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Si l'on désigne par v le nombre de diviseurs du nombre n, le produit de tous

les diviseurs de n est égal à n° si n n’est pas le carré d’un nombre entier. Si l'on a n = m°, ce produit est égal à m”.

153. Si un nombre n décomposé en facteurs premiers est égal à

- a“bct..…,

en désignant par a, de;.:tes facteurs premiers différents de n, le nombre des diviseurs de n est égal à (a +1) (B+41) (+1) :.; ces diviseurs eux-mêmes sont les différents termes obtenus en développant le produit

H+a+a+..+a) (+ 8404... + ai) H+c+e+.. La.

la somme de ces diviseurs sera égale à ce produit ou à

a % —À A8+1 — 1 att1 —1 DNA ED LEE Ton

154. On appelle parties aliquotes d'un nombre, les diviseurs de ce nombre, excepté ce nombre lui-même.

On appelle nombre parfait tout nombre qui est la somme de ses parties aliquotes, nombre abondant tout nombre plus petit que la somme de ses parties aliquotes, nombre déficient tout nombre plus grand que cette somme.

Si p est un nombre premier et si 27 — 1 est aussi premier, le nombre

- 2p—1 (2p — 1) est un nombre parfait.

Trouver des exemples numériques de nombres abondants et déficients. 155. En désignant en général par y (a) le nombre de diviseurs d’un nombre a et par © (a) la somme de ces diviseurs, on a, en supposant les nombres a,b,c, …

premiers entre eux deux à deux,

v (abc...) —=v (a) KXv(b) Xv (ce) x w c (abc...) —0c{a) X os (b) X 0 (c) xx.

156. En conservant les notations de l'exercice 22 (p. 80), démontrer que si n * estun nombre premier et p un nombre autre que 0 ou n, C2? est divisible par n.

En s'appuyant sur l'exercice 60 (p. 106), démontrer ensuite que, en SUPposant toujours n premier, le nombre

(a + bjn — an — bn

- est divisible par n.

Conclure de là que a? — a est toujours divisible par le nombre premier n ; si, en cffet, la proposition est vraie pour deux membres a, b, elle est vraie pour

{eur somme. | Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Fermat. On en verra l’im-

portance dans le dernier chapitre.