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Les propositions I, II, II n’en font qu'une ; l’importance du sujet justifie linsistance que j’ai mise à répéter cette même proposition sous diverses formes. Elles montrent comment la notion générale de multiplication est liée à la question de changement d'unité ou, si l’on veut, comment cetle dernière question se résout par des règles simples et générales, grâce à la définition adoptée pour la multiphi-
cation. Le lecteur a sans doute remarqué que, dans l'énoncé de ces
règles, on a pris soin de laisser à chaque facteur le caractère de multiplicande ou de multiplicateur qu’il a dans la démonstration ; mais il sait que l’ordre de ces facteurs est indifférent pour le résultat et il jugera peut-être que les énoncés se fixent mieux dans la mémoire en intervertissant cet ordre : l'énoncé III, par exemple, est
alors remplacé par le suivant:
Le rapport de À à G est égal au rapport de À à B multiplié par le rapport de B à C.
477. On dit qu'un mobile se meut d’un mouvement rectiligne et uniforme quand il se meut en ligne droite, toujours dans le même sens, et qu’il parcourt toujours des longueurs égales dans des temps égaux. ;
. Supposons qu'on ait fait choix d’une unité de longueur et d’une unité de temps. | La vitesse du mobile est le segment de droite qu'il parcourt pendant l'unité de temps, ou le nombre qui mesure ce segment.
La première définition suppose seulement qu'on ait choisi l'unité de temps, la seconde, qui est celle dont je ferai usage ici, suppose essentiellement qu'on ait fixé les unités de longueur et de temps.
Lorsqu'on écrit ainsi un nombre qui désigne une vitesse, ilest bon d'écrire à côté les noms des deux unités de longueur et de temps dont on se sert ; l'habitude est d'écrire les noms de ces unités ox leurs signes abréviatifs comme une fraction, dont le numérateut serait le signe de l’unité de longueur et le dénominateur le signe de
l'unité de temps, ainsi les écritures
kilomètre 3 mètre
heure ? 4 seconde
signifient des vitesses de 60 kilomètres par heure, ie mètre par
seconde (!). Le lecteur reconnaïitra plus tard que ce symbolisme est
commode pour le changement d'unités.
1. Il ne faut pas dire « kilomètre sur heure » mais « kilomètre par heure ».
La notion de vitesse donne lieu au théorème suivant: Le nombre qui mesure la longueur que le mobile parcourt pen-
dant un certain intervalle de temps est égal au produit de la vilesse
par le nombre qui mesure cet intervalle de temps. On imaginera, par exemple, que l'unité de loue est le kilomètre, et l’unité de temps la minute. ; |
., 4 us Supposons que la vitesse du mobile soit T° cela veut dire qu’en
une minute il parcourt un chemin qu’on obtiendrait en divisant le kilomètre en 7 parties égales et en plaçant bout à bout 4 de ces parties.
Je vais établir la proposition en supposant successivement que le
mobile marche pendant 3 minutes, pendant sde minute, pendant
3 ï E de minutes.
En 3 ne le mobile parcourra une longueur mesurée par le
he F A D
1 de se En de minute, il aura parcouru une longueur qui, répétée 5 fois,
devrait reproduire le chemin parcouru en une minute, qui sera donc
inquië « : 4 le cinquième de ce chemin et sera mesurée par le nombre Tes
nel
en s- de minute, c’est-à-dire un chemin mesuré par le nombre
4XKS 4 | 3 DT D 5.
Si la vitesse du mobile était 1, le nombre qui mesure le choutés parcouru serait égal au nombre qui mesure le temps employé à lé. parcourir.
178. Définition abstraite du produit de deux fractions. — Plaçons nous maintenant au point de vue abstrait, d'où l’on regarde une fraction comme l’ensemble de deux nombres entiers (n° 155, p.170). Rien n'empêche d'adopter pour la multiplication de deux fractions, la définition du n° 171 (p. 192), qui est en même temps une règle
pour faire l'opération :
En - de minute, il aura parcouru 3 fois le chemin qu'il parcourt
Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateur est le produit des numéraleurs des fractions proposées et dont le dénominateur est le produit des dénominateurs de ces fractions.
On a déjà fait remarquer que cette définition s’applique au cas où quelqu'un des dénominateurs est égal à 1, c'est-à-dire au cas où l’un des facteurs est entier.
On a fait remarquer aussi que le produit ne dépend pas de l'ordre des deux facteurs.
