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ment de la signification concrète de l'addition ; mais il est aisé de l'établir par des raisons purement arithmétiques.
La somme à effectuer peut d'ailleurs contenir des fractions et des entiers; en regardant ces derniers comme des fractions dont le dénominateur est égal à 1, on est ramené au cas où tous les nombres à ajouter sont des fractions.
Supposons que ces fractions soient au nombre de trois, qu'elles
. aient été réduites au dénominateur commun le plus simple et repré-
sentons-les, dans cet état, par
HS CRE D’ D? D’
leur somme sera la fraction a+b+ce D ;
Si on les réduit d’une autre façon au même dénominateur, les nouvelles fractions se déduisent des précédentes en multipliant tous les termes par un même nombre entier g (n° 159, p. 175). Elles pourront donc se représenter par
je RUN TRE À Da” Da” Da”
et leur somme sera alors la fraction
ag +bq+ca, Dg 4 ou encore (a@+b+c)g.
Dq 6 cette fraction, obtenue en multipliant par g les deux termes de la fraction one. lui est égale (n° 157, p. 172).
Du même coup, il est évidemment démontré que, si l’on se donne des nombres quelconques, entiers ou fractionnaires, puis d’autres nombres, entiers ou fractionnaires, qui leur soient respectivement égaux, la somme des premiers est égale à la somme des seconds : il suffit, pour s’en convaincre, de supposer que les différents nombres aient été réduits au même dénominateur.
L’addition des fractions étant ramenée au fond à celle des nom: bres entiers, par la réduction au même dénominateur, les proposi
480 LEÇONS DARTTEMENONEE
tons énoncées au n° 14 (p. 14) s'é ee d'elles-mêmes aux frac
tions. Ainsi : |
Dans une somme de nombres entiers ou fractionnaires, on peut intervertir l’o: dre des termes de la somme, remplacer tels nombres que l’on veut par leur somme effectuée. Pour ajouter à un nombre
la somme de plusieurs autres ; on peut lui ajouter successivement
ces derniers, etc. Il suffit, après avoir fait la réduction au même
dénominateur, d'appliquer aux numérateurs ces théorèmes, certai-
nement vrais pour les nombres entiers.
162. Inégalité des fractions. — Étant données deux fractions qui ne sont pas égales, on reconnaît cette inégalité en les réduisant au même dénominateur ; les numérateurs sont alors inégaux, l'un est plus grand que l’autre; la fraction qui correspond au plus grand numérateur est dite plus grande que celle qui correspond au plus
petit ; celle-ci est dite plus petite que la première. Il est à peine utile de dire que cette définition est encore valable quand l’une ou
l'autre des fractions que l’on compare est un nombre entier. L'emploi des mots « plus grand, plus petit », appliqués aux frac-
tions, s'accorde avec la signification usuelle de ces mots quand il.
s’agit de grandeurs.
Reportons-nous en effet à la représentation concrète des fractions.
et considérons par exemple les fractions
d’après les définitions qui précèdent, la première doit être regardée comme plus petite que la seconde. En divisant l’unité de longueur en 60 parties égales ; en portant bout à bout 35 de ces partües, on obtient la longueur mesurée par la première fraction ; en en portant 13 de plus (48 — 35 +13), on obtient la longueur mesurée par la seconde fraction : il est bien conforme à notre notion de grandeur de dire que la seconde longueur est plus grande que la première; il serait tout aussi conforme à cette notion de dire, dans une autre
interprétation, en partageant en 60 minutes l’heure regardée comme
unité de temps, qu'une durée de 48 minutes est plus grande qu'une durée de 35 minutes.
On voit aussi, sur le même exemple, qu'une fraction plus grande qu’une autre s'obtient en ajoutant à celle-ci une fraction non nulle
F1 Eat)
ADDITION ET SOUSTRACTION. | 18t
Réciproquement, en ajoutant deux fractions non nulles de même
dénominateur, et Es par exemple, on obtient une nouvelle frac-
tion dont le numérateur est plus grand que 35 et 13, une fraction. qui doit donc, d'après la définition, être regardée comme plus si et 154 60 60
De ces remarques, on est amené à conclure que le résultat de la comparaison entre deux fractions obtenu en les réduisant au même dénominateur ne dépend pas de la façon dont on a effectué cette réduction ; c’est d’ailleurs ce qu'il est bien aisé de voir, en raisonnant comme au n° 161 (p. 179).
