est

et de ces propositions résultent les théorèmes suivants :

- nn + 4) (2 n + i) est toujours divisible par 6. Le produit de p nombres entiers consécutifs est toujours divisible par le produit des p premiers nombres. La somme s des termes d’une progression géométrique dont le premier terme est a, le dernier terme b et la raison g est donnée par la formule

bqg—a q—1

en supposant qg autre que 1.

Quel que soit le nombre a, autre que 1,on a

=1+atat+...+tan,

Gette dernière proposition ne diffère pas de celle qui a été établie au ne 88, lorsqu'on y suppose b = 1. è

104. On désigne sous le nom de nombres triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, etc., les nombres oblenus en faisant la somme des premiers termes d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est toujours 1 et dans laquelle la raison est 1, 2, 3, 4, etc. : en faisant la somme des n premiers

an +11 a — !

termes, on à le nième nombre triangulaire, carré, etc.; ces dénominations s’ex-

pliquent pour les nombres triangulaires, par exemple, en remarquant qu'ils représentent des nombres de points qui peuvent être arrangés en triangle comme dans la figure ci-dessous :

Le lecteur trouvera sans peine une interprétation analogue pour les autres nombres polygonaux.

En général, l'expression du nième nombre polygonal correspondant à un polygone de q côtés est donnée par la formule :

5 3 {dans la notation P?, q est un indice, non un exposant).

105. La somme des n premiers nombres triangulaires est un nombre pyramidal. En général, on appelle nième nombre figuré d'ordre q la somme des n premiers nombres figurés d'ordre q — 1, en regardant les nombres de la suite naturelle 1, 2, 3, … comme figurés d'ordre 1, les nombres triangulaires comme figurés d'ordre 2. les nombres pyramidaux comme figurés d'ordre 3, etc. Le nième nombre figuré d'ordre q est donné par la formule :

PA = n +(q —2) <

{dans la notation F2, q est un indice, non un exposant).(Ex.#, p.104: 55, p. 105.) La somme des n# premiers nombres triangulaires représente le nombre de bou-

lets sphériques contenus dans une pile triangulaire. La somme des n premiers

nombres carrés représente le nombre de boulets sphériques contenus dans une pile carrée. On suppose que, en passant d’une couche de boulets à la couche supérieure, le nombre de boulets contenus dans le côté du triangle ou du carré qui forme cette couche diminue d’une unité. La pile se termine en haut par un seul boulet.

106. En conservant les notations de l'exercice 22 (p. 90), démontrer par induction

que le nombre C? du triangle de Pascal est égal, lorsque p est plus grand que 1,

au quotient du produit de p nombres con | par le produit des p premiers nombres ; en

doit être

remplacé Re

Lorsque p est égal À 4 ou à 0,

+ On admettra que la loi est vraie pour les en déduira qu’elle subsise pour la (n+ se

oui. ee dé