Quand on se donne deux ou plusieurs nombres À, B, Ce

décomposés en facteurs premiers, on reconnaît tout de suite sils ont quelque diviseur commun autre que 1 : un tel diviseur, décom-

posé en facteurs premiers, ne peut comprendre que des facteurs

premiers communs à tous les nombres A, B, C, … ; inversement, tout produit de facteurs premiers ainsi formé est un commun diviseur de À, B, C, … ; le plus grand d’entre eux s’obtiendra en prenant tous les facteurs premiers communs à À,.B,-G, :'et'en épée tant chacun autant de fois que possible, c’est-à-dire autant de fois qu’il figure dans celui des nombres A, B, C, .… où il est répété le

-moins de fois. D'après la règle pour la formation des diviseurs d'un nombre, il est clair que les diviseurs communs des nombres A,

B, C, … seraient les mêmes que les diviseurs de leur plus grand

commun diviseur.

Pour former le plus grand commun diviseur de deux ow plu-

sieurs nombres décomposés en facteurs premiers, on fait le pro-

duit de tous les facteurs premiers différenis communs à ces nom-

bres et l’on affecte chacun d'eux d'un exposant égal au plus faible

des exposants dont ce facteur est affecté dans les différents nom-

bres. Sr Exemple : soient les trois nombres

AS D etai,

B=9292%5- It,

GDS A4 A19,

Le plus grand commun diviseur sera

. Siles nombres A, B, C, .…. n'ont pas de facteurs premiers communs, ils sont premiers entre eux.

146. Avec ladécomposition en facteurs premiers, les théorèmes des n°% 124,125 (p.138, 139) deviennent intuitifs ; à la vérité, cesthéorèmes ont servi n°140 (p.151) à montrer qu un nombre ne pouvait être décomposé que d’une seule façon en facteurs premiers ; mais on a vu que cette proposition pouvait être établie directement. Il en est de même des propositions suivantes : si on multiplie, ou si on divise deux ou plusieurs nombres par un même nombre, on multiplie ou on divise leur plus grand commun diviseur par ce nombre ; si on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients sont: premiers entre eux, puisque, après la division, il ne reste plus de facteurs premiers communs ; si on les divise par tout autre diviseur commun que le plus grand, il reste quelques facteurs communs et les quotients ne sont pas premiers entre eux, etc...

147. Le plus petit commun multiple de plusicurs nombres A, B, C, … décomposés en facteurs premiers, s'obtient aussi aisément.

Chaque multiple commun, décomposé en facteurs premiers, doit contenir tous les facteurs qui figurent dans chacun des nombres A, B, C, .…, et chacun de ces facteurs doit être répété au moins autant de fois qu'il l’est dans chacun des nombres À, B, C, …, c’està-dire autant de fois qu'il-est répété dans celui des nombres A, B, C, …. où il est répété le plus grand nombre de fois. Réciproquement tout nombre décomposé en facteurs premiers qui satisfait à ces conditions estun multiple commun de A, B, C, … :le plus petit s’obtiendra en ne prenant que les facteurs premiers qui figurent dans chacun des nombres A, B, C, .… et en ne répétant pas l’un quelconque d’entre eux plus souvent qu'il n’est répété dans celui des nombres A, B, C, … où il est répété le plus grand nombre de fois. Tout multiple commun sera un mulliple du plus petit: commun multiple.

Pour former le plus petit commun mulliple de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers, on forme le produit de tous les facteurs premiers différents qui figurent dans les nombres A, B, CG, .…., et l’on affecte chacun d'eux de l'exposant qu’il a dans celuti des. nombres À, B, C. .… où 1l figure avec l’exposant le plus élevé.

Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres

D Dinde Lells Out ei est PS AS VEN PE 19:

Si l'on divise le plus petit commun multiple des nombres A, B, G, .… ainsi formé par ces nombres eux-mêmes, les quotients n'auront plus de diviseur commun; car s’il subsistait, dans ces quotients, un facteur premier commun, en multipliant ces quotients par À, B, C, .…., ce facteur se trouverait dans les produits avec un exposant plus élevé que dans tous les nombres A, B, C, ... ; on n'aurait donc pas appliqué la règle. Le plus petit commun multiple est le seul multiple commun qui jouisse de cette propriété.

Enfin, si l'on ne considère que deux nombres A, B et si on multiplie leur plus grand commun diviseur par leur plus petit commun multiple, on voit que chacun des facteurs premiers qui entrent dans A, ou dans B, figure dans le produit ; si ce n’est pas un facteur premier commun à A et à B, il figure dans le produit avec l’exposant qu'il a dans A ou dans B; si c'est un facteur premier commun, il entre dans le produit avec un exposant qui est la somme de son plus grand et de son plus petit exposant dans A et dans B, c'est-à-dire la somme de ses deux exposants dans À et dans B; le produit considéré est donc le produit des nombres A, B; c’est la règle du n° 129 (p. 141). ns.

148. Les propriétés des nombres ont attiré de bonne heure l’attention des Grecs. On voit déjà les Pythagoriciens spéculer sur les nombres premiers, sur les nombres triangulaires, carrés, polygonaux (Ex. 104, p. 129), sur les nombres pyramidaux (Ex. 105, p.129), sur les nombres parfaits (Ex. 154, p. 161), sur les nombres

amiables (tels que chacun d'eux soit égal à la somme des parties

aliquotes de l’autre). Les Éléments d'Euclide, qui constituent un

résumé des connaissances essentielles auxquelles les Grecs étaient

parvenus, vers l’an 300 avant J.-C., tant en Géométrie qu’en Arithmé-

tique, contiennent les propositions les plus importantes du chapitre

actuel et du chapitre précédent, en particulier, la notion du plus grand commun diviseur, celle du plus petit commun multiple, le théorème, difficile à démontrer, en vertu duquel si un nombre divise un produit de deux facteurs et est premier avec l’un d'eux, il divise l’autre, enfin le théorème du n°436 (p. 147) sur l’infinité des nombres premiers. La méthode même pour la recherche du plus grand com-

mun diviseur de deux nombres est souvent désignée sous le nom

d'algrrithme d'Euclide. La démonstration que l’on a donnée du théorème relatif à l’infinité des nombres premiers est celle même que l'on trouve dans Euclide (!). La règle pour la formation d’une table

1. Une généralisation bien naturelle de ce théorème est fournie par l'énoncé suivant : Dans toute

progression arithmétique dont la raison et le premier terme sont des nombres premiers enlre eux,

Der à à + à ES ER PE AURAI E Me MES FES à

de nombres premiers est aussi très ancienne : elle est attribuée à Eratosthène (vers l'an 250 av. J.-C.) et est souvent désignée sous le nom de crible d'Eratosthène (!).

123. Considérons la suite des nombres premiers jusqu’à p; soit A le produit de quelques-uns de ces nombres, B le produit de tous les autres. Démontrer que le nombre À + B admet un diviseur premier plus grand que p; il en est de même, en supposant À => B, du nombre A — B, à moins qu’il ne soit égal à 4.