Supposons, en effet, qu'on ait d'abord réduit les fractions au
Meur commun le plus simple et représentons-les, dans cet.
grande que
b e LA = A LA » , D° p'$0n les réduit au même dénominateur d’une autre:
façon, les nouvelles fractions se déduiront de celles qu'on vient d'écrire, en multipliant tous leurs termes par un même nombre q ;
état, par ©
elles pourront donc se représenter par Dr 5 . Or, si la première.
fraction T est plus grande que la seconde fraction c'est que l’on a a>b; on a alors aq > bg; réciproquement cette dernière inégalité entraine a > b ; la conclusion est tous
Si les deux fractions données sont ©, . , elles deviennent, en les hs lus elles sont égales si l’on DU? bb!’ 1 a ab' = «'b ; la première est la plus grande, si l’on a ab'> a/b. Si l'on supposait que leurs numérateurs a, a! fussent égaux (sans tre nuls), 1l faudrait donc, pour que les deux fractions fussent égales, que l’on eût b'—b, et pour que la première fût la plus grande, que l'on eût b’ > b, d’où l’on tire la conclusion suivante :
Deux fractions qui ont le méme numéraleur ne peuvent étre égales que si leurs dénominaleurs sont égaux. De deux fractions qui ont le même numérateur et des dénominateurs inégaux, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. Ces théorèmes Supposent toutefois que les fractions ne soient pas nulles.
Une fraction étant donnée, on l’augmente soit en augmentant son numérateur, soit en diminuant son dénominateur.
Le nombre 0 est regardé comme e plus petit que toute fraction non. nulle.
réduisant au même dénominateur,
Faisons encore la remarque suivante :
Étant donné un nombre . aussi petit que l’on voudra, maïs non nul, on peut trouver des nombres plus petits : tel sera en effet le nombre TR si b' est plus grand que b. En particulier, il y a des je de 10 supérieures à b ; si 107 est une telle puissance, la fraction Te , et a fortiori la fraction de. , Sera plus petite que FR.
163. La réduction au même dénominateur permet de ranger plu: sieurs fractions données par ordre de grandeur.
Ainsi, si on considère les fractions — 7 . PUL en les réduisant au 48 91 10 bt les f rx :
même dénominateur, on obtient les fractions — 3j Dr D et l’on |
voit, si on les écrit dans l’ordre 10, 18 2
que chaque fraction est plus grande que la précédente. 164. La réduction au même dénominateur permet aussi d'étendre
aux fractions les propositions relatives aux inégalités, démontrées
pour les nombres entiers
Désignons par A, B, C,.. des nombres quelconques entiers ou fractionnaires (+). |
Si l'ona A>Bet B>C, on a aussi A > C et l’on peut écrire
Ab C
On peut ajouter un même nombre aux deux membres d’une inégalité ; celle-ci subsiste dans le même sens. Cette proposition contient la suivante : en ajoutant à un même nombre deux nombres inégaux, on obtient deux nombres qui sont aussi inégaux.
On peut ajouter, membre à membre, plusieurs inégalités de même sens.
465. Soustraction. — On a vu plus haut que, deux fractions étant
4. Le lecteur observera que c'est la première fois qu'une fraction est représentée par une seule lettre ; jusqu'ici une lettre n’a jamais représenté qu'un nombre entier.
LR GENRES
données, il existe une fraction qui, ajoutée à la plus petite donne la plus grande pour somme; c'est la différence entre les deux fractions données ; l’opération qui consiste à la trouver s'appelle soustraction.
Supposons que les deux fractions données: après avoir été
réduites au même dénominateur, soient A et Le ; On à
Le est la différence entre 5 5 Do c’est le seul nembre qui, ajouté
39 48 | SRE à donne F0 PO somme, car, si on ajoute deux nombres inégaux à un même nombre, on obtient deux sommes inégales.
Deux fractions étant données, si, sur une même droite, à partir d’un même point et du même côté de ce point, on porte deux segments mesurés respectivement par ces deux fractions, celui des deux segments qui correspond à la plus grande fraction dépassera celui qui correspond à la plus petite. La différence entre les deux fractions mesurera la distance entre les extrémités des deux segments qu’elles mesurent. Tout cela résulte bien clairement des explications données au n° 162 (p. 180).
La règle qui suit est maintenant bien évidente.
Étant donnés deux nombres entiers ou fractionnaires, pour retrancher le plus petit duplus grand, on réduit ces deux nombres au méme dénominateur; on retranche ensuite le plus petit numérateur du plus grand et on prend la différence comme numérateur d'une nouvelle fraction, à laquelle on donne comme dénominateur le dénominateur commun. Cette nouvelle fraction est la différence cherchée. Quand les deux nombres sont égaux leur différence est 0.
La réduction au même dénominateur ramenant la soustraction et l'addition à la soustraction et à l’addition de nombres entiers, les théorèmes des n° 21-30 (p. 17-30) relatifs à la façon dont on peut ajouter à un nombre, ou en retrancher, une somme ou une différence, et, d’une façon générale, traiter les sommes algébriques, s’étendenl immédiatement au cas où les nombres auxquels on a affaire sont des fractions.
