Division (exacte) par un nombre entier. — Le orécédent

| ou | exemple met en évidence ce fait que la fraction — est 3 fois plus “4

| | grande que la frachion RSS ; 00 n'entend pas autre chose quand

: : 7 on dit que cette dernière fraclion est 3 fois plus petite que res Il n'y a d’ailleurs pas d'autre fraction telle qu'en la répétant 7 " :

3 fois on retrouve =. car la somme de 3 nombres plus grands serait 1

plus grande, la somme de 3 nombres plus petits serait plus. petile ° ‘4 (n® 16, p. 15, et 162, p. 180). 5 20 Placons-nous au point de vue concret : si l'on met bout à bou

3 segments égaux à celui que mesure la fraction 5x8 0 obtient

15<0 T ss un segment mesuré par le nombre =——-7 UE Dre ie on peut dire inver-

sement que si l'on divise en 3 parties égales le segment mesuré

1 : | par le nombre =, l’une de ces parties est mesurée par le nombre D KI La définition et la règle qui suivent, où # désigne un Ace naturel, seront maintenant bien claires : :

1 Lie LE dti 2m - " :

re2

Rendre une fraction n fois plus pelile, former un nombre n fois plus pelit que cette fraction, c'est trouver un nombre tel qu'en le multipliant par n on reproduise la fraction proposée : le résullat s'obtient en multipliant par n le dénominateur de la fraction proposée ou, lorsque la division se fait exactement, en divisant le numéraleur par n.

La seconde façon d'opérer conduit en effet au même résultat que la première, en vertu de la règle relative à la simplification des fractions.

Le résultat mesure le nième de la longueur que mesurait la fraction proposée, c’est-à-dire une des parties de cette longueur divisée en n parties égales.

Au lieu de dire, en désignant par x un nombre naturel plus grand que À, « rendre une fraction n fois plus petite », on dit, dans le même sens, « prendre le nième de cette fraction, ou la diviser par n »; l'opération même prend le nom de division; on emploie le nom de dividende pour la fraction, le nom de diviseur pour le nombre n par lequel on divise la fraction, le nom de quotient pour le résultat de Ja division, la nième partie de la fraction donnée.

Ce langage est d’autant plus naturel qu'il correspond parfaitement à celui dont on se sert pour les grandeurs : si une fraction mesure une certaine longueur, et si on divise cette longueur en n parties égales, l’une quelconque de ces parties est mesurée par le résultat obtenu en divisant la fraclion par n ; mais il importe de remarquer que l'emploi de ces mots crée une ambiguïté : le nouveau sens du mot diviser, le nouveau sens du mot quotient, ne coïncident avec les significations adoptées aux n% 56-62 (p. 54-60) que si la division, telle qu'on l’entendait alors, se fait exactement. Lorsqu'une confusion est à craindre, il convient de dire, dans le nouveau sens, la division exacte, le quotient (‘) exact et, dans l’ancien, la division ou le quoüent au sens de la théorie des nombres entiers ; on dit encore, plus brièvement, le quotient entier.

Par définition, le résultat de la division d’un nombre par 1 est éœal à ce nombre.

La division exacte par un nombre naturel est l'opération inverse de la multiplication par, un nombre naturel, comme la soustraction est l'opération inverse de l'addition. On remarquera que, grâce à l'introduction des fractions, cette division exacte, qui n'était pas

1. Ce nouvel emploi du mot « quotient » qui, étymologiquement, veut dire « combien de fois » est particulièrement fâcheux ; il vaudrait sans doute mieux employer un autre mot, le mot « rap port » par exemple ; mais l'usage est maintenant si invétéré qu'il est difficile d'y renoncer,

toujours possible quand on ne voulait considérer que des nombres entiers, peut maintenant toujours se faire. | |

170. Arrêtons-nous un instant sur le cas important où le dividende

est entier. ‘

En se plaçant au point de vue de la théorie des nombres entiers

on ne peut pas, par exemple, diviser exactement 7 par 5. En se

plaçant au nouveau point de vue, on appliquera la règle du numéro

: : À Me précédent à la fraction T° et l’on obtiendra la fraction

Foi EAST US

dont on dira qu’elle est 5 fois plus petite que 7, qu’elle est la cinquième de 7, qu’elle est le quotient de la division exacte de 7 par 5: ces différentes façons de parler veulent dire qu'on obtient 7 en

répétant 5 fois > ce qui donne en effet Le ou 1.

