Le nombre a‘ — a est toujours divisible par
il y a une infinité de termes qui sont des nombres premiers absolus. La démonstration de eelte proposition est très difficile ; elle a été donnée, dans le dernier siècle, par Lejeune Dirichlet.
1. On possède aujourd'hui, pour Les neuf premiers millions, des tables qui fournissent non seulement les nombre# premiers, mais pour chaque nombre non premier son plus petit diviseur : elles ont été calculées par Burkhardt, M. Glaisher, et par Dase. (Voir un article de M. Gram dans les Acta mathematica, t&. XVII.)
134. Si le nombre a est terminé par # et s’il n'est pas divisible par #4, le produit ala? — 1) (a? —#) est divisible par 480. :
435. Si b et a sont premiers entre eux, a + bd et a — b ne peuvent avoir d'autre diviseur commun que 1 et 2. |
136. Si a et b sont premiers entre eux, si æ est premier à d et y à a, le nombre ax + by est premier au produit ab.
. Il est aisé de voir que les deux nombres ax + by et ab ne peuvent avoir de diviseur premier commun : Car Si p était un tel diviseur, il diviserait l'un des facteurs du produit ab,a par exemple ; divisant ax + byet a p diviserait by, etc.
Ce procédé de démonstration est fréquemment employé.
137. Si a, b, c sont premiers entre eux deux à deux, la condition nécessaire et
suffisante pour que le nombre bcæ + acy + abz soit premier au produit abc est que x, y, z Soient respectivement premiers à 4, bc; : 438. &i a, d sont premiers entre eux, les deux nombres a — ab +b* et a +b ne peuvent pas avoir d'autre facteur premier commun que 8. 439. Si un nombre premier p est la différence entre les carrés de deux nom- P l et PTT. |
bres, ces deux nombres sont :
440. Pour reconnaitre si un nombre p est premier on peut lui ajouter succespra ; ?
: ue — ; sivement les carrés des Ê remiers nombres 4, 2, … 9 ÿ 9 ?
He es . —1)\2 des nombres ainsi formés qui soit le carré d’un nombre est p + (£ 9 -) , le
nombre p est premier.
441. Un nombre premier ne peut pas être la somme de plusieurs nombres impairs conséculifs. cs
; si le premier
442. Trouver un nombre p supérieur à 3 et tel que le nombre 2 — soit pre
mier.
143. Si le nombre 2n + 1 est premier, n est une puissance de 2. 444. Quel est le plus petit nombre entier admettant 15 diviseurs ?
445. Trouver le nombre de deux chiffres qui admet le plus grand nombre de
diviseurs.
446. Le nombre de diviseurs de a” est premier avec 7. 447. De l'égalité a+ ayte (at — 2oy + 2y") (a + 2ay 27°), déduire qu'il est impossible de satisfaire à l'équation a+ 4y=P;
lorsque p est premier, à moins que p ne sait 1 ou 5.
148. Combien, dans la suite 4, 2, 3, …, n des n premiers nombres, y a-t-il de
nombres divisibles par le nombre premier p ?
449. Sur n nombres consécutifs, il Y en a au moins autant de divisibles par le
nombre premier p que dans les n premiers nombres. ù | 450. Si l'on décompose en facteurs premiers le produit 1.2.3....n des n premiers nombres, chaque nombre premier p inférieur à n figurera avec un EXPO
sant égal à la somme des quotients obtenus en divisant n successivement par PP; D°
451. Déduire des propositions qui précèdent une démonstration de ce théo
rème déjà énoncé dans l'exercice 403 (p. 128) : le produit de n nombres consécutifs
est toujours divisible par le produit | AE EN rie 452. Les diviseurs d’un nombre # peuvent être rangés par couples tels que le
produit de deux diviseurs qui figurent dans un même couple soit égal à n. Sin
est le carré d’un nombre entier, il ÿ a un couple formé de deux diviseurs égaux: À
ceci n’a lieu que dans ce seul cas.