On serait conduit assez naturellement à cette définition par le théorème du n° 105 (p. 119) qui, dans notre langage actuel, se rapporte au cas où le numérateur de chaque fraction est divisible par son dénominateur.
Pour justifier la définition précédente, il faut montrer que, si l’on donne d’une part deux fractions, d’autre part deux autres fractions qui leur soient égales, le produit des premières est égal au produit des secondes.
Soient T deux fractions, £ Ë des fractions qui leur soient
respectivement égales. On a par hypothèse
. aB—=0A, LB D'A:
on en conclut, en multipliant membre à membre et en groupant convenablement les facteurs,
(aa') <(BB') = (bb') <(AA!).
Or cette égalité exprime précisément ce qu'il fallait démontrer, que NRPEU T2 : ’ SERA
la fraction 77 est égale à la fraction BE
179. Extension aux fractions des propriétés fondamentales de la multiplication des nombres entiers. — Pour mulliplier plusieurs fractions rangées dans un certain ordre, on fait le produit des deux premières, on multiplie le résultat par la troisième, puis le résultat par la quatrième, etc. On voit tout de suite que le numérateur et le dénominateur du produit sont les produits respectifs des numérateurs et des dénominateurs des fractions.
Les tLéorèmes démontrés au n° 44 (p. 44) s'étendent immédiatement aux produits de fractions. Ainsi :
Dans un produit de fractions, on peul intervertir l’ordre des facteurs, remplacer tels facteurs que l’on veut par leur produit
effectué.
Ces propositions, en effet, s'appliquent aux produits de be Lee entiers qui figurent en numérateur et en dénominateur. Signalons
encore cette conséquence : Pour multiplier un produit de plusieurs.
facteurs par un nombre, il suffit de multiplier l'un des facteurs par.
ce nombre. La notation des puissances s’applique aux fractions comme aux nombres entiers ; le carré, le cube, la n°"° puissance d’une fraction
sont respectivement les produits de deux, de trois, de n facteurs
égaux à cette fraction. Pour écrire le carré, le cube, la n°" puissance d’une fraction, on place cette fraction entre parenthèses, et l'on place l’exposant un peu en haut : on écrira ainsi, par exemple,
On a d’ailleurs, en vertu de la définition de la multiplication,
AN, Hate a URSS DES (5) “20 (&) mon
En général, pour élever une fraclion à la puissance n, suffit
d'élever à celte puissance son numérateur el son dénominalteur.
Il reste à étendre aux fractions les DPOpOTEARS des n% KT, 48
(p. 42, 43). Ainsi :
Pour multiplier une somme (ou une difjér ence) par un Me ch
il suffit de multiplier par ce nombre les termes de la somme (ou de:
la différence) et d'ajouter (ou de retrancher) les résultats.
La démonstration est lamême dans les deux cas et consiste essen- :
tiellement à supposer que les deux termes de la somme ou de he
différence ont le même dénominateur.
: ue k nee Soit, par exemple, à multiplier par T la somme : “te Cette somme peut s'écrire 2? et le produit cherché sera es
+8. 4 (B+8X<4 BX4+8XxE <a BA
É T x Te . EXT 3 4 F PE <y++ F3. |
sous cette dernière forme, on reconnaît bien que le théorème est |
démontré.
La règle s ‘étend d’elle-même à la multiplication par une fraction quelconque d’une somme algébrique dont les termes sont des nombres quelconques.
Inversement, puisqu'on peut intervertir l’ordre des facteurs dans une multiplication, pour multiplier un nombre par une somme, il suffit de multiplier ce nombre par chacun des deux termes de la somme et d'ajouter les résultats. Pour multiplier un nombre par une différence, il suffit de multiplier ce nombre par les deux termes de la différence et de retrancher les produits.
Ces théorèmes s'expriment sous une forme abrégée par les formules
(b+c)a=a(b+c) —=ab+ac,
(b—c)a—a(b —c)—=ab —ac,
où à, b, c sont des nombres entiers ou fractionnaires. Les formules de la seconde ligne supposent b £a.
Les règles relatives à la multiplication d'une somme ou d’une différence par une somme ou une différence, à la multiplication de deux sommes algébriques, à la formation du carré d’une somme ou d’une différence, les formules des n% 48 (p. 42), 51 et 52 (p. 49- 50) s'étendent immédiatement aux fractions, puisqu'elles sont une conséquence des formules qu’on vient d'établir.