Au contraire le quotient de la division de 7 par 5, au sens de la théorie des nombres entiers, c’est 1, c’est la partie entière (n° 167,

p. 184), de la fraction - :

Le fait qu’une fraction peut être regardée comme le quotient de

la division exacte du numérateur par le dénominateur correspond.

à une nouvelle interprétation concrète des fractions. É Reau D'après le n° 151 (p. 164), la fraction , par exemple, mesure la

longueur obtenue en plaçant bout à bout 7 segments de droite égaux à l’une des parties de l'unité de longueur, du mètre, si lon veut,

divisé en 3 parties égales; lesegmentainsiobtenu estce qu'on appelle les sept cinquièmes du mètre. D’après ce qu'on vient de dire, 5 fois

cette longueur, c’est une longueur mesurée par le nombre 7, c'est 7 mètres ; en d’autres termes, le segment obtenu en réunissant sepl cinquièmes de mètre peut s’obtenir aussi en divisant en 5 parties égales une longueur de 7 mètres ; il est l’une de ces parties : sept cinquièmes de mètre, c’est la même chose que le cinquième de sept mètres. On peut aussi bien dire, puisque l'unité de longueur est quelconque, que les sept cinquièmes d’une longueur sont la même chose que le cinquième de sept fois cette longueur. De même, {rois quarts d'heure, c’est la même chose que le quart de trois heures. 471. Multiplication par une fraction. — J'ai insisté plus haut sur la signification de ces mots « prendre le cinquième d'une fraction »;

Là RD ET en D ARCS ; NE ET CAE 2 » éd PR CR ns UT TR En mt SN EN ee Une

te 5 « ! 2 LE ne din Mo ji. Lee,

FRS Lie ner Pee

PS Ce SN AR PU SU ee TR VS

la signification des mots « prendre les trois cinquièmes d’une fraction » apparaît immédiatement : c’est répéter trois fois le cinquième de la fraction, faire la somme de trois nombres égaux à ce cinquème : on aura pour effectuer cette double opération, à multiplier le dénominateur de la fraction par 5 et le numérateur par 3. Prendre les trois cinquièmes d’un nombre, c’est ce qu’on appelle aussi Mulliplier ce nombre (considéré comme multiplicande) par at WT ha fraction F (considérée comme multiplicateur). Dans ce même langage, prendre le cinquième d’un nombre, c’est multiplier ce

nombre par la fraction (!) LE c’est donc la même chose que le diviser exactement par 5.

3 4 ee it, Par exemple, prendre les 5 de 7 > ou multiplier — par 5 cest

43 12 EU À former le nombre =: GE - Multiplier 7 Par =, c'est former

41 4 Es 1 le nombre SES = Multiplier 4 par > ou prendre le cin-

74 er quième de 4, c’est former la fraction F3 multiplier 4 par . prendre

les mi de 4 c'est répéter 3 fois le cinquième de 4, c’est former la

fraction ns . Le cas où le multiplicande est un nombre entier,

4 par exemple, rentre dans le cas général en regardant ce nombre

entier comme une fraction dont le dénominateur est 1. Prendre les 2 d’une longueur, c’est (n° 153, p. 167) diviser cette

longueur en 5 parties égales, puis placer bout à bout 3 de ces parties. Supposons que la longueur considérée soit mesurée par la fraction

+; la mesure du segment formé par les 5 de cette longueur s’ob-

liendra en prenant les 4 de ie , en multipliant . par ë . En effet, l'une quelconque des 5 parties de la longueur considérée est mesurée par le cinquième de È (n° 1469, p. 188), c’est-à-dire par la fraction

1. Au lieu d'écrire « les trois cinquièmes d’un nombre, le cinquième d'un nombre », on écri

u les + d'un nombre, le —— d'un nombre »,

4 ; La :