166. Nombres relatifs. — Les définitions des nombres relatifs, de l’addition et de la soustraction de ces nombres ont été fondées sur l’étude anté-
rieure des sommes algébriques. A la vérité, on n’a considéré dans les
n°* 31-38 (p. 30-35) que des nombres relatifs dont la valeur absolue était ou 0 ou un nombre naturel ; rien n'empêche de considérer des nombres relatifs dont
la valeur absolue soit une fraction ; les propriétés des sommes algébriques
étant étendues au cas où les termes sont des fractions, les propositions fondées sur ces propriétés s'étendent toutes seules ; on adoptera les mêmes
règles pour l'addition et la soustraction; les propriétés concernant les.
sommes algébriques généralisées subsisteront.
On a montré, au n° 37 (p. 35), comment les nombres relatifs entiers, pou- Le
vaient être représentés comme les numéros d'ordre de points équidistants sur une droite indéfinie, s'étendant à droite et à gauche d'un point origine marqué 0; la distance entre deux points consécutifs est supposée égale à l'unité de
longueur. On peut s’imaginer qu'un nombre relatif quelconque a soit représenté par un point, sur la même figure, ce point étant situé à droite ou à. gauche du point marqué 0 suivant que le nombre est positif ou négatif, et
sa distance au point 0 étant mesurée par la valeur absolue de a : dans ce
mode de représentation, le nombre a est désigné comme étant l'abscisse du
point qui le représente. | On adopte d’ailleurs les mêmes conventions qu'au n° 37 (p. 35) ; deux nom-
bres a, b étant ainsi figurés par des points que je désignerai aussi par aetb,
le nombre à est plus grand ou plus petit que le nombre b suivant que le point a est à droite ou à gauche du point b; d'après cette convention, 0 et n'importe quel nombre positif est plus grand que n'importe quel nombre négatif. Le beau théorème indiqué à la fin du n° 37 (p. 35) subsiste encore : la valeur absolue de la différence a — b mesure toujours la distanceentw les
points a, b; suivant que cette différence est positive ou négative, Le ponta
est à droite ou à gauche du point b. :
En vertu de ce théorème, on peut dire que a est plus grand que b, égal.
à b, ou plus petit que b, suivant que la différence a — b est positive, nulle ou négative.
467. Recherche du plus grand entier contenu dans une fraction. __ On reconnaît tout de suite si une fraction est inférieure (!), égale ou supérieure à 1 : le nombre 1 est lui-même égal à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont égaux au dénominateur de la fraction donnée ; la fraction sera donc inférieure, égale ou supé-
rieure à À, suivant que son numérateur sera inférieur, égal ou supé-.
rieur à son dénominateur.
Une fraction étant donnée, si on divise le numérateur par le dénominateur, la fraction peut étre regardée comme la somme du quotient et d'une fraction, plus petile que 1, de méme dénominateur qu’elle et dont le numérateur est le reste de la division.
‘4 Une fraction plus petite que 1 s'appelle fraction proprement dite.
Soit, par exemple, la fraction . En divisant 2872 par 25, on
trouve 114 comme quotient et 22 comme reste ; c’est-à-dire que l'on a 2872 — 114 >< 95 + 22.
On en conclut par la règle d'addition des fractions, 2872 114><95 22
DOM en Te db Le A / 1E Mais ne est égal à He ou à 114; on a donc =
- c'est ce qu’il fallait démontrer.
Si le numérateur de la fraction donnée était plus petit que le dénominateur, le quotient serait 0, le reste serait le numérateur; l’opération serait inutile.
Si le numérateur de la fraction donnée était divisible par le dénominateur, le reste serait nul et la fraction serait, comme on le savait déjà, égale à un nombre entier.
Revenons à l'exemple précédent. On a, puisque la division de 2872 par 25 laisse un reste,
on en conclut, d’après les règles du n° 162 (p. 180).
A145>< 95 2872 115 >< 25 MOD Sn ast
ou
114 < ar LAS,
002872 ce qu’on exprime en disant que la fraction —— Tgs — est comprise entre
les deux nombres entiers consécutifs 114 et 115, ou encore que 114 est le plus grand nombre entier inférieur à la fraction (ou contenu dans la fraction), et que 115 est le plus petit nombre entier supérieur à la fraction.
Si donc on considère la suite des nombres entiers consécutifs 0, 4, 2, 3, qui forme une progression arithmétique dont la raison est 1, toute fraction qui n'est pas égale à un nombre entier trouve
sa place entre deux termes de cefte suite, dont le plus petit est précisément le quotient de la division du numérateur par le dénominateur. Sa différence avec l’un ou l’autre de ces deux termes est moindre que 1 ; sa différence avec n'importe quel autre terme de la suite est plus grande que 1. ..