180. Inégalités. — Des propositions précédentes résultent encore quelques propositions importantes relatives aux inégalités.
On peut multiplier, sans en changer le sens, les deux membres d'une inégalité par un même nombre, entier ou fraclionnaire, différent de zéro.
Soit, par exemple, en désignant par a, b, c des nombres entiers ou fractionnaires, dont le dernier n’est pas nul, l'inégalité
a>b; elle signifie qu’il existe un nombre d, différent de 0, tel que l'on ait a = b + d, on en conclura, en multipliant par c, ac —= bC + de
et comme le produit de dans lequel aucun des facteurs n’est nul est différent de zéro, on en déduit
ac > bc.
C’est ce qu'il fallait démontrer.
De même, puisque dans un produit on peut intervertir l' te des facteurs, si on multiplie un même nombre c, autre que 0, par deux
nombres différents &, b, on obtiendra deux résultats différents ca, cb
et l'on aura ca> cb, ou ca<cb, suivant que l'on aura a >b, où
En particulier, puisque l’on ne change pas un nombre en le multi-
pliant par 1, on l’augmentera ou on le diminuera en le multipliant par un nombre plus grand ou plus petit que 1 ; ainsi on augmente. un nombre en le multipliant par une fraction dont le numérateur est
plus grand que le dénominateur, on le diminue en le multipliant par
une fraction dont le dénominateur est plus grand que le numéra-. teur. Plus particalièrement encore, on voit que le produit de deux
fractions dans lesquelles le numérateur est plus petit que le dénominateur est plus petit que chacun des facteurs, que le carré d’une telle fraction est plus petit qu’elle, que le cube est plus petit que le carré, que, en général, les puissances d’une telle fraction vont en
diminuant quand l’exposant de F puissance augmente : telles sont, | | (o NS
par exemple, les puissances de à
2\"4 A y Gr Or
puisque chaque terme de cette suite s'obtient en multipliant le pré:
cédent par le nombre =- plus petit que 1.
Au contraire, le produit de deux fractions dans lesquelles le numérateur dépasse le dénominateur est plus grand que chacune des deux fractions ; le carré d’une telle fraction est plus grand qu'elle, son cube est plus grand que son carré, etc. ; les puissances d’une
telle fraction vont en augmentant à mesure que l’exposant de la puis-
sance augmente ; telles sont, par exemple, les puissances de gi on + 2
aura 8 n'\e 3 \° D»):
PÉRCRCE
8 dat D Un 0
Ou
AS1. On peut multiplier deux inégalités de méme sens, membre à membre.
La démonstration donnée à la fin du n° 55 (p. 52) s'applique sans rien changer.
$ 5. — Division.
482. Les mots « division, diviser, quotient » ne vont plus être pris ici avec la signification qui leur a été donnée dans le premier chapitre, mais avec une signification qui généralise celle que l'on a expliquée au n° 169 (p. 188). Il s'agira de divisions exactes, de quotients (!) exacts; mais je sous-entendrai le plus souvent cette épithète.
La division exacte a été définie au n° 169 (p. 188), dans le cas où le diviseur est un nombre naturel. Cette définition est comprise dans la suivante.
Etant donnés deux nombres entiers ou fractionnaïires, appelés l’un dividende, l’autre diviseur, et dont le second n'est pas nul, la division est l'opération qui consiste à former un nombre, appelé quotient, tel que le produit de ce nombre par le diviseur soil égalau dividende.
En d’autres termes, on connaît un produit de deux facteurs (le dividende) et l’un de ces facteurs (le diviseur) ; on demande l’autre (le quotient).
Il ne peut y avoir de confusion entre les deux significations des mots division, ou quolient, que si le dividende et le diviseur sont entiers; dans ce dernier cas, si la confusion est à craindre, on emploiera les façons de parler qui ont été expliquées au n° 169 (p.189) : toutefois au lieu de dire « quotient dans le sens de lathéorie des nombres entiers », on peut dire « partie entière du quotient (exact) », ou encore « quotient approché àune unité près par détaut ». Cette dernière dénomination sera bientôt justifiée.
J'arrive maintenant à la solution du problème posé. Soit, par
4 ENS exemple, à diviser + par : Si le problème est possible, c’est qu'il ER 7 / y a un nombre x tel qu'en le multipliant par g °n trouve comme produit; en d'autres termes, on doit avoir