7528 le segment formé par 3 de ces parles, sera mesuré par

has la fraction as 5

Je puis maintenant énoncer la définition suivante : | Multiplier une fraction par une auire fraction, c’est former une À troisième fraction dont le numérateur et le dénominateur sont les | produits respectifs du numéraieur de la première par le numérateur de la seconde, du dénominateur de la première par le dénomi-

nateur de la seconde. 501 Remarquons tout de suite que la troisième fraction, ainsi formée, . ne dépend pas de l'ordre dans lequel sont prises les deux fractions 4 que l’on multiplie, puisque l'interversion de cet ordrenechangepas la valeur des deux produits qui figurent tant au numérateur qu'au à dénominateur. ‘ !. Le cas où le multiplicande est une fraction à dénominateur égal 0

à 1, contient la définition de la multiplication d’un nombre enter 4 par une fraction. He :

Lorsque lemultiplicateurestune fraction à dénominateur1 (unnom-, bre naturel) on retombe sur la règle du n° 168 (p. 187) ; il fallait bien 4 qu'il en fût ainsi pour que la définition générale fût acceptable au point de vue logique : la définition de la multiplication par une frac- . tion doit comprendre comme cas particulier la définition de la multi plication par un nombre naturel. ” Le On désigne sous le nom de facteurs, comme pour les entiers, les ; 3 deux nombres que l’on multiplie. He à 1 On continue d'employer l’un ou l’autre des signes >< et e POUF indiquer la multiplication, on place l’un ou l’autre de ces signes 1 entre les barres des fractions. Ainsi l’on peut écrire 4 n NS Lx ou bien 2,21 L 4

on peut même juxtaposer les deux fractions, sans signe intermé- : diaire (). ; in 4 472. Nombres inverses. — Les égalités telles que e Sr et A 4

donnent lieu aux observations suivantes : - É 1. Lorsque l'on n’emploie pas de signe de multiplication, il importe d'éviter la confusion avec la ; notalion signalée à la fin du n° 167 (p. 186); 5 2,3 veut dire 5 + + et non 5 X : : À

On dit que deux nombres, mis sous forme de fractions, sent inverses lorsque le dénominateur de chacune des deux fractions est le numérateur de l’autre. Chacun des deux nombres est l’inverse de l'autre. L'inverse d’un nombre naturel est une fraction dont ce nombre est le dénominateur et dont le numérateur est 1. Le produit de deux nombres inverses est 1.

Si la fraction = est le rapport de la grandeur A à la grandeur B,

DS Re Pet ja fraction inverse (ou r'enversée) a est le rapport de B à A.

473. L'extension de la notion de multiplication au cas où, le multiplicande étant quelconque, le multiplicateur est entier a paru sans doute très naturelle au lecteur; l'extension au cas où le multiplicateur est quelconque lui a semblé peut-être plus arüificielle. Cette extension sera amplement justifiée quand on aura montré que les propriétés essentielles de la multiplication, observées et établies pour les nombres entiers, se conservent pour les fractions ; elle se justifie aussi par la simplicité et la généralité qu'elle permet d'apporter dans l'énoncé de divers théorèmes et de diverses règles pratiques : le lecteur en trouvera de nombreux exemples dans le système métrique; je vais tout de suite en indiquer quelques-uns.

474. Multiplication d'une grandeur par un nombre.—Je dois d'abord expliquer une nouvelle extension des mots « multiplier, multiplication ». Le multiplicande et le multiplicateur, jusqu'ici, ont été de purs nombres ; toutefois pour expliquer ce que voulaient dire les

PR ce ( expressions « multiplier par 3, multiplier par - ou prendre le

cinquième, mulüplier par -— ou prendre les F »ona toujours fait

intervenir une longueur (ou quelque autre grandeur) que l'on supposait mesurée par le multiplicande : désignons par B cette lon- * gueur; on a expliqué comment le produit du mulliplicande par 3, par : > PA + mesurait la somme de 3 longueurs égales à B, le cinquième de B, les trois cinquièmes de B.

Quelle que soit la longueur B, multiplier cette longueur par 5,

3 Fe par = » Par +» c’est, par définition, ajouter 3 longueurs égales à B,

c'est prendre le cinquième de B, c’est prendre les trois cinquièmes

de B.