On peut dire la même chose sous une autre forme en se reportant à la figure 5, où l’on regardera la distance entre deux points conséeutifs comme étant égale à l'unité de longueur. Portons sur la droite indéfinie, à partir du point 0, une longueur mesurée par la fraction; l'extrémité tombera sur un des numéros, si la fraction est égale à un
nombre entier ; autrement elle tombera entre deux numéros ; sa distance à chacun de ces numéros est moindre que l’unité de longueur, sa distance aux autres numéros est plus grande. | |
Ainsi une fraction étant donnée, si on divise le numérateur par le … dénominateur, le quotient est le plus grand nombre entier contenu dans la fraction, c’est-à-dire le plus grand nombre entier inférieur ou égal à la fraction, l'égalité ne pouvant avoir lieu que lorsque le numérateur est divisible par le dénominateur. Ge quotient est le seul parmi les nombres entiers inférieurs ou égaux à la fraction qui en diffère de moins d'une unité. On l'appelle partie entière de la fraction, ou valeur approchée de la fraction à une unilé près par défaut. Le quotient, augmenté d’une unité, est toujours plus grand que la fraction; il en diffère d’une unité si le numérateur est divisible par le dénominateur, de moins d'une unité dans le cas contraire. Parmi les nombres entiers plus grands que la fraction, c’est celui qui en diffère le moins. On l'appelle valeur approchée de la à fraction, à une unité près, par excès (+). é
Sa Multiplication.
168. Multiplication par un nombre entier. — Ilest naturel d'appeler multiplication, comme au n°39 (p.35), l'opération qui consiste à faire la somme de plusieurs nombres égaux, lors même que ces nombres sont des fractions, de conserver le nom de multiplicande à la frac-
1. Signalons une facon d'écrire assez usuelle pour représenter soit une fraction, soit la somme
e LA 0 . %r « 2 °. + . e d'un nombre entier et d’une fraction ; au lieu d'écrire 7 on écrit 2/3, ce qui tient moins de place,
de ÿ ER 2 nie Me surtout dans les textes imprimés ; au lieu d'écrire 5 + NP écrit 5 2/3; d'ordinaire, cette ders
nière notation ne s'emploie que lorsque la fraction qui suit le nombre entier a ses termes très simples et l'habitude est de se servir, pour celle fraction, de chiffres plus petits que pour le nombra euter auquel elle est ajoutée.
tion que l’on répète ainsi, le nom de multiplicateur au nombre des fractions égales dont on fait la somme, le nom de produit à la somme des fractions égales, d'employer encore le signe ><, ou, pour indiquer l'opération ; ce signe se placera en face de la barre de la fraction ; on écrira d’abord le multiplicande, puis le multiplicateur, que l’on suppose ici être un nombre naturel.
Ainsi l'écriture
es
: à qu'on peut énoncer en disant 4 fois & ; représente le résultat de la
multiplication de 5 Par 4, le produit de - par 4, la somme de
4 fractions égales à . cette somme, d'après la règle du n° 160 (p. 177), est égale à 3H3+3+3 3x4
ee ———————————
er D
on peut donc écrire
di e<é FPS TR
et énoncer la règle suivante : Q Pour multiplier une fraction par un nombre nalurel, il suffit de multiplier le numérateur de celle fraction par ce nombre, en conservant le méme dénominateur.
On convient d'appliquer encore cette règle au cas où le multiplicateur est 4, ou 0 : pour définition, le produit est égal au multiplicande dans le premier cas, à 0 dans le second.
ee à RS Revenons à la signification concrète des fractions ; la fraction F
mesure la longueur d’un certain segment; en plaçant bout à bout quatre segments égaux à celui-là, on obtient un segment dont on dit, dans le langage ordinaire, qu'il est 4 fois plus grand que le pre-
è >< ; mier et qui est mesuré par le nombre E X<4 QUE il est naturel de dire que cette dernière fraction est 4 fois plus grande
que ce c’est d’ailleurs le langage qui a été adopté au n° 39 (p. 56), pour les nombres naturels.
En désignant par # un nombre naturel, on peut donc s'exprimer
ainsi :
Former un nombre n fois plus grand qu’ une fraction, c "est faire la somme de n fractions égales à cette fraction ou larépéter n fois, ou encore la multiplier par n ; on oblient le résultat en TARA son numéraleur par n.
Après avoir fait cette multiplication, rien n'empêche de Sao LS le résultat s’il y a lieu. 0
Supposons, par exemple, qu'on veuille multiplier 3. par le fac- à teur 3, qui est un diviseur du dénominateur 15 ; le résultat sera |
A AT A 2 15 House
on l’obtient, sous la dernière forme, en divisant le dénominateur de Ja fraction proposée par 3 ; le raisonnement est évidemment général : il justifie l'énoncé suivant :
Pour multiplier une fraction par le nombre naturel n, au lieu de multiplier par n le numérateur de celte fraction, on peul, lorsque la division se fait exactement, diviser le dénominateur par n , \
