FRACTIONS ORDINAIRES
& 1. — Première définition des fractions.
449. La notion de nombre a été tirée de l'idée de collection d'objets distincts ; elle s'applique toutelois. à la mesure des grandeurs continues, et cette application conduit à étendre la notion de nombre, à considérer de nouveaux nombres, tout différents de ceux qu’on a considérés jusqu'ici. Cette extension exige que l'on distingue, dans le langage, les nombres dont on a parlé jusqu'ici et les nouveaux nombres que l’on va introduire : désormais je dirai un nombre entier, ou plus brièvement un entier(‘) pour désigner un des nombres 0, 1, 2, 3, ... ; je rappelle que les nombres nafurels sont les mêmes nombres à l'exclusion de 0. :
Je donnerai aux nouveaux nombres une origine concrète, en con-. sidérant surtout des grandeurs de l'espèce la plus simple, des lon- ‘gueurs de droites limitées ou segments de droite : on sait reconnaître (au moyen du compas, par exemple) si deux pareils segments sont égaux, on sait les ajouter en les plaçant bout à bout, on sait les diviser en parties égales ; sans doute, dans la réalité, toutes ces opé-
rations ne peuvent être réalisées qu'approximativement; maisilest |
aisé de les penser. | NT | Puisque c’est uniquement au point de vue de la longueur que
seront considérés ces segments de droite, je me permettrai, dans le …
présent chapitre, de dire « une longueur » au lieu de dire « la lonœueur d’un segment de droite ». Je me permettrai aussi d'employer des mots qui ne seront définis que dans le chapitre relaüf au système métrique ; mais cela n’a aucun inconvénient, puisque le lecteur a déjà l'habitude de ces mots; au reste, ici, le mètre pourra être une
4. Lorsqu'il est question de nombres relatifs, un entier est un nombre (positif, négatif, ou nul) dont la valeur absolue est l’un des nombres 0, 1, 2, ...; mais il n'y a pas de confusion à craindre ici. puisque, en dehors des numéros imprimés en texte fin, il n’est jamais question de nombres néealifs.
; longueur quelconque, l’heure un intervalle de temps quelconque, le
dire qu’en portant bout à bout, sur la
franc un morceau quelconque d’un métal précieux. Pour la commo-
. dité de l'exposition, je supposerai que ces diverses grandeurs peu-
vent être divisées en un nombre quelconque de parties égales; pratiquement, cela n'est pas vrai; les parties trop petites du mètre, ou de l'heure, ne peuvent être ni réalisées, ni appréciées : on ne divise pas un franc en parties égales ; cette division est réalisée conventionnellement, dans quelques cas, au moyen de pièces de monnaie ayant une valeur moindre. Mais, dans tous les cas, il est aisé de penser les opérations dont je parlerai.
Je dirai qu'une longueur AB (fig. 13) est contenue exactement 3 fois (par exemple) dans une autre longucur PQ, ou que cette longueur PQ -4 == Z contient AB exactement 8 fois, pour P
droite PQ, à partir du point P, 8 lon- Fig. 13. gueurs égales à AB, on tombe exactement au point Q (1). Il revient au même de dire que, si on divise PQ en 3 parties égales, l’une quelconque de ces parties est égale à AB. En adoptant cette façon de parler, il est naturel de dire que toute longueur égale à AB contient AB exactement 1 fois.
On dira de même que l'heure contient exactement 60 minutes, que la minute est contenue exactement 60 fois dans l'heure, que, si l’on
. divise l'heure en 60 parties égales, chacune de ces parties est une . minute (?).
On dit que le segment AB est une partie aliquote du segment PQ
- pour dire que AB est contenu exactement dans PQ un certain nom-
… bre de fois, sans lui être égal. Pour spécifier cette partie aliquote,
pour dire, par exemple, que AB est contenu exactement 7 fois dans
— PQ, on dit que AB est la septième partie de PQ ou le septième de PQ,
en ajoutant la particule 1ème au nom du nombre qui exprime combien de fois AB est contenu exactement dans PQ: il y a exception lorsque ce nombre est deux, trois, ou quatre. Pour dire que AB est
. contenu exactement deux, trois, quatre fois dans PQ, on dit que AB … est la moitié, le tiers, le quart de PQ.
- On dit de même que la minute est la soixantième partie, ou le 60ième de l'heure, que 15 minutes forment un quart d’heure.
1: Si l’extrémité de la troisième longueur égale à AB tombait entre P et Q, on dirait que PQ
… contient AB 3 fois, mais non exactement ; si cette extrémité tombait au delà du point Q on dirait : que PQ ne contient pas AB 3 fois. ;
2. Il va sans dire que je laisse ici de côté les difficultés que comporte la définition de deux durées
ne : égales.
450. Mesure. — Le lecteur sait que toute opération de mesure suppose le choix préalable d'une unité. On ne peut parler de mesurer une longueur que si on a choisi une unité de longueur, à laquelle on comparera les autres longueurs. Supposons que AB soit cette unité de longueur. |
Pour mesurer un segment de droite PQ, on porte sur PQ, à parür du point P, l'unité de longueur, autant de fois que possible. Il peut arriver que, en procédant ainsi, on tombe sur l’autre extrémité Q ; on dit alors que PQ contient l'unité de longueur exactement un certain nombre entier de fois et ce nombre entier est la mesure de PQ. Ainsi, dans la figure ci-dessus, PQ contient trois fois l’unité de longueur; PQ est mesuré par le nombre 5.
Les longueurs que l’on peut ainsi mesurer au moyen de nombres entiers sont évidemment celles que l’on obtient en portant sur une droite indéfinie, à partir d'un point marqué 0, et bout à bout, des unités de longueur, toujours dans le même sens ; si l’on marque au moyen des nombres 1, 9, 3, 4, ... les extrémités successives de ces unités de longueur, qui seront si l’on veut les barres de la figure 5,
le nombre marqué en un point quelconque mesure la longueur qui.
s'étend entre le point marqué 0 et le point considéré. Toute longueur égale à l’une de celles que l’on peut former ainsi est mesurée par le même nombre: l’unité de longueur elle-même est mesurée par le nombre 1. Parmi ces longueurs, on peut, si l'on veut, ranger la longueur nulle, celle d’un segment fictif dont l’origine et l'extrémité coïncideraient, et qui serait mesurée par le nombre 0. Il est bien évident qu'on ne peut pas mesurer ainsi toutes les longueurs ; on ne pourra pas mesurer la longueur d'une droite qui aurait son origine au point 0 et son extrémité entre deux quelconques des points marqués par les nombres 0, 1, 2, 3, 4, 451 Pour mesurer une longueur qui ne contient pas l'unité un PR ui de procéder de la façon suivante :
Rs On divisera l'unité de longueur AB Fig. 14. en un certain nombre entier de parties égales,en5 parties par exemple (fig.1#); et l’on appellera une quelconque de ces parties un cinquième de l'unité de longueur: il peut se faire que la longueur considérée RS contienne cette partie de l’unité exactement un nombre entier de fois, par exemple 7 fois : on dira alors qu’elle contient exactement 7 fois le cinquième de l’unité ou encore qu'elle est égale à sept cinquièmes de l'unité : il faut pour la mesurer deux nombres entiers, ici 9 et 1;
nombre exact de fois, on peut essayer.