Le résultat de cette multiplication qui est, non pas un nombre,

à ES

E ! He i L 7 EEE mais une longueur, se représente suivant les cas par

Bi OUR à 14 on

B BK — ou -— B ou encore — Foie

au lieu des deux dernières expressioris qui veulent dire, l’une et s : ’ \ Mr 3B oi

l’autre, les trois cinquièmes de B, on peut encore écrire Te: ce qui signifie le cinquième de 38 fois B; c'est la même ee comme on l’a expliqué au n° 170 (p. 190).

Lorsque la longueur B est commensurable à l'unité, elle est mesu-

rée par un nombre, + par exemple; les nombres qui mesurent les. longueurs représentées par les symboles |

1 he

sont. respectivement, comme on l'a expliqué, dans les numéros prés cédents, | | (res 4 4 1 4 3 ù : D A de D Li 0 FA Ainé il su de remplacer dans les expressions Bx3, BX< 5 à

B<— “ 1e bnoelne par le nombre qui la mesure pour oblenir

les nombres qui mesurent. respectivement les longueurs BX<3, 1 d. Los à

Do< ca & » BK T5

On pourrait aussi bien remplacer B par le même nombre a les 4

expressions 3B, 5 B, 5 —B, puisque, comme on en a fait l'observa

” tion tout à l’heure, le produit de deux facteurs ne ho pas ie

on intervertit les deux facteurs. is É . C’est une bonne habitude, quand un nombre exprime une mesure, de placer avant ou après ce nombre le nom de l’unité avec laquelle la mesure a été faite, ou un signe abréviatif de ce nom : ainsi les écritures ea

mètre 3, mètre En mètre te

que

3 mètre, 5 mètre, E mètre, signifient que, en prenant le mètre pour unité, trois longueurs sont Fr mesurées respectivement par les nombres 8, 5 ÿ° Ou quelles | aire sont respectivement égales à 3 mètres, à Te de mètre, à . de mètre, ou encore qu'elles s’obtiennent en multipliant un mètre par 5,

1 s par 5:° par 5 :

Entendus de cette dernière façon, ces symboles ont le même sens

1 3 ou 9 8 B, 5 B; 5 B

Jorsqu’on regarde B comme le signe abréviatif du mot mètre.

À l'étranger et, en particulier dans les pays de langue anglaise, l'habitude est de placer le nom de l'unité avant le nombre: elle

correspond à la règle d’après laquelle on écrit le multiplicande

avant le mulüplicateur et je la crois préférable. Mais puisqu'on dit

1 3 en français « 3 mètres, 5 de mètre, F de mètre », le lecteur trouve

peut-être plus naturel de mettre le mot mètre après le nombre, tout en regardant toujours ce nombre comme le multiplicateur et le mètre comme le multiplicande. Au surplus, il reconnaîtra bientôt que cette interversion n’a pas grande importance.

475. Changement d'unité. — Considérons, comme plus haut, trois longueurs qui, quand on prend le mètre pour unité, sont respective-

TOUS ment mesurées par les nombres 3, > & Par quels nombres seront

mesurées ces longueurs quand on prend la toise pour unité ? La foise est une ancienne unité de longueur qui valait à peu près

Holes de notre mètre actuel. Je désignerai dans ce qui suit par | Atse 39 {oise une longueur qui soit exactement les CT du mètre. Le mètre

est alors les . de la toise.

On peut écrire, avec la sionification qu'on vient d'expliquer :

: 39 toise — mètre 5y °Ù 20 mètre,

a toi de toise méire —= L0ISe 34 OU 50 1SC.

: Où 39 es nombres qui, en prenant la toise pour unité, mesurent les

fongueurs que l’on déduit du mètre en le mullipliant par 5, par +,

par À s’obtiennent, ainsi qu’on l’a expliqué dans le précédent

numéro, en multipliant par 5, par 5 > Par . la fraction 9 qui mesure le mètre quand on prend la toise pour l'unité : on les écrira, en rappelant quelle est l’unité, :

0 A 20 1 a 3 toise ETE «9. Loise 39 KT , toise 39 ie 5 ou, ce qui revient au même,

3 20 , 1 Liebe AS VAE 1 EC 39 O1S€; 5 39 Oise, Su OISE ;

la règle pour retrouver ces résultats est aisée à retenir puisqu'on les déduit des mesures primitives

À à 1 à mètre 3, mètre F > mètre 5 ou à Les de 8 mètre, — mètre, — mètre 5 5 en remplaçant le mot mètre par l'expression TS Lis de à oise 39 OU 9 oise, : 700

du mètre au moyen de la toise, et en introduisant au besoin le signe

de la multiplication entre les nombres contigus. On constate que. les facteurs du produit sont intervertis suivant qu’on place le nom : de l’unité avant ou après. | “TS

De même une longueur mesurée par le nombre e. 513 à oise y | ;

est aussi mesurée par le nombre

5 39 513 2 mètre TX o ou mètre 10 + 5000

La règle et les explications qui précèdent s'appliquent à d’autres grandeurs que les longueurs.

Par exemple, la signification des égalités qui suivent ne peut offrir aucune difficulté au lecteur

1 QE heure = jour 5x » jour = heure 24

jour - — heure 2: >%< & — heure 10 + =

RS AR ne

eure -- — jour 37 z Jour «A . ° 5

Le mark est une pièce de monnaie qui vaut 7 de franc ; on peut

imaginer qu'elle ait été formée en coupant des francs en quatre morceaux de même poids et en réunissant 5 de ces morceaux; le

franc vaut F de mark.

Dès lors, les égalités suivantes où les signes fr. et mk. remplacent franc et mark sont bien claires

mk. 500 —fr. 5 >< 900 — fr. 695.

Si l’on écrivait les signes abréviatifs après les nombres, on serait conduit aux règles suivantes, évidemment équivalentes à celles qui précèdent.

Pour convertir en francs une somme évaluée en marks, il faut

LES 5 multiplier par su le nombre qui exprime cette somme. Pour convertir en marks une somme évaluée en francs, il faut multiplier par + le nombre qui exprime cette somme.

176. En introduisant la notion de rapport, le langage se simplifie et devient plus général.

Il suffit de se rappeler la définition de ce mot pour reconnaître que

les rapports des trois longueurs PS BE . BxX = 4 (à lon

eueur B sont respectivement 3, . Multiplier la longueur Bpar

un nombre, c’est former une longueur A dont le rapport à B soit ce

nombre.

Dire que le nombre #, qui peut d’ailleurs être entier ou fraction-

naire, est le rapport de À à B, dire que l’on a A=—B><n ou nB,.

c'est dire la même chose.

La proposition suivante est maintenant bien évidenté:

L. Quelle que soit l'unité de longueur, le nombre qui mesure A s'obtient en multipliant par le rapport n de À à B le nombre ur

mesure B.

Il convient toutefois de faire sur cette Open une remarque, |

en passant : du moment qu’on parle du rapport de A à B, on suppose que ces deux grandeurs sont commensurables entre elles ; on suppose ensuite que la longueur B et l’unité de longueur sont commensurables entre elles, puisque l’on parle du nombre qui mesure B; sous le bénéfice de ces suppositions, on détermine la mesure de A ;

on prouve donc par là que À est commensurable à lunité de.

longueur ; comme celle-ci est quelconque, on a à établi la proposition suivante :

Quand deux longueurs sont commensurables à une troisième, elles sont commensurables entre elles.

La «troisième » est ici B, les deux longueurs qui lui sont commensurables sont A et l'unité de longueur.

Les deux propositions qui suivent où les lettres À, B, C désignent trois longueurs commensurables entre elles, et pourraient d’ailleurs désigner d’autres grandeurs auxquelles S’appliquent les notions de mesure ou de rapport ne sont que des transformations de la proposition I.

Il. Le nombre qui mesure À quand on nu. G pour unité est égal au nombre qui mesure B quand on prend C pour unité, multiplié par le nombre qui mesure À quand on prend B pour unité.

! Puisque ce dernier nombre est le PA PHORE de A à B, cette proposition ne diffère de la proposition [ qu’en ce qu’on a appelé C l'unité avec laquelle on mesure A et B.

Il. Le rapport de À à CG est égal au rapport de B à G multiplié

par le rapport de À à B.

C'est la même proposition que la précédente, seulement on a écrit

« rapport », au lieu de « nombre qui mesure ».

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